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数学典型例题--正态分布
新课标高中数学典型例题
借助于标准正态分布表求值
例 设服从，求下列各式的值: N(0,1),
(1) (2) (3) P(,,2.35);P(,,,1.24);P(,,1.54).
分析
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:因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值(但由于,
表中只列出的情形，故需要转化成小于非负值的概率，公式:x,0,P(,,x),,(x)x0000
和有其用武之,(,x),1,,(x);P(a,,,b),,(b),,(a);P(,,x),1,P(,,x)00地(
解:(1) P(,,2.35),1,P(,,2.35),1,,(2.35),1,0.9906,0.0094;
(2) P(,,,1.24),,(,1.24),1,,(1.24),1,0.8925,0.1075;
(3) P(,,1.54),P(,1.54,,1.54),,(1.54),,(,1.54)
,,(1.54),[1,,(1.54)],2,(1.54),1,0.8764.
说明:要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便(相反其简捷的效果更突出了核心
内容
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(左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用(
求服从一般正态分布的概率
2例 设服从试求: N(1.5,2),
(1) (2) P(,,3.5);P(,,,4);
(3) (4) P(,,2);P(,,3).
分析:首先，应将一般正态分布N(1.5,2)转化成标准正态分布，利用结论:若
,,,,x,,,2,,，则由知:(,),,,其后再转化为非负标,~N(,,,)~N(0,1)Px,,,,,,,准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果(
3.5,1.5,,P(,,3.5),,,,(1),0.8413;解:(1) ,,2,,
新课标高中数学典型例题
,4,1.5,,(2) P(,,,4),,,,(,2.75),1,,(2.75),0.0030;,,2,,
2,1.5,,(3) P(,,2),1,P(,,2),1,,,1,,(0.25),0.4013;,,2,,
3,1.5,3,1.5,,,,(4) P,P,(,3),(,2),1,,,,,,,,22,,,,
,,(0.75),,(,2.25),0.7734,[1,,(2.25)]
,0.7734,(1,0.9878),0.7612.
2说明:这里，一般正态分布，总体小于的概率值与和,~N(,,,)F(x)P(,,x)x
,,,,xx,,,,,是一样的表述，即:(,),(),,. ,PxFx,,,,,,,,,,
服从正态分布的材料强度的概率
2例 已知:从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度服从 N(200,18).,
(1)计算取得的这件材料的强度不低于180的概率(
(2)如果所用的材料要求以99,的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求(
分析:这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题;本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可(
180,120,,解:(1)P(,,180),1,P(,,180),1,,,1, ,,18,,
,(,1.11),1,[1,,(1.11)],,(1.11),0.8665;
(2)可以先求出:这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99,进行比较大小，从而得出结论(
150,200,, P(,,150),1,P(,,150),1,,,1,,(,2.78),1,[1,,(2.78)],,(2.78),0.9973;,,18,,
即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73,,99,，所以这批材料符合所提要求(
说明:“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”(转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表(
公共汽车门的高度
新课标高中数学典型例题
例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1,以下设计的，如果某地成年男子的身高(单位:?)，则该地公共汽车门的高度应设,~N(175,36)
计为多高,
分析:实际应用问题，分析可知:求的是门的最低高度，可设其为，使其总体x(cm)在不低于的概率值小于1,，即:，从中解出的范围( P(,,x),0.01,1%xx
解:设该地公共汽车门的高度应设计高为cm，则根据题意可知:，由P(,,x),1%x
于， ,~N(175,36)
x,175,,所以， P(,,x),1,P(,,x),1,,,0.01;,,6,,
x,175,,也即: ,,0.99;,,6,,
x,175通过查表可知: ,2.33;6
解得: x,188.98;
即该地公共汽车门至少应设计为189cm高(
说明:逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性(关键是理解题意和找出正确的数学表达式(
学生成绩的正态分布
例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布(平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人,
分析:要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体(
2解:设x表示这个班的数学成绩，则x服从 N(80,10)
x,80设Z,则z服从标准正态分布( N(0,1)10
查标准正态分布表，得:
,(1),0.8413,,(0),0.5000
所以，
80,80x,8090,80 p(80,x,90),p(,,),p(0,z,1),,(1),,(0),0.8413,0.5000,0.3413101010
新课标高中数学典型例题
?( 48，0.3413,16.3824,16
说明:这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体(
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