数学分析中不等式证明方法论文

数学分析中不等式证明方法论文 毕业论文(设计)开题 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 题 目:数学分析中不等式证明方法 1 目 录 摘 要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 英文摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((4 第1章 不等式的定义及研究背景(((((((((((((((((((((((((5 1.1不等式的定义((((((((((((((((((((((((((((((((((((5 1.2不等式的研究背景(((((((((((((((((((((((((((((((((5 第2章 数学分析中不等式的证明方法与举例(((((((((((((((6 2.1?构造变上限积分函数(((((((((((((((((((((((((((((((6 2.2?利用拉格朗日中值定理进行证明(((((((((((((((((((((((((7 2.3?利用微分中值定理证明积分不等式((((((((((((((((((((((((8 2.4?积分中值定理解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((((9 2.5?利用泰勒公式证明不等式((((((((((((((((((((((((((((((((10 2.6?用函数的极值进行证明(((((((((((((((((((((((((((((((((12 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明((((((((((((((((((((((((((13 2.8利用函数单调性解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((13 2.9利用条件极值求解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((14 2.10利用两边夹法则证明不等式(((((((((((((((((((((((((((((15 第3章 不等式证明方法的归纳总结(((((((((((((((((((((17 第4章 论文的结论与展望(((((((((((((((((((((((((((((((18 致 谢((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((21参考文献((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((22 2 数学分析中不等式的解法研究 不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的且非常重要的摘要, 工具,同时也是数学分析中主要研究的问题之一,可以说不等式的研究对数学分析发展起着巨大推动作用。 本文章首先介绍了不等式的研究背景,然后主要研究如何求解数学分析中的不等式问题以及探讨总结不等式的不同证明方法,并对不等式的证明方法进行归类,通过“一题多解”如柯西不等式的求解过程, “一法多用”如泰勒公式与牛莱公式的综合运用等例题。巧妙解决不等式的求解问题并最后归纳了不等式的多种解题技巧,为以后不等式的学习做了较为详细的归纳总结,希望能对后来读者的学习起到一定的帮助作用也是本人学习的一些心得。 关键词,数学分析,柯西不等式,泰勒公式,牛莱公式 3 Mathematical analysis of the solution of inequality research Abstract : Inequality is often used and a very important tool in the calculation and prove of mathematical analysis,and at the same time is also a main research problem of mathematical analysis.So it can be said that the study of inequality plays a great role in promoting the development of mathematical analysis. This article first introduces the background of inequality study,then mainly studies how to solve the problem of inequality in mathematical analysis,summarizes the different methods to prove inequality,and classifies the proof of the inequality methods through the" multi-solutions to one problem" such as Cauchy inequality solving process,"a method of multi use" such as the comprehensive application the Taylor formula and the Newtonian-Leibniz formula and so on. This article skillfully solves the inequality problem and finally summarizes the various techniques for solving inequality, and does a more detailed summary for the subsequent inequality learning.And it is some my learning experiences and I hope it can play a certain help for the reader's study. Key words: mathematical analysis; Cauchy inequality; Taylor equation; Newtonian - Leibniz formula 4 第1章 不等式的定义及研究背景 1.1不等式的定义 定义:用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“,”“,”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)“?”“?”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 1.2不等式的研究背景 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,:Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲;Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。 20世纪70年代以来, 国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议,并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一。 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献 ,最近几年我国有许多数学工作 5 者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域 , 他们在相关方面做出了独特的贡献 , 引起国内外同行的注意和重视。 20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。将我国几何不等式的研究推向高潮;在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平。祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果;对分析不等式，胡克教授于1981年发表在《中国科学》上的论文《论一个不等式及其若干应用》，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为"一个杰出的非凡的新的不等式"，现在称之为胡克(HK)不等式。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。如《常用不等式》(匡继昌)。《矩阵论中不等式》(王松桂、贾忠贞)。另外 , 国内还有一个不等式研究小组, 主办《不等式研究通讯》的内部交流刊物。 第2章 数学分析中不等式的证明方法与举例 2.1构造变上限积分函数 变限积分的定义 设在上可积，对于任给,在 f(x)[a,b]x,[a,b]f(x)[a,x] xb[x,b]和 上均可积，分别称和为变上限的积分和变下限的积分，f(t)dtf(t)dt,,ax 统称为变限积分。若在上连续， f[a,b] 则其变限积分作为关于x的函数，在上处处可导，且[a,b] xbdd更一般的有(f(t)dt),f(x)，(f(t)dt),,f(x),,axdxdx g(x)d,, f(t)dtf[g(x)]g(x)f[h(x)]h(x),,,h(x)dx 例1.柯西不等式及柯西不等式的证明 bbb222 证明:柯西不等式为:。 [f(x)g(x)dx],f(x)dxg(x)dx,,,aaa uuu222设: ,(u),[f(x)g(x)dx],f(x)dxg(x)dx,,,aaa ,(u)显然在上连续，在内可导，且 [a,b](a,b) 6 uuu2222,,u(),2f(u)g(u)f(x)g(x)dx,f(u)g(x)dx,g(u)f(x)dx,,,aaa uuu2222,2f(u)g(u)f(x)g(x)dx,f(u)g(u)dx,f(x)g(u)dx,,,aaa u2222,,[f(u)g(x),2f(u)g(u)f(x)g(x)，f(x)g(u)]dx,a u2,,[f(u)g(x),f(x)g(u)]dx,0,a ,(u)[a,b]所以在上单调减少，则，即 ,(b),,(a),0 bbb222,(b),[f(x)g(x)dx],f(x)dxg(x)dx,0,,,aaa bbb222得到结论。 [f(x)g(x)dx],f(x)dxg(x)dx,,,aaa bbab，例2.设f(x)在[a,b]上连续,且单调递增,试证:， xf(x)dxf(x)dx,,,aa2 ttat，证明: ()()()Ftxfxdxfxdx,,,,aa2 显然 F(a)=0 对任意的 t 有,,,a,b tt1at1，` x,[a,t]F(t)tf(t)f(x)dxf(t),f(t),f(x)dx,,,,,aa222 因为f(x)单调递增,则F′(t)?0 ,则F(t)单调递增,所以F(b)?F(a)=0(b?a).因此bbab， xf(x)dxf(x)dx,,,aa2 [0,1]例3?设为上的非负单调非增连续函数(即当时，) f(x)x,yf(x),f(y) ,,,f(x)dx,f(x)dx,,0,,分析:可化为 ,,,,,f(x)dx,,f(x)dx,,f(x)dx,,f(x)dx,0,,,,00,, ,, 将换成，于是辅助函数 ,x(x,,)F(x),xf(t)dt,,f(t)dt.,,0, ,, 令 F(x),xf(t)dt,,f(t)dt.(x,,),,0, ,,,,F(x),f(t)dt,,f(x),f(t)dt,f(x)dt,,,000 ,f(x) (因为单调递减) ,[f(t),f(x)]dt,0,0 ,所以单增，又因为 F(x)F(,),,f(t)dt,0(,,0,f(x),0),0 ,,(F,),0所以 。即 ,f(x)dx-,f(x)dx,0,,0, 7 ,,,f(x)dx,f(x)dx,,0,,故。 2.2 利用拉格朗日中值定理进行证明 拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足:(1)在闭区间[ a, b ]上连续;(2)在开区间(a,b) f(b),f(a)'内可导.则至少存在一点ξ?(a,b),使得 即f(),,b,a f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)，(a<ξb>0,n>1) nb(a,b),a,b,na(a,b) n证明:构造函数f(x)=x,在区间[b,a]上满足拉格朗中值定理, f(b),f(a)n,1'且f′(x)=，所以有f(),， nx,b,a nnb,an,1n,1nn即,=nξ(a-b),(b<ξ b >0,n>1,则有 nb0时,试证不等式0,则 ,为极小值点,记()=c,则f(x)- g(x)()= c; xxxFF0min0min0 ,若F″(x)<0,则 为极大值点,记()= C,则f(x)-g(x)()=C. xxxFFmin000min例1: 证明若P>1，则对[0，l]上的任意x有 1pp,，,xx(1),,1p(01),,,x2 ppfxxx()(1),，,(01),,,x证明: 取函数, `11pp,,fxpxpx()(1),,,则有 pp,,11,,,pxx[(1)] 1`pp,,11fx()xx,,(1)2令=0，得，于是有x=1-x即x= 由于f(x)在闭区间[0,1]上连续，因而f(x)在[0,1]上取得最 12 大值和最小值，又f(x)在[0,1]上可导，且有唯一的驻点，并且f(0)=f(1)=1 111f,()p,1p,1222所以f(x)在[0,1]上的最小值是，最大值是1(从而对 11pp,,fx,，,,xx()1(1)1p,1,1p(01),,,x22[0，1]上的任意x有即 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明 定义:凹函数:设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点和,和任xx12 意λ?(0,1)，都有则称f(x)是I上的凹,x，(1,,)x,,f(x)，(1,,)f(x)1212 函数。 凸函数:设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点和,和任xx12 (0,1)，都有意λ?则称f(x)是I上的凸,x，(1,,)x,,f(x)，(1,,)f(x)1212 函数。 若不等号严格成立，则称f(x)在I上是严格凹(凸)函数。 定理 (曲线弧凹向的判定法) 设函数y=f(x)在 [a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导. 1)若在(a,b)内f″(x)>0,则曲线弧在[a,b]内为上凸的; 2)若在(a,b)内f″(x)<0,则曲线弧在[a,b]内为下凹的. ，yx例1: 证明:(x+y)ln0,y>0,x ? y). ()2 1证明: 构造函数f(x)=xlnx,其定义域为 x > 0.这时,f″(x) =>0,即有f(x)在区间x f(x)，f(y)，yx(0,+?)内是上凹的.所以,x>0,y>0,x?y时,有f< ()22 x，yx，yxlnx，ylnyln即< 222 ，yx故(x+y)ln0,y>0,x ? y). ()2 2.8利用函数单调性解不等式 定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则有 1) 如果在(a,b)内f′(x)> 0,那么,函数f (x)在[a,b]上单调增加. 13 2) 如果在(a,b)内f′(x)< 0,那么,函数f(x)在[a,b]减少很明显,若f(x)在[a,b]上单 ,,调增加,则f(a)f(x) f(b),反之亦然. 例1.利用一元二次函数根的判别式来证明柯西不等式的 2b2,,tf(x)，g(x)dx,0,,tf(x)，g(x)dx,,t,Ra证明 考虑非负函数的积分，有等价 22bbb2,,,,f(x)dxt，2tf(x)g(x)dx，g(x),0,,,aaa于 bbb222[f(x)g(x)dx],f(x)dxg(x)dx,,,aaa是关于t的二次三项式，非负，所以有 成立。 ,[0,]例2. 当x ?时,求证: sinx + tanx > 2x. 2 证明:构造函数f(x)= sinx + tanx - 2x,则有 22f′(x)= cosx + secx-2=cosx + tanx - 1, 22f″(x)=-sinx + 2 tanxsecx = sinx > 0 , (,1)3cosx ,所以f′(x)在区间内是增函数,所以f′(x)>f′(0)=0. [0,]2 ,故f(x)在区间内也是增函数,从而有f(x)> f(0)= 0. [0,]2 2.9利用条件极值求解不等式 例1.证明n个正数的几何平均值不超过算术平均 xxx,,,,,,12n 值即设是n个正数。 axxx，，,,,，12nnxxx,,,,,12nnn证明 naxxx,,,,12nnxxx，，,,,，,a12nn分析 记则不等式等价于 xxxa，，,,,,fxxxxxx(,,),,,,,,,12n1212nn 于是只需证明在下，函数的最大 na nn值是即可。 xxx，，,,,，Lxxxxxx,,,,，，，,,,，,(),a12n1212nn证明 记，作辅助函数 14 ,L,,(1,2,),,,,,,,，,,,,xxxxin,111iin,，,,xi ,,L0,，，,,,，,,xxxa12n,x,i,令 aa,,,,,,()x,xxxi12nnxxxa,,,，,,0in,,,,1,2,12nnn解得或代入方程组解得 () n a，所以必有最大值存在，因此 按实际问题乘积有上界 na nn所求的点必定是最大值点，此时最大值是，于是对任意n个正数 xxx,,,,,,xxx，，,,,，,a12n12n naxxx，，,,,，a12nnxxx,,,,xxx,,,,,12n12nnnnn有即 2.10利用两边夹法则证明不等式 两边夹法则:设、为收敛数列，且:当n趋于无穷大时，数列，xzx,,,,,,nnn 的极限均为:a 若存在N，使得当n>N时，都有,则数列收zyxyz,,,,,,nnnnn敛，且极限为a。 11例1.证明1. ln(1)11ln，,，，,,,，,，nn2n 11，，,,,，1n22. ,lim1x,,nln 证明:取k=1、2、3设 xyzy,,,,nnnn k，1111111,, 则有成立，， ,,dx,kkxk，kxk，11kk nnkn,11kn，，1111 ,,,dxdx (1)。 ,,,,,1kkxxk，1k111kkk,,, n，11 因为， dxn,，ln(1),1x 111111 (1)式等价于 ，,,,，,，,，，,,,，ln(1)1n23123nn， 11 所以有:成立。 ln(1)11ln，,，，,,,，,，nn2n 15 11ln(1)11ln，,，，,,,，,，nn 2n 112.利用两边夹法则，因为， 1，，,,,，ln(1)1ln，，nn2nlimlimlim,,xxx,,,,,,lnlnlnnnn 111，，,,,，ln(1)1ln，，nn2n所以 ,,lnlnlnnnn 11，，,,,，1nn，，ln(1)1lnn2取极限有 ,,limlimlimxxx,,,,,,nnnlnlnln 11，，,,,，1n2成立。 ,lim1x,,nln 16 第3章 不等式证明方法的归纳总结 证明不等式的方法很多,但我们在解决问题时, 如何选择正确的方法, 无疑是至关重要的. 这不仅要求我们要熟悉各种方法的应用条件和适用范围,同时还要求我们要学会综合应用。 1.构造变上限积分函数:构造变上限积分函数进行证明，对于含有定积分的不等式,可把常数变为变数构造辅助函数,通过构造新的函数利用变上限积分及函数的单调性解决此类不等式。 2.利用拉格朗日中值定理:拉格朗日中值定理不仅可以解决代数不等式的证明,同 ,,样亦能拓展到证明形如m(x-a)f(x)-f(a)M(x-a) 函数表达式. 3.积分中值定理求解不等式:寻找一个满足条件且存在的值， 4.利用泰勒公式、微分中值定理证明不等式:可利用放缩法求解;泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系，由已知条件,围绕证明目标,选取恰当的点,取恰当位数进行泰勒展开，将函数在这些点展成泰勒展开式。如下例: ,,设在上二阶可导，且，求证: f(x)[a,b]f(x),0 xa，x取证明:令，则 ,(x),(x,a)f(),f(t)dt,a2 a，x1a，x,, ， ,(a),0,(x),f()，(x,a)f(),f(x)222 1a，xx,aa，xa，xa，xx,ax,a2,,,,()()[()()(,)()],f，f,f，f，f22222222 1x,a2,, ,,f(,)(),022 bab，所以，。特别的有。即。 ,(x),0,(b),0f(x)dx(ba)f(),,,a2利用泰勒公式证明不等式时，需要对原函数选取适当的近似位数进行放缩，构造泰勒级数，从而比较函数大小。 5.用函数凹凸性进行不等式的证明:凹向性的几何意义是很明显的:对于I内的任 17 ()()f，f，xxxx1212意两点, ,如果f(x)在区间I内是上凹的,一定有f<，()xx1222 ()()f，f，xxxx1212如果f(x)在区间I内是下凹的,则有f>。根据此不等式可以利()22 用函数的凹凸性，求解当比较函数中间值与两边值平均数大小的不等式类型。 6.利用函数单调性:利用函数单调性解不等式一般对所求两式做差、求导、求稳定点等一系列步骤之后，看导数所在的单调区间，经分析后判断原两式的大小，此法一般方便易行，但有时对于求导讨论取值范围较繁琐的式子不易采用。 7.利用条件极值求解不等式:用函数的极值进行证明利用函数的极值和最值 若函数f在区间l取得最小值m和最大值M，则对任意x?I，都有m?f(x)?M( 8.利用两边夹法则证明不等式:两边夹法则适用于对所求式子极限不好求解时所用，寻找合适的两个数列且两数列极限相同，在有限项比较中所求数列各项正好落在相应的两数列的各对应项之间。则所求数列的极限就与两数列的极限相同。 总之，不等式的求解问题是灵活多变的，在每个不同类型的不等式求解问题中要活学活用、综合运用各类方法。泰勒公式、中值定理等公式极为重要，在今后的学习工作中要多多总结，灵活掌握各个章节的联系与区别。做到知其然，知其所以然～ 第4章 论文的结论与展望 4.1 论文的结论: 4.1. 1本文主要通过介绍几种求解积分不等式的方法的过程，完成了一下工作: 本文回顾了不等式理论发展的历史并介绍了中外数学家在不等式理论发展中进行的研究和贡献;列举了几种求解数学分析中不等式方法;归纳总结了数学分析中的各类不等式求解的方法技巧。 4.1.2总结:不等式在数学研究、计算和证明中经常用到的且非常重要的工具,同时也是数学中主要研究的问题之一,可以说不等式的研究对数学的发展起着巨大推动作用。在以后的科学研究及读者们的学习中掌握好不等式的问题无疑使至关重要的。 18 4.2论文的展望 在本次论文写作当中前后历时数月之久,我通过网上查阅资料及图 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 馆翻阅文献等工作,初步总结了数学分析中不等式的几种简单而常见的求解方法。此外在此次的论文写作中我还在网上查阅到了高等代数、泛函分析、实变函数、几何等高等数学学科中对不等式研究的求解问题,以及各学科之间相互求解不等式的问题,不等式在各大学科研究中殊途同归、博大精深。但限于本文作者自身学术水平和对不等式的精髓内涵掌握不足,以及时间、精力等问题。最终没能把不等式的研究推向一个新的、更高的研究层次。本人在日后的学习工作中要继续留心和关注不等式的研究问题,争取在下一个研究课题中将不等式的研究做的更充分和完美。 19 河北北方学院 本学位论文在导师的指导下，有本人独立完成本学位论文研究所获得研究成果，其知识产权归河北北方学院所有。河北北方学院有权对本学位论文进行交流。公开和使用。饭发表于学位论文主要内容相关的论文，第一署名单位为河北北方学院，实验材料，原始数据，申报的专利等知识产权均归河北北方学院所否则承担相应的法律责任。 20 致谢 毕业论文设计的这段时间是我学生生涯中最有价值的时光之一。这里有治学严谨而不失亲切的老师，有互相帮助的同学，更有向上、融洽的学校生活氛围。借此论文结束之际，我向所有人表示我最诚挚的敬意和感谢。 首先感谢我的指导老师。本论文是在老师的指导下和同学们的帮助下几经修改而完成的。在此，我要向他们的细心帮助和指导表示由衷的感谢。在这段时间里，我从他们身上不仅学到了许多的专业知识，更感受到他们工作中的兢兢业业，生活中的平易近人。此外，他们严谨的治学态度和忘我的工作精神值得我去学习。非常感谢大家在我的毕业论文设计中，给予我的极大帮助，使我对整个毕业设计的思路有了总体的把握，并耐心的帮我解决了许多实际问题，使我有了很大的收获。同时，他们在整个论文写作过程中提出了许多建设性建议和宝贵意见，并给我解决了一些专业性问题。感谢多年来传授我知识的诸位老师们，更要感谢那些对我学习上支持和鼓励的人。同时感谢所有关心帮助过我的同学、老师和尊敬的母校。 总之，在以后的学习生活中我要以加倍的努力对给予过我帮助的学校、老师及同学们以最大的回报。 21 参考文献 [1] 徐利治, 王兴华. 数学分析的方法及例题选讲【M】. 北京:高等教育出版社, 1984: 122. [2]刘玉琏, 等. 数学分析讲义( 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 ) 高等教育出版社，2003:376. [3] 葛云飞. 高等教学教程【M】.北京:北京交通大学出版社， 2006. [4] 扈志明， 韩云端. 高等级分教程【M】.北京:清华大学出版社，1988. [5] 同济大学应用数学系. 高等数学【M】. 北京高等教育出版社，2003:207-208 [6] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)【M】.北京:高等教育出版社，2003 . [7] 钱吉林等主编. 数学分析题解精粹【M】 武汉:崇文书局，2003 . 22