补码 转载
2010-05-22 21:31补码概述
补码(two's complement)
1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示(存储)。
主要原因:使用补码，可以将符号位和其它位统一处理;同时，减法也可
按加法来处理。另外，两个用补
码表示的数相加时，如果最高位(符号位)有进位，则进位被舍弃。 2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。
求给定数值的补码表示分以下两种情况:
(1)正数的补码:与原码相同。
【例1】+9的补码是00001001。
(2)负数的补码:符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后
整个数加1。
【例2】求-7的补码。
因为给定数是负数，则符号位为"1"。
后七位:+7的原码(0000111)?按位取反(1111000)?加1(1111001) 所以-7的补码是11111001。
已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况:
(1)如果补码的符号位为"0"，表示是一个正数，其原码就是补码。
(2)如果补码的符号位为"1"，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的
补码就是要求的原码。
另一种方法求负数的补码如下:
例如:求-15的补码
第一步:+15:00001111
第二步:逐位取反(1变成0，0变成1)，然后在末尾加1。 11110001
64的补码 再举一个例子验证下:求-
+64:01000000 11000000
【例3】已知一个补码为11111001，则原码是10000111(-7)。 因为符号位为"1"，表示是一个负数，所以该位不变，仍为"1"。 其余七位1111001取反后为0000110;
再加1，所以是10000111。
在"闲扯原码、反码、补码"文件中，没有提到一个很重要的概念"模"。我
在这里稍微介绍一下"模"
的概念:
"模"是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计
量机器，它也有一个计量范
围，即都存在一个"模"。例如:
时钟的计量范围是0~11，模=12。
表示n位的计算机计量范围是0~2^(n)-1，模=2^(n)。
"模"实质上是计量器产生"溢出"的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的
余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。
例如:假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法:
一种是倒拨4小时，即:10-4=6
另一种是顺拨8小时:10+8=12+6=6
在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。
对"模"而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，
，7和5，6和6都有这个特 9和3
性。共同的特点是两者相加等于模。
对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8，所能表示的最大数是11111111，若再
加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的
模为2^8。在这样的系统中减法问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以
了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。
另外两个概念
一的补码(one's complement)指的是正数=原码,负数=反码
而二的补码(two's complement)指的就是通常所指的补码。
3.补码的绝对值(称为真值)
【例4】-65的补码是10111111
若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。
，则我们事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1
可以判定它为负数，并且是用补码表示。
若要得到一个负二进制数的绝对值(称为真值)，只要各位(包括符号位)取
反，再加1，就得到真值。
如:二进制值:10111111(-65的补码)
各位取反:01000000
加1:01000001(+65的补码)
这里补充补码的代数加减运算:
1、补码加法
[X+Y]补=[X]补+[Y]补
【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补
[X]补=00110011[Y]补=11010111
[X+Y]补=[X]补+[Y]补=00110011+11010111=00001010
注:因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位
将丢掉，所以结果不是
100001010，而是00001010。
2、补码减法
[X-Y]补=[X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补
其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是:所有位(包括符号位)按位取反;然后整个数加1。
【例6】1+(-1)[十进制]
1的原码00000001转换成补码:00000001
-1的原码10000001转换成补码:11111111 1+(-1)=0 00000001+11111111=00000000 00000000转换成十进制为0 0=0所以运算正确。
3、补码乘法
设被乘数【X】补=X0.X1X2…Xn-1，乘数【Y】补=Y0.Y1Y2…Yn-1,
【X*Y】补=【X】补×【Y】补，即乘数(被乘数)相乘的补码等于补码的相乘。
补码的代数解释
任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为:a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+…+k(n-2)*2^(n-2)
这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+…+2^(n-2)，而式子:-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+…+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+…+2^(n-2)两式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+…+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-
k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3…不是0就是1，所以1-k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。
不能贴
公式
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，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。
注:n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1)--2^(n-1)-1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0--2^8-1。
C语言中，就是用补码进行存储和运算的。
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