向量的加法运算及其几何意义

向量的加法运算及其几何意义 一、向量加法的两个法则: (1)“三角形法则” (2)“平行四边形法则” 向量的加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接)。 ????????????????????2、化简:AB?DF?CD?BC?FA? 向量减法——三角形法则 ????????????????例(在平行四边形ABCD中，AB?a ，AD?b ，用a、b 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示向量AC、DB。 共线向量定理 向量a(a?0)与b共线时即a?b，充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b,λa. 1.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a,λ，λ. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 ————————————————————————————————————————————————————— 设a,(x1，y1)，b,(x2，y2)，则 a，b,，x，y，y，a,b,,x，y,y，λa,，λy|a| (2)向量坐标的求法 ?若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ?,(x,x，y,y，|AB?| ?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB4.平面向量共线的坐标表示 设a,(x1，y1)，b,(x2，y2) ，则 a ?b?,x,0. 1.平面向量数量积的有关概念 ?,a，OB?,b，则?AOB,θ(0??θ?180?)(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b，记OA 叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a?b，即a?b,0，即0?a,0. (3)数量积的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a,(x1，y1)，b,(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. 1. 两个向量的数量积: a?b? |a||b|cos? . ————————————————————————————————————————————————————— 2. 平面两向量数量积的坐标表示: a?b?x1x2?y1y2. 3. 向量平行与垂直的判定: //?x1y2?x2y1?0. ??x1x2?y1y2?0. 4. 平面内两点间的距离公式: 5. 求模: |AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2 ? ?x2?y2 ?(x1?x2)2?(y1?y2)2 x1x2，y1y2a?b 6，夹角:cos θ|a||b|,. x1，y1x，y22 熟练运算 2π1.已知平面向量a，b的夹角为3|a|,2，|b|,1，则|a，b|, ????2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a,4b的模为( ) 3???? A.2 B.23 C.6 D.12 ??????????? 3.已知a?b、c与a、b的夹角均为60?，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b,c),______. , 4.若a=(0,1), b=(1,1) ，且(a+xb)?a，则x的值是 ( ) A.0 B.1 C. -1 D.2 ————————————————————————————————————————————————————— 5.设单位向量m=(x, y), b=(2,1)，若m?b则 ????????? 6.已知|a|,5，|b|,4，a与b的夹角θ,120?，则向量b在向量a方向上的投影为________. 7，已知向量a，b满足a?(a,2b),3，且|a|,1，b,(1，1)，则a与b的夹角为( ) πA.4 πB.3 3π C.4 2π D.3 8.向量a，b满足|a|,1，|b|,2，(a，b)?(2a,b)，则向量a与b的夹角为( ) ?，OB?|,|OA?,OB?|(O为坐标原点)，则锐角θ,9.已知A(,1，cos θ)，B(sin θ，1)，若|OA ________. 10(已知向量?(cos?,sin?),向量?(,?1)则|2?|的最大值，最小值分别是( ) A(42,0 B(4,42 C(16,0 D(4,0 ????11(已知a?(2,1)与b?(1,2)，要使a?tb最小，则实数t的值为___________。 12(设点A(2,0)，B(4,2),若点P在直线AB上，且AB?2AP，则点P的坐标为( ) A((3,1) B((1,?1) C((3,1)或(1,?1) D(无数多个 13(若a=(2,3)，b=(?4,7)，则a在b上的投影为________________。 ???????????? ————————————————————————————————————————————————————— ?? ??14(已知向量a?(cos?,sin?)，向量b??1)，则2a?b的最大值是 ( ??????15(若向量|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,则|a?b|? 例1 .设平面内的向量?(1,7), ?(5,1), ?(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当?取最小值时，的坐标及?APB的余弦值( 例2 已知函数f(x),a?b，其中a,(2cos x，,3sin 2x)，b,(cos x，1)，x?R. (1)求函数y,f(x)的单调递减区间; (2)在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，f(A),,1，a,7，且向量m,(3，sin B)与n,(2，sin C)共线，求边长b和c的值. 例3，?ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m,(a3b)与n,(cos A，sin B)平行. (1)求A; (2)若a,7，b,2，求?ABC的面积. π??22??例4，在平面直角坐标系xOy中，已知向量m,?，,，n,(sin x，cos x)，x??0，. 2?2???2 π(1)若m?n，求tan x的值;(2)若m与n的夹角为3，求x的值. 1.排列与组合的概念 2. 【例1】 3名女生和5名男生排成一排. (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法, ————————————————————————————————————————————————————— (2)如果女生都不相邻，有多少种排法, (3)如果女生不站两端，有多少种排法, 1、四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 有________种. 2、由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的数共有多少个, 3、3名女生和4名男生，从中选2名男生1名女生分别参加3项比赛，每人一项，不同选法有多少种, 4、从6名女生和4名男生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种, 5、只球队参加比赛，第一轮没两队比赛一场，第二轮由第一轮前两名决赛冠亚军，三，四名决赛季军，共进行多少场比赛, 1.二项式定理 nn,1n,rrn*(1)二项式定理:(a，b)nn?N); n,rr(2)通项公式:Tr，1rr，1项; 01n(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数Cn，Cn，?，Cn. 2，二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项 Cn2n取得最大值 当n为奇数时，中间的两项 与 取最大值 3.各二项式系数和 12nn(1)(a，b)n展开式的各二项式系数和:C0n，Cn，Cn，?，Cn,2024135(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，————————————————————————————————————————————————————— 即Cn，Cn，Cn，?,Cn，Cn，Cn ，?,2n1. , 1 .在x(1，x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A.30 B.20 nC.15 D.10 1??x2.(2016?洛阳调研)在?23?的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是x?? ________. 【例】 在(2,3x)10的展开式中，求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; 【训练】1， 若(1，x，x2)6,a0，a1x，a2x2，?，a12x12，则a1，a2，?，a12=___________a2，a4，?，a12,________. 2?n?2.二项式?x，x?的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) ?? A.180 B.90 C.45 D.360 1n?3.(2016?河南八校三联)?x，2x的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为?? ________. ?31?n4.已知二项式?x，的展开式中各项的系数和为256. x?? (1)求n;(2)求展开式中的常数项. ————————————————————————————————————————————————————— 5.已知(1，ax)(1，x)5的展开式中x2的系数为5，则a,( ) A.,4 B.,3 C.,2 D.,1 —————————————————————————————————————————————————————