高中数学基本不等式习题

高中数学基本不等式习题 b a, ) " " ( , 2 2 2 号 时取 当且仅当 ? ? ? ? b a ab b a b a, 0 , 0 ? ? b a ) " " ( , 2 号 时取 当且仅当 ? ? ? ? b a ab b a (3) 3 3 3 3 ( 0, 0, 0). a b c abc a b c ? ? ? ? ? ? 7(若 3 ? x ，求函数 3 1 ? ? ? x x y 的最小值，并求此时x 的值。 8(若 ? ?R y x, ，且 4 2 ? ? y x (1)求xy 的最大值，及此时 y x, 的值; (2)求 2 2 y x ? 的最小值，及此时 y x, 的值;(3)求 y x 1 1 ? 的最小值及此时 y x, 的值. 例1(已知 0 ? x ，则 x x 4 3 2 ? ? 的最大值是________. 例2(已知 0 , 0 ? ? y x ，且 0 8 2 ? ? ? xy y x ，求(1)xy 的最小值;(2) y x ? 的最小值。 例3(求下列函数的最小值(1) ) 1 ( 1 10 7 2 ? ? ? ? ? ? x x x x y (2)已知 0 , 0 ? ? y x ，且 , 12 4 3 ? ? y x 求 y x lg lg ? 的最大值及相应的x，y 的 值。 例 4(某村 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 建造一个室内面积为 800 2 m 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左(右两侧与 后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长 各为多少 时,蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少。 1(设 R b a ? , ，且 3 ? ?b a ，则 b a 2 2 ? 的最小值是 。 2(下列不等式中恒成立的是 A( 2 2 2 2 2 ? ? ? x x B( 2 1 ? ? x x C( 2 5 4 2 2 ? ? ? x x D( 2 4 3 2 ? ? ? x x 3(下列结论正确的是 A(当 2 lg 1 lg , 1 0 ? ? ? ? x x x x 时 且 B( 2 1 , 0 ? ? ? x x x 时 当 C( x x x 1 , 2 ? ? 时 当 的最小值为2 D(当 x x x 1 , 2 0 ? ? ? 时 无最大值 4(若 y x, 是正实数， 则 ) 4 1 )( ( y x y x ? ? 的最小值为 。 5(若正数 b a、 满足 3 ? ? ? b a ab ，则 b a ? 的取值范围是 。 6(设 R y ? ，且 0 6 4 4 2 ? ? ? ? x xy y ，则x 的取值范围是 。 7(下列函数中最小值是4 的是 A( x x y 4 ? ? B( x x y sin 4 sin ? ? C( x x y ? ? ? ? 1 1 2 2 D( 0 , 3 1 1 2 2 ? ? ? ? ? x x x y 8(若关于x 的方程 0 4 3 ) 4 ( 9 ? ? ? ? ? x x a 有解，则实数a 的取值范围是 。 9(若直线 ) 0 , 0 ( 0 2 2 ? ? ? ? ? b a by ax 过圆 0 1 4 2 2 2 ? ? ? ? ? y x y x 的圆心，则ab 的最 大值是 。 10(已知 2 ? a ， 2 1 2 2 ? ? ? ? a a a p ， 2 4 2 2 ? ? ? ? a a q 则p q。 11(点 ) , ( n m 在直线 1 ? ? y x 位于第一象限内的图象上运动，则 n m 2 2 log log ? 的最大值 是____________. 12(函数 ) 1 )( 5 1 1 ( log 3 ? ? ? ? ? x x x y 的最小值是_____________. 13(已知 2 , 1 2 2 2 2 ? ? ? ? y x b a ，则 by ax ? 的取值范围是__________. 14 (已知 0 , 0 ? ? b a ，且 1 ? ?b a ，则下列不等式? 4 1 ? ab ;? 4 17 1 ? ? ab ab ; ? 2 ? ? b a ;? 2 2 2 1 1 ? ? b a 。其中正确的序号是________________. 15(已知 , 0 , 0 ? ? b a 且 1 2 ? ?b a ，求 2 2 4 2 b a ab S ? ? ? 的最大值。 16(求函数y, a x a x ? ? ? 2 2 1 的最小值，其中 0 ? a 。 17(某单位决定投资3200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧 墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方 米造价 20 元，求:(1)仓库面积S 的最大允许值是多少, (2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长, 例1( 3 4 2 ? 例2(解:(1)由 0 8 ? ? ? xy y x ，得 1 2 8 ? ? y x ， 又 0 , 0 ? ? y x ，则 xy y x y x 8 2 8 2 2 8 1 ? ? ? ? ? ，得 64 ? xy ， 当且仅当 y x ? 时，等号成立。 (2)法1:由 0 8 ? ? ? xy y x ，得 2 8 ? ? y y x ， 2 0 ? ? ? y x ? 则 2 8 ? ? ? ? y y y y x 18 10 2 16 ) 2 ( ? ? ? ? ? ? y y ， 当且仅当 2 16 ) 2 ( ? ? ? y y ，即 12 , 6 ? ? x y 时，等号成立。 法2:由 0 8 ? ? ? xy y x ，得 1 2 8 ? ? y x ， 则 y x ? = ? ? ? ? ) ( ) 2 8 ( y x y x ? ? ? x y y x 8 2 10 18 8 2 2 10 ? ? ? x y y x 。 例3(解:(1)换元法，设 1 ? ? x t ， 1 ? ? x ? ，则 0 ? t ， 1 ? ?t x 且 t t t y 10 ) 1 ( 7 ) 1 ( 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? t t t 4 5 2 9 5 4 5 4 ? ? ? ? ? t t 当且仅当 t t 4 ? ， 2 ? t 即 1 ? x 时，等号成立。则函数的最小值是9。 (2)由 0 , 0 ? ? y x ，且 , 12 4 3 ? ? y x 得 ) 4 )( 3 ( 12 1 y x xy ? 3 ) 2 4 3 ( 12 1 2 ? ? ? y x 3 lg lg lg lg ? ? ? ? xy y x ，当且仅当 6 4 3 ? ? y x ，即 2 ? x ， 2 3 ? y 时， 等号成立。故当 2 ? x ， 2 3 ? y 时， y x lg lg ? 的最大值是 3 lg 例4 设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积 ). 2 ( 2 808 8 2 4 ) 2 )( 4 ( b a a b ab b a S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ). ( 648 2 4 808 2 m ab S ? ? ? 当 ). ( 648 , ) ( 20 ), ( 40 , 2 2 m S m b m a b a ? ? ? ? 最大值 时 即 答:当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大 种植面积为648m 2 . 1. 2 4 2.A 3.B 4. x，y 为正数，(x+y)( 1 4 x y ? )? 4 1 4 y x x y ? ? ? ?9. 5. ) , 6 [ ?? 6. 0 ) 6 ( 16 16 2 ? ? ? ? ? ? ? x x R y ? ，得 2 ? ? x 或 3 ? x 7.C 8(法一:分离变量: 4 3 4 3 ) 4 ( ? ? ? ? ? x x a ，故 ] 8 , ( ? ?? 法二:设 x t 3 ? ，则原方程有解的条件是方程至少有一个正根。故应分为有一正、一负 根及两个正根两种情形讨论。 9. 4 1 10. q p ? 11( 2 ? 12(3 13( ] 2 , 2 [? 14(???? 15( , 1 2 , 0 , 0 ? ? ? ? b a b a ? ? ab ab b a b a 4 1 4 ) 2 ( 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 且 ab b a 2 2 2 1 ? ? ? ，即 4 2 ? ab ， 8 1 ? ab ? 2 2 4 2 b a ab S ? ? ? ) 4 1 ( 2 ab ab ? ? ? 1 4 2 ? ? ? ab ab 2 1 2 ? ? 当且仅当 2 1 , 4 1 ? ? b a 时，等号成立。 16(?a,0 ?(1)当0,a?1 时，y, a x a x ? ? ? 2 2 1 ?2， 当且仅当x,? a ? 1 时，y 最小值,2奎屯 王新敞 新疆 (2)当a,1 时，令 a x ? 2 ,t(t? a )，则有y,f(t),t， t 1 ， 设t2,t1? a ,1，则f(t2),f(t1), 2 1 2 1 1 2 ) 1 )( ( t t t t t t ? ? ,0 ?f(t)在 ) , [ ?? a 上是增函数 ?y 最小值,f( a ), a a 1 ? ，此时x,0奎屯 王新敞 新疆 综合(1)(2)可知:当0,a?1，x,? a ? 1 时，y 最小值,2， 当a,1，x,0 时，y 最小值, a a 1 ? 奎屯 王新敞 新疆 17(设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则顶部面积为 xy S ? 依题设， 3200 20 45 2 40 ? ? ? ? xy y x ，由基本不等式得 xy xy xy y x 20 120 20 90 40 2 3200 ? ? ? ? ? S S 20 120 ? ? ， 0 160 6 ? ? ? ? S S ，即 0 ) 6 )( 10 ( ? ? ? S S ，故 10 ? S ，从而 100 ? S 所以S 的最大允许值是100 平方米， 取得此最大值的条件是 y x 90 40 ? 且 100 ? xy ，求得 15 ? x ，即铁栅的长是15 米。