完全平方公式的变形
完全平方公式的变形与应用
222222完全平方公式在使用时常作如下变()2,()2abaabbabaabb，,，，,,,，
形:
222222(1) abababababab，,，,，,,，()2,()2
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完全平方公式的变形与应用
222222完全平方公式在使用时常作如下变()2,()2abaabbabaabb，,，，,,,，
形:
222222(1) abababababab，,，,，,,，()2,()2
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例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形
面积之和是多少,
解 设长方形的长为α，宽为b，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有:
2222 α+b=(α+b)-2αb=20-2×75=250.
(答略，下同)
例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方
形面积.
解 设长方形长为α，宽为b，则α-b=4，αb=12. 由公式(2)，有:
222(α+b)=(α-b)+4αb=4+4×12=64.
例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明:这个整数的2倍也可以表示为
两个整数的平方和.
22证明 设整数为x，则x=α+b(α、b都是整数).
2222由公式(3)，有2x=2(α+b)=(α+b)+(α-b).得证 例4 将长为64cm的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形
面积之和最小,
解 设绳被分成的两部分为x、y，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为S，则由公式(4)，有:
xy12222 S=()+()=(x+y) 4416
122 =[(x+y)+(x-y)] 32
122 =[64+(x-y)]. 32
2?(x-y)?0，
26422?当x=y即(x-y)=0时，S最小，其最小值为). =128(cm32例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.
22解 设这两数分别为α、b，则α+b=10，α+b=52. 由公式(5)，有:
1222 αb=[(α+b)-(α+b)] 2
12 =(10-52)=24. 2
例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.
222求:α+b+c-αb-bc-cα的值.
解 由公式(6)有:
222 α+b+c-αb-bc-αc
1222 =[(α-b)+(b-c)+(c-α)] 2
1222 =[(-1)+(-1)+2] 2
1 =×(1+1+4)=3. 2
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