例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
一、如图1,已知AB//CD,试找出、和的关系并证明。 ,B,BED,D
我们找出他们的关系是:。证明如下: ,BED,,B,,D
方法一:如图2,过点E作EF//AB。因为AB//EF,所以,BEF,,B;因为AB//CD,
,所以,所以,所以AB//EFEF//CD,FED,,D
,BED,,BEF,,FED,,B,,D。
方法二:如图3,过点E作EF//AB。
,,,BEF,,B,180,BEF,180,,BAB//EFAB//CD因为,所以,即;因为,
,,,FED,,D,180,FED,180,,DAB//EFEF//CD,所以,所以,即;因为
:,BEF,,BED,,FED,360,所以
::,,,,B,,D。 ,BED,360,(,BEF,,FED),360,(180,,B,180,,D)
,,ABD,,BDC,180AB//CD方法三:如图4,连接BD。因为,所以,即
,;在ΔBED中,,ABE,,EDC,180,(,EBD,,EDB)
,,BED,,ABE,,EDC,所以。 ,BED,180,(,EBD,,EDB)
FG,ABAB//CD方法四:如图5,过点E做,垂足为点F,交CD于点G。因为,
,,,,EGD,180,,EFB,90,GED,90,,D所以;在直角ΔEGD中,,在直角ΔEFB
,,FEB,90,,B中,,所以
,,,,。 ,,B,,D,BED,180,(,GED,,FEB),180,(90,,D,90,,B)方法五:如图6,延长BE交CD于点F。因为,所以;在ΔEFDAB//CD,EFD,,B
,,,EFD,,D,180,,FED,BED,180,,FED中,,又因为,所以
。 ,BED,,EFD,,D,,B,,D
例题二、证明: 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直
角三角形(
已知:如图1,在?ABC中,AD=BD=CD(
求证:?ABC是直角三角形(
证法1 如图1,利用两锐角互余(
?AD=CD,CD=BD,
??1=?A,?2=?B。
在?ABC中,??A+?B+?ACB=180?,
??A+?B+?1+?2=180?,
?2(?A+?B)=180?,
??A+?B=90?,
??ACB=90?,??ABC是直角三角形。
证法2 如图2,利用等腰三角形的三线合一(
延长AC到E使CE=AC,连接BE(
?AD=BD,
?CD是?ABE的中位线(
1CD,BE?。 2
1?CD,AB, 2
?AB=BE(
?BC?AC,??ABC是直角三角形(
证法3 如图3,利用此三角形与某个直角三角形相似(或全等)(
过点D作DE?BC交BC于点E(
?CD=BD,
1BE,BC, ?2
BEBD1,,?, BCAB2
??B是公共角,
??BDE??BAC。
??ACB=?DEB=90?,??ABC是直角三角形。 证法4 如图4,利用如果一条直线垂直于两平行线中的一条,则也垂直于另一条(
取BC中点E,连接DE(
?AD=BD,?DE是?ABC的中位线(
?DE?AC(
?CD=BD,CE=BE,
?DE?BC(
?AC?BC,??ABC是直角三角形(
证法5 如图5,构造四边形,并证其为矩形(
延长CD到E使DE=CD,连接AE、BE( ?AD=BD=CD(
?AD=BD=CD=DE,且AB=CE(
?四边形ABCD是矩形(
??ACB=90?,??ABC是直角三角形( 证法6 如图6,利用勾股定理的逆定理(
设AC=b,BC=a,AB=c,取BC中点E,连接DE( ?DE是?ABC的中位线(
11DE,AC,b。 ?22
?CD=BD,?DE?BC。
222DE,BE,BD在Rt?DEB中,?,
222111,,,,,,b,a,c?。 ,,,,,,222,,,,,,
222a,b,c?,??ABC是直角三角形。 证法7 如图7,利用两直线平行,再证同旁内角相等。
延长CD到E使DE=CD,连接BE。 ?AD=BD,?1=?2,
??ADC??BDE(SAS),
??ACD=?E,AC=BE,
?AC?BE,
??ACB+?EBC=180?。
又?AD=CD,?AB=CE。
?BC是公共边,
??ACB??EBC(SSS)。
??ACB=?EBC。
??ACB=90?,??ABC是直角三角形。 证法8 如图8,利用直径所对的圆周角是直角。
以D为圆心,DA长为半径作圆。
AD=BD=CD, ?
?点C、B在圆上,AB是直径。
??ACB=90?。
??ABC是直角三角形。
例题三、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋,共用去9.25元,如果买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹌鹑蛋,则共用去3.20元,试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个,共需多少钱,
这类题目的特点是所能列出的方程的个数少于未知数的个数,看似不可解,但由于所求的并不是每一个未知数的值,而是一个代数式的值。所以可解。这类题对学生来说是有一些难度的,但如果掌握了以下方法,既可以化繁为简,又可以收到一题多解,提高学生能力的效果。
下面让我们先来列出方程。
设鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋的单价分别为x、y、z元,则根据题意,可得方程
13x,5y,9z,9.25,x,y,z,求的值。 ,2x,4y,3z,3.20,
解法一:变元法:
1,z,x,,,2把z看成常数,解关于x、y的方程,可得 ,11,10z,y,,20,
1,z11,10zx,y,z然后代入所求式中,得: x,y,z,,,z,1.05220
答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各1个,共需1.05元。
解法二:直接构造法:
x,y,zx,y,z因为题目中要求的值,所以将原方程互助组变形直接构造出。
13x,5y,9z,9.255(x,y,z),8x,4z,9.25,,, ,,2x,4y,3z,3.204(x,y,z),2x,z,3.20,,
21(x,y,z),22.05?4+?得 ,
?x,y,z,1.05
答:略
解法三:间接构造法:
,?的两边同乘以常数b,得 将原方程组中的?两边同乘以常数a
13ax,5ay,9az,9.25a, ,2bx,4by,3bz,3.20b,
(13a,2b)x,(5a,4b)y,(9a,3b)z,9.25a,3.20b?+?得
?我们想要求的代数式是x+y+z,
?令 13a,2b,5a,4b,9a,3b
可得a=1,b=4,代入上式得 21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05
? x+y+z=1.05
例题四、三角形一题多解
如图:已知AB=AC,E是AC延长线上一点,且有BF=CE,连接FE交BC于D。求证:FD=DE。
证法一
证明:过E点作EM ?AB交DC延长线于M点,则?M=?B,又因为?ACB=?B
?ACB=?ECM=?M,所以CE=EM, 又EC=BF 从而EM=BF,?BFD=?DEM 则?DBF??DME,故 FD=DE;
证法二
证明:过E点作EM ?AB交DC延长线于M点,则?M=?B,又因为?ACB=?B
?ACB=?ECM=?M,所以CE=EM, 又EC=BF 从而EM=BF,?BFD=?DEM
则?DBF??DME,故 FD=DE;
证法二
证明:过F点作FM?AE,交BD于点M,
则?1=?2 = ?B 所以BF=FM,
又 ?4=?3 ?5=?E
所以?DMF??DCE,故 FD=DE。
例题五、平行四边形一题多解
如图4,平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上,且
AE=BF=AB,求证:DF?CE.
证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形,故?1=?F, ?2=
?E,又CD?AB,故?3=?F, ?4=?E,从而?1=?3,?2=?4,而
000?1+?2+?3+?4=180,故?3+?4=90,
表
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明?COD=90,所以DF
?CE。
证法二、如图5,连接MN,则CD=BF,且CD?BF,故BFCD为平行
四边形,则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN?DM,得平行四
边形CDMN,易见CD=DM,故CDMN也是菱形,根据菱形的对角线互相垂
直,结论成立。
证法三、如图6,连接BM、AN, 可证ΔAFN中,BN=BF=BA,则ΔAFN
为直角三角形,即DF?AN,利用中位线定理可知AN?CE,故DF?CE。
证法四、如图7,作DG?CE交AE延长线于G,则EG=CD=AB=AE,故
AD=AG=AF,从而DF?DG,而DGCE,故DF?CE
例题六、如图所示,一个长为a,宽为b的矩形,两个
阴影都是长为c的矩形与平行四边形,则阴影部分面
积是多少。
解法一
将大矩形进行平移将平行四边形
进行转换。
(a-c)(b-c)
解法二 图2重叠面积为c的平方,大矩形面积为ab,小矩形为ac,平行四边形为bc,阴影面积为ab-ac-bc+cc=(a-c)(b-c)