2009 年上海市中学生业余数学学校预备年级考试试题

2009年上海市中学生业余数学学校 预备 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 招生考试 城隍喵 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 （10月17日 上午8 : 30 9 : 30 ） 本卷满分100分（ 7 ' 4 8' 4 10' 4 100 '      ） 【第 1 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 】 2049年是中华人民共和国建国100周年。若两个四位数的和是 2049，则称这两个四位数是一对“和谐数” （不计顺序）。“和谐数”共有 _______对。 【分析与解】 这两个四位数的千位均为1； 这两个四位数的百位均为 0 ； 这两个四位数的末两位之和为 49； 00 49 49  ， 01 48 49  ，…， 24 25 49  ，一共有 25对； 故“和谐数”共有 25对。 （1000 1049 2049  ，1001 1048 2049  ，…，1024 1025 2049  ） 【第 2题】 有一列火车于中午12点由甲地开往乙地，另一列火车于 40分钟后由乙地开往甲地，两列火车均以相同的 速度行驶，行驶两地之间各需要3.5小时，则两列火车在下午 _______点 _______分相遇。 【分析与解】 3.5小时 210 分钟； 设火车的速度为“1”； 一列火车行驶 40分钟后，再经过    1 210 1 40 1 1 85      分钟，两列火车相遇； 故两列火车在下午 2点5 分相遇。 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 3题】 将1， 2，…，9这 9个数分成三组（每组中数的个数不一定相等），使得第一组数的连乘积与第三组数的 连乘积相等，且第二组各数的和是15，则这三组数分别是 _______， _______， _______。 【分析与解】 第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等； 则第一组数的连乘积分解质因数与第三组数的连乘积分解质因数相相同， 即连乘积分解质因数后，有相同的质因数，且相同质因数的指数相同； 7 41 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 5 7            ； 第二组数中必有5 和 7 ； 第二组数剩下的数中必有一个偶数，且不大于  15 5 7 3   ； 故第二组数中必有 2； 第二组数中还有  15 2 5 7 1    ； 第一组数的连乘积 第三组数的连乘积相等 3 22 3  ； 则 6 不能和8在同一组， 6 也不能和9 在同一组； 故8和9 在同一组； 3、 4、 6 在同一组； 综上所述，这三组数分别是 3,4,6 ， 1,2,5,7 ， 8,9 或 8,9 ， 1,2,5,7 ， 3,4,6 。 【第 4题】 将1，2，…，2009倒序排列，且依次每 4个一组，第一组各数间添上“ ”号，第二组各数间添上“ ”， 以后各组以“ ”，“ ”相间隔，列成一个算式： 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1              ，则这个算式 的结果是 _______。 【分析与解】 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1              2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 2 1 0                  2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000             1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 7 6 5 4 3 2 1 0                  2009 2008 0 0 0      4017 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 5题】 有一个四位数的数字颠倒以后（如把1234颠倒为 4321），其数值增加了 2088，这样的四位数共有 _______ 个。 【分析与解】 设原来的四位数为 abcd，则颠倒后的四位数为 dcba；        1000 100 10 1000 100 10 999 90 2088dcba abcd d c b a a b c d d a c b              ；    111 10 232d a c b    ； 2 1 d a c b     ； 满足 2d a  的  ,a d 有  1,3 ，  2,4 ，  3,5 ，  4,6 ，  5,7 ，  6,8 ，  7,9 共 7 种； 满足 1c b  的  ,b c 有  0,1 ，  1,2 ，  2,3 ，  3,4 ，  4,5 ，  5,6 ，  6,7 ，  7,8 ，  8,9 共9 种； 由乘法原理，满足题意的四位数共有 7 9 63  个。 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 6题】 如图，在三角形 ABC中， AB AD DC  ，且图中所有角的度数都是正整数度，那么 BAC 的最大可能的 度数是 _______。 CDB A 【分析与解】 设 C x   ； 因为 AD DC ； 所以 CAD C x     ； 所以 2ADB CAD C x x x        ； 因为 AB AD ； 所以 2B ADB x    ； 因为 180BAC B C     ； 所以  180 180 2 180 3BAC B C x x x             ； 取 1x  时， BAC 最大为177 ； 此时 1CAD C     ， 2B ADB     ， 178ADC   ， 176BAD   ， 满足图中所有角的度数都是正整数度。 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 7题】 已知5个不同的数，任意取两个求和得到10个和数，其中最小的3个和数依次为34，38，39；最大的 2个 和数分别为50，53，则这5个数中最大的数等于 _______。 【分析与解】 设这5 个不同的数从小到大依次是 a，b， c， d ， e（ a b c d e    ）； 因为 34a b  ， 38a c  ； 所以 4c b  ； 因为 53e d  ， 50e c  ； 所以 3d c  ； 第三小的数39可能是 a d 或b c ； 因为 38a c  ， 3d c  ； 所以 38 3 41a d    ； 所以 39b c  ； 根据 34 38 39 a b a c b c       ，得 33 2 35 2 43 2 a b c     ； 再根据 50 53 e c e d     ，得 57 2 49 2 e d    ； 故这5 个数中最大的数等于 57 28.5 2  。 【第 8题】 用 nu 表示正整数 n的数码和，则 1 2 2009 _______u u u    。 【分析与解】 因为 0 1999 、1 1998 、…、999 1000 在运算中未产生进位； 所以以上各数数码和就是自然数 0 、1、 2、3、……、1999 的所有数码和； 所以自然数 0 、1、2、3、……、1999 的所有数码之和  0 1 2 1999 1 9 9 9 1000 28000u u u u          。 因为 0 0u  ； 2000 2001 2002 2009 2 3 4 11 65u u u u           ； 所以 1 2 2009 28000 0 65 28065u u u       。 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 9题】 某校足球联赛结束后，球员进球数统计的部分情况如下： 进球数 1 2 3 …… 8 9 10 人数 3 5 4 …… 3 4 1 已知至少进 3个球的人的平均进球数是 6个，进球数不到 8个的人的平均进球数是 3个，则该联赛中有 _______名队员进球。 【分析与解】 设该联赛中有 x名队员进球； 根据总进球数列方程，得    1 3 2 5 6 3 5 3 3 4 1 8 3 9 4 10 1x x                ； 解得 27x  ； 该联赛中有 27名队员进球。 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 10题】 如图，一个面积为 2168cm 的大矩形被分成16个小矩形，其中的 6个小矩形的面积分别为 22cm ， 24cm ， 28cm ， 216cm ， 220cm 和 225cm ，在图中已将这些数值标记在它的内部，那么阴影部分的小矩形的面积是 2_______ cm 。 2 4 8 16 20 25 【分析与解】 A B C D OE F G H        OE OH OG OF OE OF OG OH       ； 即 AEOH OFCG EBFO HOGDS S S S  长方形 长方形 长方形 长方形 。 36 5 10 10 20 8 4 2520 168 42 故可以分别求出上面三层这12个小长方形的面积； 上面三层的总面积为 22 4 8 10 4 8 16 20 5 10 20 25 132cm            ； 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 最下面一层的总面积为 2168 132 36cm  ； 151263 2 4 8 16 20 25 4 8 20 10 105 阴影部分的小矩形的面积是 2536 15 1 2 4 5 cm    。 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 11题】 若质数 p， q满足： 15q  能被 p整除， 21p  能被 q整除，则满足条件的质数对  ,p q 共有 _______对。 【分析与解】 当 2p  时， 21 2 21 23p     能被 q整除， 则质数 23q  ，同时也满足 15 23 15 38q     能被 2p  整除。 当 2q  时， 15 2 15 17q     能被 p整除， 则质数 17p  ，同时也满足 21 17 21 38p     能被 2q  整除。 当 p， q均为奇质数时： 若 15q p  ，则  21 15 21 36p q q      能被 q整除， 2 236 2 3  能被 q整除，奇质数 3q  ， 15 3 15 18p q     ，舍去。 若 21p q  ，则  15 21 15 36q p p      能被 p整除， 2 236 2 3  能被 p整除，奇质数 3p  ， 21 21 3 24q p     ，舍去。 故 15 2 21 2 q p p q   ≥ ≥ ， 15 2 21 2 q p p q   ≥ ≥ ，    15 21 2 2q p p q   ≥ ， 36p q ≤ ； p遍历不大于36的奇质数：3，5 ， 7 ，11，13，17，19， 23， 29，31。 当 3p  时， 321 3 21 24 2 3p       能被 q整除， 则奇质数 3q  ，同时也满足 15 3 15 18q     能被 3p  整除。 当 5p  时， 21 5 21 26 2 13p       能被 q整除， 则奇质数 13q  ，但不满足 15 13 15 28q     能被 5p  整除。 当 7p  时， 221 7 21 28 2 7p       能被 q整除， 则奇质数 7q  ，但不满足 15 7 15 22q     能被 7p  整除。 当 11p  时， 521 11 21 32 2p      能被 q整除，不存在这样的奇质数 q。 当 13p  时， 21 13 21 34 2 17p       能被 q整除， 则奇质数 17q  ，但不满足 15 17 15 32q     能被 13p  整除。 当 17p  时， 21 17 21 38 2 19p       能被 q整除， 则奇质数 19q  ，同时也满足 15 19 15 34q     能被 17p  整除。 当 19p  时， 321 19 21 40 2 5p       能被 q整除， 则奇质数 5q  ，但不满足 15 5 15 20q     能被 19p  整除。 当 23p  时， 221 23 21 44 2 11p       能被 q整除， 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 则奇质数 11q  ，但不满足 15 11 15 26q     能被 23p  整除。 当 29p  时， 221 29 21 50 2 5p       能被 q整除， 则奇质数 5q  ，但不满足 15 5 15 20q     能被 29p  整除。 当 31p  时， 221 31 21 52 2 13p       能被 q整除， 则奇质数 13q  ，但不满足 15 13 15 28q     能被 31p  整除。 综上所述，满足条件的质数对  ,p q 为  2,23 ，  17,2 ，  3,3 ，  17,19 ，共有 4对。 2009年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试 城隍喵 【第 12题】 一位魔术师想在五个房间内各留下等数量（至少1只）的兔子。在抵达第一个房间之前他要渡过一条神河 一次，同样地从一个房间到另一个房间之前也都要渡过一条神河一次。每当他渡过神河时，他手中的兔子 数量都会加倍，当魔术师离开第五个房间时手中已无兔子。问：原来他至少要有 _______只兔子。 【分析与解】 （方法一） 设每间房留下 x只兔子； 而每当魔术师渡过神河时，魔术师手中的兔子数量都会加倍； 魔术师到第五个房间时有 0 x x  只兔子； 魔术师第五次渡河前有 12 2 x x  只兔子； 魔术师到第四个房间时有 1 3 2 2 x x x  只兔子； 魔术师第四次渡河前有 3 32 2 4 x x  只兔子； 魔术师到第三个房间时有 3 7 4 4 x x x  只兔子； 魔术师第三次渡河前有 7 72 4 8 x x  只兔子； 魔术师到第二个房间时有 7 15 8 8 x x x  只兔子； 魔术师第二次渡河前有15 152 8 16 x x  只兔子； 魔术师到第一个房间时有 15 31 16 16 x x x  只兔子； 魔术师第一次渡河前有 31 312 16 32 x x  只兔子； 因为兔子数是正整数； 所以取 32x  ，原来魔术师至少要有 31 32 31 32   只兔子。 （方法二） 设魔术师原来有 x只兔子，每间房留下 y只兔子； 由题意，得     2 2 2 2 2 0x y y y y y      ； 化简，得32 31 0x y  ；即32 31x y ； 满足方程的最小正整数解为 31 32 x y   ； 原来魔术师至少要有31只兔子。