切比雪夫不等式证明的启示及应用

　　MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714025066869_1选萃 重 庆 与 世 界　２０１１年第２８卷第１期 ＴｈｅＷｏｒｌｄ＆Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｖｏｌ２８Ｎｏ．１２０１１ 　　收稿日期：２０１０－１１－２８ 作者简介：杨乾（１９９０—），男，研究方向：概率论与数理统计。 切比雪夫不等式证明的启示及应用 杨　乾 （西南交通大学峨眉校区，四川 峨眉山　６１４２０２） 摘要：通过对切比雪夫不等式的证明，得到含数学期望和方差的概率不等式的证法。阐述了切比雪夫不等式是 证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础，在概率论及其实际生活中有很多应用。 关键词：切比雪夫不等式；数学期望；方差 中图分类号：Ｏ２１　　　　　　　文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－７１１１（２０１１）０１－０１１９－０２ 　　一、启示：含有期望和方差的概率不等式的证法 　　定理：（切比雪夫不等式）设随机变量Ｘ具有数学期望Ｅ（Ｘ）＝μ，方差Ｄ（Ｘ）＝σ２，则对任意的正数ε，有 Ｐ（｜Ｘ－μ｜≥ε）≤ σ ２ ε２ 或Ｐ（｜Ｘ－μ｜＜ε）≥１－σ ２ ε２ 　　证：设Ｘ为连续性随机变量，概率密度为ｆ（ｘ），则 Ｐ（｜Ｘ－μ｜≥ε）＝ ①∫｜ｘ－μ｜≥εｆ（ｘ）ｄｘ≤ ②∫｜ｘ－μ｜≥ε（ｘ－μ） ２ ε２ ｆ（ｘ）ｄｘ≤ ③ １ ε２∫ ＋∞ －∞ （ｘ－μ）２ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｄ（Ｘ） ε２ ＝σ ２ ε２ 　　切比雪夫不等式的证明步骤： １）先将随机变量在区间内取值的概率用其概率密度在该区间上的积分表示； ２）利用随机变量取值满足的不等式，将被积函数扩大，产生概率不等式； ３）将积分区间扩大到（－∞，＋∞），将积分再次扩大，切使积分化为随机变量或随机变量的函数的期望或方差的表 达式，则得要证的概率不等式。 从中我们得到含期望和方差的概率不等式的证法。 二、切比雪夫不等式的应用 切比雪夫不等式主要有２个方面的应用： １）利用切比雪夫不等式估计随机变量Ｘ落入区间（ａ，ｂ）内的概率Ｐ（ａ＜Ｘ＜ｂ），关键是将待估概率Ｐ（ａ＜Ｘ＜ｂ）化为 Ｐ（｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜ε）或Ｐ ｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）{ }｜≥ε的形式，方法是将不等式ａ＜Ｘ＜ｂ的各端同减去Ｅ（Ｘ） 例１　设随机变量Ｘ的概率密度为ｆ（ｘ）＝ｘ ｍ ｍ！ｅ －ｘ（ｘ≥０），试用切比雪夫不等式估计Ｐ０＜Ｘ＜２（ｍ＋１[ ]） 解：第一步：求Ｅ（Ｘ）和Ｄ（Ｘ） Ｅ（Ｘ）＝∫ ＋∞ ０ ｘｘ ｍ ｍ！ｅ －ｘｄｘ＝ １ｍ！∫ ＋∞ ０ ｘｍ＋１ｅ－ｘｄｘ＝ １ｍ！Γ（ｍ＋２）＝ （ｍ＋１）！ ｍ！ ＝ｍ＋１ Ｄ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ２）－ Ｅ（Ｘ[ ]）２ ＝∫ ＋∞ ０ ｘ２ｘ ｍ ｍ！ｅ －ｘｄｘ－（ｍ＋１）２ ＝ １ｍ！Γ（ｍ＋３）－（ｍ＋１） ２ ＝ （ｍ＋１）（ｍ＋２）－（ｍ＋１）２ ＝ｍ＋１ 　　第二步：将不等式０＜Ｘ＜２（ｍ＋１）的各端同减去Ｅ（Ｘ）＝ｍ＋１，把待估概率Ｐ０＜Ｘ＜２（ｍ＋１[ ]）化成Ｐ（｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜ ＜ε）的形式 Ｐ０＜Ｘ＜２（ｍ＋１[ ]） ＝Ｐ －（ｍ＋１）＜Ｘ－（ｍ＋１）＜ｍ＋[ ]１ ＝ Ｐ ｜Ｘ－（ｍ＋１）｜＜ｍ＋{ }１ ＝Ｐ ｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜ｍ＋{ }１ 　　第三步：取ε＝ｍ＋１，利用切比雪夫不等式估计概率 Ｐ０＜Ｘ＜２（ｍ＋１[ ]） ＝Ｐ ｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜ｍ＋{ }１ ＝Ｐ ｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜{ }ε≥ １－Ｄ（Ｘ） ε２ ＝１－ ｍ＋１ （ｍ＋１）２ ＝ ｍｍ＋１ 　　２）求解或证明一些有关概率的不等式 例２　设在每次试验中，事件Ａ发生的概率为０．７５，利用切比雪夫不等式求： ｎ需要多大时，才能使得在ｎ次独立重复试验中，事件Ａ出现的频率在０．７４～０．７６之间的概率至少为０．９０？ 解：设Ｘ为ｎ次试验中，事件Ａ出现的次数，则Ｘ～Ｂ（ｎ，０．７５） Ｅ（Ｘ）＝０．７５ｎ，Ｄ（Ｘ）＝０．７５×０．２５ｎ＝０．１８７５ｎ 所求为满足Ｐ（０．７４＜Ｘｎ＜０．７６）≥０．９０的最小的ｎ。 Ｐ（０．７４＜Ｘｎ＜０．７６）可改写为 Ｐ（０．７４ｎ＜Ｘ＜０．７６ｎ）＝Ｐ（－０．０１ｎ＜Ｘ－０．７５ｎ＜０．０１ｎ）＝Ｐ ｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜０．０１{ }ｎ 在切比雪夫不等式中取ε＝０．０１ｎ，则 Ｐ（０．７４＜Ｘｎ ＜０．７６）＝Ｐ ｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜０．０１ { }ｎ≥１－ Ｄ（Ｘ） （０．０１ｎ）２ ＝１－０．１８７５ｎ ０．０００１ｎ２ ＝１－１８７５ｎ 依题意，取１－１８７５ｎ ≥０．９０ 解得ｎ≥ １８７５１－０．９＝１８７５０ 即ｎ取１８７５０时，可以使得在ｎ次独立重复试验中，事件Ａ出现的频率在０．７４～０．７６之间的概率至少为０．９０ 参考文献： ［１］　沈恒范．概率论与数理统计 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 ［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２００３． ［２］　陈永华．概率论与数理统计［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，２００５． （责任编辑　周江川 檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 ） （上接第９７页） 完善国家法律法规，加大整治高校学术腐败的力度。 结合国家目前的相关法律，如民法、刑法、知识产权法，制 定并颁布《惩治高校学术腐败法》，追究造假者的法律责 任，从法律上抑制学术腐败的产生。 第三，成立专门的高校学术打假机构，建立学术诚信 系统。建议国家成立专门的高校学术打假机构，依靠信息 网络，建立自己专门的门户网站，全面执行打假职能。同 时允许民间打假机构的存在，并赋予它们一定的权限，推 动学术打假活动的开展。建立学术诚信系统，完善监督机 制，将造假者进行归档，并列入黑名单，根据其造假程度及 其危害性的大小，决定其以后是否能再申请课题和科研基 金等，并在职称考评，工资绩效方面予以制裁，从机构上有 效的预防高校学术腐败的产生。 第四，加强高校师生道德建设和科研能力的培养，从 源头上制止学术腐败的产生。高校要有 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 、有步骤、有 意识地加强广大师生的道德教育，规范他们的学术道德， 提高他们的科研能力。立事先立人，强调要先学会做人， 再从事科研。鼓励广大师生以饱满的热情投身科研，弘扬 科学真理，追求科学进步，从自身堵住学术腐败产生的 根源。 总之，高校学术腐败的治理应该是一个立体的、多维 的、跨时空的综合治理过程。只有采取多种渠道，全方位 的进行惩治，才能有效的遏制学术腐败的产生，才能从根 本上保证高校学术氛围的神圣和公平。 参考文献： ［１］　杨世文．从 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 上保证社会科学研究出精品［Ｊ］．中 国高等教育，２００１（１２）． ［２］　维护学术尊严，反对学术腐败［Ｎ］．光明日报，２００１ －１２－２５（２）． ［３］　潘显一．防治学术腐败，促进社科创新［Ｊ］．中国高等 教育，２００１（１２）． ［４］　杨玉圣，陈远．挥起学术道德这把利剑［Ｎ］．社会科 学报，２００４－０３－１８（３）． ［５］　杨玉圣．为了中国学术共同体的尊严：学术腐败问题 忧思录［Ｊ］．社会科学论坛，２００１（１０）． ［６］　来君．论公民文化与法治［Ｊ］．重庆工学院学报：社会 科学，２００９（８）：７６－８１． ［７］　曹淼孙．基于系统论视角下的高校治理研究学术腐 败［Ｊ］．华北电力大学学报：社会科学版，２０１０（３）． （责任编辑　张佑法） ０２１ 重　庆　与　世　界 