nullnull9.7.1 无条件极值9.7 多元函数的极值则称点P0为函数的极大值点(或极小值点),函数的极大值与极小值统称为函数的极值.极大值点与极小值点统称为函数的极值点,如果对于该邻域内异于P0的任意一点P , 都有null简单函数的极值是容易判断的.在(0,0)点取极小值 (也是最小值).在(0,0)点取极大值 (也是最大值).在(0,0)点无极值.旋转抛物面下半锥面马鞍面null证定理9.10 (极值存在的必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:都有必有类似地可证有null推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为点,均称为函数的驻点.极值点仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的如何判定一个驻点是否为极值点?如, 点的驻点,但不是极值点.注: 驻点null定理9.11 (极值存在的充分条件)且有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,时, 有极大值,时,有极小值;(2)无极值;(3)可能有极值, 也可能无极值.又令null说明：但 z(0,0)= 0 为极小值,在(0,0)点处均有而 u(0,0)= 0 不是极值.null求函数 极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解, 得驻点.第二步:对于每一个驻点求出二阶偏导数的值A、B、C.再判定是否是极值.null例1 求函数 的极值.解 令又在(0,0)处, 在(1,1)处, 故故在(0,0)无极值;在 (1,1)有极小值,得驻点null解方程两边分别对x, y求偏导数, 得得驻点方程组两边再分别对x, y求偏导数,例2 求由方程令确定的函数 的极值.null故函数在P 有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.所以,所以,null解设 x, y是两个变量, 通过实验测得了x与y的一组例3 (最小二乘法) 令数据 是 x的线性函数, 即 如果猜测变量 y试确定常数a, b,null解得得null取得.然而, 如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点, 但也可能是极值点.如: 函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时, 除研究函数的驻点外,由极值的必要条件知, 极值只可能在驻点处在点(0,0)处的偏导数注:还应研究偏导数不存在的点.null并无其他条件.无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,条件极值: 对自变量有附加条件的极值.9.7.2 条件极值 拉格朗日乘数法null解例4 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由
题
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意长方体的体积为且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,令得驻点null上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件目标函数中化为无条件极值. 有时条件极值可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的. 下面要介绍解决条件极值问题的一般下,这样做是有困难的,
方法
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——拉格朗日乘数法null拉格朗日乘数法:在条件要求函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中(x, y)就是可能的极值点的坐标.null下的极值.先构造函数拉格朗日乘数法可推广:或约束条件多于两个的情况.自变量多于两个null解例5 在第一卦限作椭球面 的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标.null该切平面在三个轴上的截距分别为null现只要求 u 的最大值.在条件下 求V 的最小值,null即解得唯一驻点null其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 与一元函数相类似, 可利用函数的极值
求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较, null解(1) 求函数在D内的驻点 因所以, 函数在D内无极值.(2) 求函数在 D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.D例6 求函数 null＊在边界线＊在边界线因最小, 因又在端点(1,0)处, 有所以,最大.有驻点 函数值单调增加.null＊在边界线所以, 最值在端点处.由于 函数单调减少,(3) 比较
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