第7章 线性定常离散时间系统的状态空间设计法

第7章 线性定常离散时间状态空间 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 法 7.1 引言 7.2 状态反馈配置极点 7.3 状态估值和状态观测器 6.3.1 全维观测器 6.3.2 降维观测器 7.4 利用状态估值构成状态反馈以配置极点 7.5 扰动调节 7.6 无差调节 7.1 引言 一个工程被控对象： 7.1 当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： 扰动，比如负载扰动 测量噪声 给定输入的指令信号 如图7.1所示。 图7.1 控制系统示意图 根据工程背景的不同，控制问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。 伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散状态空间模型的设计方法。7.2首先研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置。7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。7.5简单地讨论伺服问题。 7.2 状态反馈配置极点 工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈 7.2 带入式7.1，得 7.3 整理得 7.4 闭环系统的特征方程为 7.5 有 7.6 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n个特征根n，有 7.7 定理：状态反馈配置极点 若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F, G）是一个能达对（能达性矩阵 满秩），则一定存在一个r行n列的状态反馈矩阵L，使得在状态反馈 下，闭环系统式7.4具有任意给定的n个期望的特征根n。 证明：略 通过状态反馈任意配置极点的系统结构如图7.2所示。 在实际工程应用中，动态系统式7.1的阶数n不会太高。在式7.7中L是一个r行n列的矩阵，有nr个待定参数，分别令式中等号左右的n阶首一多项式的n个系数对应相等，可得n个线性方程。 当单输入单输出情况时，l是一个n元行向量，此时l是唯一确定的。 当多输入多输出情况时，L是一个r行n列的矩阵，此时L不是唯一的。 图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点 有限拍闭环控制器 当选择闭环系统的n个特征根均为零，即i=0，i=1，2，…，n，则式7.7成为 7.8 根据矩阵代数中的Cayley-Hamilton定理，有 7.9 上式表明，有任何扰动引起的状态偏差，系统都会在最多n拍以内使之衰减为零。 关于有限拍控制器，有两点需要注意： ① n拍意味着过度过程不大于nT，T为采样周期。这一点似乎意味减小采样周期就可以提高系统的动态速度。但是，减小采样周期同时意味着控制信号的幅值急剧增大。如果控制信号的幅值超出了系统允许的范围，实际上达不到预期的控制效果。因此，谨慎地选取采样周期非常重要。 ② 就动态性能而言，离散时间系统中的零特征值对应于连续时间系统中的特征值为 “-∞”，这在连续时间系统中是无法实现的。 7.3 状态估值和状态观测器 用一组代数运算器通过状态反馈实现被控对象的动态特性任意配置，似乎是一种很完美的控制方法。但是尚有几个非理想的因素需要解决。比如，状态是否可以直接测得？是否可以实现误差调节？对扰动的调节能力如何？等。 工程控制中，状态反馈的实现需要被控对象的n个状态可以实时测得。这一点对于一般的系统大多是不现实的。 自然会想到原系统的状态可达性。按照状态可达性的定义，如果式7.1是状态完全可达的，任意时刻的 总可以在最多n步以内通过对输入 和输出 的测量计算得到。但是n步的延迟是不希望的，往往也是不允许的。 7.3.1 全维观测器 假设被控对象式7.1的状态x无法直接测得，一个合理的办法是人为地对x进行重构，如图7.3所示。重构系统具有和式7.1完全相同的结构、参数、和输入量，其状态记为 ，输出记为 。 理论上讲，由于重构的系统和原系统结构和参数均相同，如果x和 的初始状态也相同，则有 。实际上却存在三个问题： 一是对象中的扰动会改变其状态； 二是原系统可能存在稳定性问题，因而重构系统也会不稳定； 三是原系统参数可能并不太准确。 为了保证 动态跟踪 ，引入输出误差 的反馈。引入反馈后得到 7.10 现在考虑估值误差 7.11 将式7.1和式7.10带入上式，得 图7.3 全维观测器结构 7.12 显然，如果可以选择矩阵K使得矩阵（F-KC）具有稳定且足够小的特征值， 就会足够快地趋于零；就是说， 会足够快地趋于 。 这就是渐进状态观测器，简称观测器。 定理：观测器的动态特性 若被控对象式7.1是状态完全能观的，即（F, C）是一个能观对（能观性矩阵 满秩），则一定存在一个n行m列的输出反馈矩阵K，使得状态观测器式7.10或式7.12具有任意给定的n个期望的特征根2n。 既有 7.13 在上式中K是一个n行m列的矩阵，有nm个待定参数，分别令式中等号左右的n阶首一多项式的n个系数对应相等，可得n个线性方程。 当单输入单输出情况时，K是一个n元行向量，此时K是唯一确定的。 当多输入多输出情况时，K是一个n行m列的矩阵，此时K不是唯一的。 7.3.2 降维观测器（Luenberger观测器） 观测器实际上是控制器的一部分。降低观测器的维数可以简化控制器的设计和实现。 降维观测器的思路是，式7.1中的输出y中已经“直接”包含了部分状态x的信息，这些对应的状态就可直接测得，只需对剩余状态进行观测，观测器的维数就可降低，称为降维观测器。 假设输出矩阵C是满秩的，则一定存在一个相似变换 7.14 其中， 和 分别为n-m维和m维。 于是，式7.1成为 7.15 对应有 7.16 注意到 ，已经直接得到了 的估值，即 7.17 仿照式7.10对上式中的 设计n-m维降维观测器 7.18 但是，上式的特征值无法配置， 可能具有不稳定的特征值。 为此，重新改写式7.16为 7.19 令 子系统的输出为 7.20 则待观测的 子系统成为 7.21 仿照式7.10对上式中的 设计n-m维降维观测器 7.22 将式7.20带入上式，得 7.23 将上式用结构图表示如下图7.4。图中有一个增序算子z，将该支路移到减序支路之后二者相互抵消；相应的状态记为 ；再考虑线性变换式7.14，最后得到x(k)的状态估值 ；如图7.5所示。 图7.4 降维观测器式7.23的结构 图7.5 降维观测器式7.23的等效简化 得到x(k)的状态估值 后，即可实现7.2节中由式7.2定义的状态反馈以实现极点配置，示于图7.6。图中再次对图7.5进行了简化。 图7.56 降维观测器 最后得降维状态观测器动态方程如下式。 7.24 关于降维观测器有如下定理： 定理：降维观测器的动态特性 若被控对象式7.1是状态完全能观的，即（F, C）是一个能观对（能观性矩阵 满秩），并且C是满秩的，则一定存在一个相似变换阵P，经式7.14变换得到式7.15。对此一定可以构成如式7.24所示的n-m维降维观测器，其n-m个观测器特征值可以通过选择(n-m)m维矩阵L1进行任意配置，即任给n-m个特征值n-m, 一定存在L1使得 7.25 证明：略 当C非满秩时，设其秩为m1 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 仅供同学们参考，尚有相关问题需要进一步研究。 7.5 扰动调节 再来回顾图7.1，图中的扰动可能是负载扰动、环境扰动、甚或是参数扰动，或其它扰动。扰动的加入点可能在输入端、输出端、模型内部。扰动可能引起输出的动态偏差和稳态偏差。在经典控制理论中可以对扰动进行反馈控制或前馈控制，可以通过积分调节消除扰动的稳态误差。 本节讨论在状态空间模型下通过观测器对扰动进行估值和前馈控制，下一节讨论扰动的误差调节。 假设输入端有r维扰动d(k)，包含扰动的被控对象如下图7.9所示。 当输出端或模型内部存在扰动时，不失一般性，一般总可以等效向前移动，并入d(k)中。 在式7.1中考虑扰动d(k)，有 7.33 一般来说，做如下假设是合理的： 扰动的频带远小于闭环系统的频带。就是说闭环系统的动态调节速度要比扰动的变化速度快得多。在这一假设下，有理由做式7.32的假设。该假设的工程意义是，由于扰动变化缓慢，使得任意相邻两个采样点上的扰动值近似不变。既有 7.34 式7.33和7.34联立，得到一个状态扩充的系统方程 7.35 其中， 7.36 图7.10 扰动前馈控制与状态反馈配置极点示意图 为了得到d(k)状态估值 ，首先研究式7.35的可观性。其可观性矩阵为 7.37 如果上式是满秩的，则可以构成一个全维或降维的渐近观测器，得到 的状态估值 。其中包括 ，仍如图7.9所示。 对于扰动 ，采用前馈补偿控制。取前馈补偿控制系数为“-Im”，则理论上可以实现扰动全补偿。即由于有 7.38 因此支路和d(k)支路的影响相互抵消，不对输出产生影响。这就是基于扰动观测器的扰动前馈补偿控制。 事实上，观测器是一个渐近观测器。即考虑观测器的动态速度不会无限快， 总会比d(k)略微滞后，全补偿只是近似的。 利用对状态的估值 ，即可以实现状态反馈配置极点。亦示于图7.9中。 7.6 无差调节 由上节可知，通过扰动前馈补偿，可以消除负载等扰动对系统输出的影响。但是前馈补偿属于开环控制，由于参数的变化或不准确，都会影响补偿控制的效果。 为了得到稳态无差调节的特性，现在只考虑标量系统，即单输入单输出系统，亦即，m=r=1。当考虑多输入多输出系统时，涉及到解耦问题，要复杂一些，这里不再讨论。 考虑如下标量纯积分系统 7.39 当达到稳态时，一定有下式成立。 7.40 再令 7.41 将式7.1、式7.39及7.41联立，得到 7.42 整理后得下式。其中，u(k)是反馈控制向量，v(k)是给定控制指令向量。 7.43 在上式中，如果如下可控性判别矩阵满秩， 7.37 则根据状态反馈配置极点的定理，一定存在一个1行n+1列的反馈矩阵l，使得上述n+1维系统的全部极点可以任意配置。 再同时考虑状态和扰动观测器，以及扰动前馈控制，其系统结构图一并示于图7.10中。 图7.10 控制系统示意图 _1320418233.unknown _1320472048.unknown _1320477220.unknown _1320597035.unknown _1320598469.unknown _1320609584.unknown _1390758130.bin _1390759247.bin _1381677063.unknown _1381677098.unknown _1381677272.bin _1381677042.unknown _1320606180.bin _1320609516.unknown _1320600074.unknown _1320598223.unknown _1320598321.unknown _1320597075.unknown _1320522964.bin _1320596607.unknown _1320596809.unknown _1320596967.unknown _1320596460.unknown _1320596480.unknown _1320596508.unknown _1320596473.unknown _1320581552.unknown _1320477971.unknown _1320480122.unknown _1320483069.unknown _1320477415.unknown _1320474173.unknown _1320476315.unknown _1320476741.unknown _1320475082.bin _1320475763.unknown _1320472203.unknown _1320472968.unknown _1320472057.unknown _1320432123.unknown _1320432716.unknown _1320437583.unknown _1320441122.bin _1320472015.unknown _1320439347.bin _1320433515.unknown _1320436888.bin _1320432451.unknown _1320432555.unknown _1320432156.unknown _1320432254.unknown _1320428399.unknown _1320431680.unknown _1320431736.unknown _1320431049.unknown _1320431061.unknown _1320424879.unknown _1320427363.unknown _1320428115.unknown _1320425082.unknown _1320419513.unknown _1320414827.unknown _1320415248.unknown _1320416668.unknown _1320417769.unknown _1320418032.unknown _1320417225.unknown _1320417753.unknown _1320416047.unknown _1320414980.unknown _1320415086.unknown _1320414904.unknown _1320351343.unknown _1320410403.unknown _1320414597.unknown _1320414625.unknown _1320410455.unknown _1320411826.bin _1320396123.unknown _1320396666.bin _1320396095.unknown _1320350710.unknown _1320350720.unknown _1320347941.unknown _1320350534.unknown _1320346303.unknown _976656616.unknown