刚体转动惯量的测量

3.4 常用仪器使用实验 113 刚体的机械运动可以分解为平动和转动。转动惯量是决定刚体转动特性的重要物 理量。刚体的转动惯量与自身的质量分布有关系。对于质量分布均匀、几何形状简单 的刚体，可以由公式准确计算其转动惯量。但是在大多数情况下计算转动惯量是很困 难的，这种情况下一般要用实验来测量。 实验测量转动惯量的方法通常有动力法和振动法两种。动力法是利用转动定律， 通过对刚体转动时所受力矩和角加速度的测量来求得转动惯量.本实验利用动力法测 量圆环的转动惯量。 1．掌握由转动定律测转动惯量的方法； 2．掌握电子毫秒计的使用； 3．学习用作图法处理数据的方法。 刚体定轴转动时所受的力矩 M正比于转动的角加速度β ，这就是转动定律。由公 式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成 βJM = （3.4-30） 式中 J是转动惯量。 设计一个实验装置如图 3.4-36 所示。刚体放在一个托盘上，可以 绕定轴转动。同轴装有一组塔轮。 半径为 r 的塔轮上缠绕着细绳，绳 子另一端挂着质量为 m的砝码，经 3.4.5 刚体转动惯量的测量 设计思路 实验目的 图 3.4-36 转动惯量实验仪 3.4 常用仪器使用实验 114 滑轮后下垂。在重力作用下，刚体受到的外力矩为 mgr。由于阻力矩Mr的存在，总力 矩为 mgr－Mr，转动定律写成 βJMrmg r =− （3.4-31） 该式就是刚体定轴转动的动力学公式。 在角加速度是常量时，若角速度初值为 0ω ，初始时间 t0=0，则刚体转动的角度为 2 0 2 1 tt βωθ += （3.4-32） 该式是刚体定轴匀角加速度转动的运动学公式。 式（3.4-31）、（3.4-32）是我们测量转动惯量的基本公式。在（3.4-31）式中Mr和 β 都是未知量。根据式（3.4-32）可以设法测量角加速度 β。如果能够测出阻力矩 Mr 或通过其它关系式避开对 Mr的测量，就可以计算出转动惯量的值。 思路一： 我们可以设法避开对Mr的测量。例如，取 m=0，就有 'βJM r =− （3.4-33） β' 是只有阻力矩存在时的角加速度。如果阻力矩Mr是一常量，由式（3.4-31）和（3.4-33） 可以消去它，得到 'ββ − = mgrJ （3.4-34） 我们让刚体在重力矩的作用下转动，测量角位移为θ1的时刻 t1和角位移为θ2的时 刻 t2 ，则 2 2202 2 1101 2 1 2 1 tt tt βωθ βωθ += += 两式联立消去 0ω ，得 1 2 22 2 1 1221 )(2 tttt tt − − = θθ β （3.4-35） 同理，去掉砝码，给刚体一个初角速度，让它在阻力矩下转动，测量角位移为θ1 和θ2的时刻 '1t 和 ' 2t ，得到 3.4 常用仪器使用实验 115 1 2 22 2 1 1221 '''' )''(2 tttt tt − − =′ θθ β （3.4-36） 将β和β＇代入到（S3.4-34）式，可以计算出转动惯量 J。 思路二： 上述方法均绕过了对 Mr的测量，实际上 Mr也是可测的。（3.4.-32）式中取ω 0=0 并代入到（3.4-31）式，经整理后得到 gr M grt Jm r+= 2 2 θ （3.4-37） m与 1/t2之间的函数关系是线性的。实验中，固定转动角度θ 不变，逐步改变砝码质量 m，测得相应的时间 t，做 m—1/t2图（或用最小二乘法线性回归），求出拟合直线的斜 率 k和在 m轴上的截距 b。于是可得 θ2 kgrJ = ， bgrM r = 1．角度与时间的测量 用数字毫秒计（计时器）计时，在承放刚体的转盘径向装有一对挡光杆。当挡杆 随转盘转动首次通过光电门挡住光束，开始计时。转盘每转动半周挡一次光电门，毫 秒计就计时一次,其中第 N次计数时对应的转动角度为θ N=(N—1) π。 MCJS20 型自动计数仪是一种单片机控制的自动毫秒计，可以记录、存储并显示 转动角为π、2π、3π、……、99π的时间值。操作步骤如下: 开机数秒后显示选项菜单,用上移和下移键选择”刚体转动惯量测定”项,按”进入” 键进入测量菜单,按”启动”键后开始计时；随着转盘的转动，显示各转动角度对应的计 时值；按”停止”键后，可通过按上移和下移键显示全部计时值。再按”启动”键则进入 新一轮测量。 2．测试装置本身转动惯量的扣除 上面方法测量的转动惯量实际是待测样品转动惯量和仪器系统转动惯量之和。仪 器系统的转动惯量包括托盘、塔轮和转轴等装置的转动惯量，可以统记做 J'。实验时 可先测出总的转动惯量 J，再测出系统的转动惯量 J'，样品净转动惯量为 '0 JJJ −= 实验 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 3.4 常用仪器使用实验 116 转动惯量测试仪，自动计数仪（数字毫秒计），砝码，样品。 1．按照思路一的方法，在加砝码和不加砝码两种情况下，测量转角为θ1、θ2时所 经历的时间 t1、t2和 t1＇、t2＇，计算出总转动惯量、仪器系统的转动惯量，并进一步计 算出圆环样品的转动惯量。计算测量结果的不确定度。 2．按照思路二的方法，取砝码质量为 5.0g，10.0g，…，50.0g，测量样品由静止 开始转动同一θ 角的时间 t，做 m—1/t2图，并用最小二乘法拟合直线，求出 k和 b。分 别测量、计算总转动惯量、仪器系统的转动惯量，得出刚体转动惯量和阻力矩。 为保证由静止时开始计时，注意初始时将挡光杆放在光电门附近，使样品一开始 转动挡光杆就能立即通过光电门，立即开始计时。 3．测量环状样品的质量、内径和外径，按照公式计算转动惯量的理论值。将两种 方法得到的实验值与理论值进行比较，计算相对误差。 1．分析实验误差产生的原因。 2．在本实验理论的基础上，能否再提出一种新的实验方案，并推导计算公式。 用转动定律测转动惯量要解决的关键之一就是要处理好阻力矩问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。实验中将阻 力矩当作常量来处理。两种思路均从（3.4-31）式出发。式中有Mr、J、β三个未知量， 要解决问题还缺少两个独立关系式。根据运动学可以提出 3.4-32关系式，却又增加了 未知量 0ω （θ 、t是可以直接测量的，不看成未知量），仍缺少两个独立关系式。这么 做似乎是把问题复杂化了，其实不然。因为（3.4-32）式中每改变一组θ、t 值就可以 新增加一个关系式而不增加新的未知量，由三组θ 、t值就能得到转动惯量值。但是有 的老式数字毫秒计最多只能记录两组（或只能记录一组θ 、t值），这时必须另想办法。 第一种思路是针对只能记录两组数据情况提出的。实验中改变砝码质量（变为零）， 归纳与小结 分析与思考 实验内容及要求 实验器材 3.4 常用仪器使用实验 117 提出（3.4-33）式，同时又引入了β'。再依据（3.4-31）式，测量记录两组θ '、t' 值， 解决另一个关系式的问题。 第二种思路是针对只能记录一组数据情况提出的。在（3.4-31）式基础上，每改变 一次砝码质量就能提出一个新的关系式。但是为了不增加未知量，必须保证每次实验 时的 0ω 不变。一般情况下这是较难实现的，唯有一种情况是例外，即将每次的 0ω 都取 为零。  1.振动法测量刚体的转动惯量 振动法常用的有三线摆法和扭摆法，它 们都是利用刚体绕定轴摆动的规律来测量 转动惯量的。在一定条件下，这两种摆动都 可以近似为简谐振动。简谐振动的周期 JkT = 三线摆和扭摆两种情况下的比例系数 k 不 一样，但是它们都是可以确定的。所以只要 测量了摆动周期，就能够计算出转动惯量。 1)三线摆法 在三线摆的摆动过程中，刚体的转动动 能与重力势能之间相互转换。 两半径分别为 r 与 R（R>r）的刚性圆盘，用对称分布的三条等长的无弹性、质量可略 的细线相连，上盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆，如图 3.4-37。当施力矩使下盘 转过θ角后，下盘将绕中心转轴 OO" 振动。若调节三线摆使上、下盘均处于水平，当摆角 θ 很小，并且忽略空气阻力与悬线扭力影响时，根据能量守恒与刚体转动定律可以得出下 盘绕中心轴的振动是简谐振动（详细推导请参见附录）。 设下盘的质量为 m0，上下盘间距为 h1，则下盘的振动周期为 0 0 1 0 2 JgRrm h T π= （3.4-38） 由上式可见，只要测出 m0、h1、R、r 和 T0，即可求得圆盘的转动惯量： 20 1 2 0 0 4 T h gRrm J π = （3.4-39） 选读 A B C OR r l H h2 h1 C' θ O" A' O' A B C OR r l H h2 h1 C' θ O" A' O' 图 3.4-37 三线摆 3.4 常用仪器使用实验 118 2) 扭摆法 扭摆摆动过程中，转动动能与弹簧片的弹性势能 之间相互转换。 扭摆的构造如图 S3.4-38 所示，在其垂直轴上装 有一根薄片状的螺旋弹簧，用以产生恢复力矩。在轴 的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有 轴承，使摩擦力矩尽可能降低。 将物体在水平面内转过一角度后，在弹簧的恢复 力矩作用下，物体就开始绕垂直轴做往返扭转运动。 根据胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩 M 与 所转过的角度成正比，即 M=-Kθ   （3.4-40） 式中 K 为弹簧的扭转常数。根据转动定律 M=Jβ 得 β=M/J （3.4-41） 令 ω2= K /J，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（3.4-40）与（3.4. -41）得 θωθ θ β 22 2 d d −=−== J K t 上述方程表示扭摆运动具有角谐振动的特性：角加速度与角位移成正比，且方向相反。此 方程的解为 )cos( ϕωθ += tA 式中 A 为谐振动的角振幅，ϕ 为初相位角，ω 为角速度。此谐振动的周期为 K JT π ω π 22 == （3.4-42） 利用式（3.4-42）测得扭摆的摆动周期后，在 K 已知时即可计 算出转动惯量 J。 3) 复摆法 在重力作用下绕水平转轴在铅垂面内作小角度摆动的刚体 称为复摆。复摆原理如图 3.4-39 所示，设 O 为复摆的转轴，C 为复摆的重心，C、O 之间的距离为 h。平衡时重心在通过转轴 的铅垂线上，经扰动后复摆将绕水平转轴左右摆动。在小摆动 时，其运动方程可表示为 0 d d 2 2 =+ ϕ ϕ J mgh t 式中 m 为复摆质量，J 为复摆绕 O 轴的转动惯量。显然复摆也做简谐振动，其摆动周期 图 3.4-38 扭摆 O C ϕ h 图 3.4-39 复摆 3.4 常用仪器使用实验 119 mgh JT π2= （3.4-43） 若测出 m、h、T，则可求得转动惯量 J。 2.三线摆下盘做角谐振动的推证 由图 3.4-36 所示，当下盘转过 θ角，悬线点 A 上升到 A'，盘上升高度为 H，则 )cos1(2)cos2( )2()( 2 1 2222 2 222222 1 θθ −−=−+−= −+−=−−= RrhRrrRlh RrrRlrRlh 由上面两式可得 2 1 11 2 1121 )cos1(21)cos1(2 h RrhhRrhhhhH θθ −−−=−−−=−= 当θ相当小且有 Rrh 221 ≥ 时，方括号中第二项远小于 1，做展开并略去高次项，可得 1 2 1 11 )cos1(])cos1(2 2 11[ h Rr h RrhhH θθ −=−−−= （3.4-44） 式中的 h1为两盘静止时的垂直距离，θ和 H 均为时间的函数。 另外，在忽略阻力与悬线扭力时，此系统遵从机械能守恒定律，对下盘有 常量=++ 200 2 0 2 1 2 1 vmgHmJ ω （3.4-45） 式中 m0 是盘的质量，J0是盘绕中心轴的转动惯量，ω是盘转至角θ、上升至 H 时的角速度 dθ/dt，v 是盘上升的速度 dH/dt。 在θ相当小且 l 较长（即 h1足够大）时，大圆盘上下运动的平动动能远小于转动动能， 即 202 1 vm << 202 1 ωJ ，于是近似有： 常量=+ gHm t J 0 2 0 )d d( 2 1 θ 上式对时间微分，可得 0 d d d d d d 02 2 0 =+ t Hgm tt J θθ （3.4-46） 又由式（3.4-44）得 th Rr t H d dsin d d 1 θ θ= 3.4 常用仪器使用实验 120 由于θ相当小，sinθ≈θ  ，于是有 th Rr t H d d d d 1 θθ = 上式代入式（3.4-46）中并整理得出 θωθ θ 2 10 0 2 2 d d −=−= hJ gRrm t （3.4-47） 上式为简谐振动方程。这就证明了在满足一定的近似条件时，下盘做角谐振动。其振动周 期 ω π2 0 =T ，由式即可得到式（3.4-38）。 