流体力学习题及答案

流体力学习题及答案 第一章 绪论 1-1 连续介质假设的条件是什么, 答:所研究问题中物体的特征尺度L，远远大于流体分子的平均自由行程l，即l/L 1。 1-2 设稀薄气体的分子自由行程是几米的数量级，问下列二种情况连续介质假设是否成立, (1)人造卫星在飞离大气层进入稀薄气体层时; (2)假象地球在这样的稀薄气体中运动时。 答:(1)不成立。 (2)成立。 1-3 粘性流体在静止时有没有切应力,理想流体在运动时有没有切应力,静止流体没有粘性吗, 答:(1)由于 ，因此 ，没有剪切应力。 (2)对于理想流体，由于粘性系数 ，因此 ，没有剪切应力。 (3)粘性是流体的根本属性。只是在静止流体中，由于流场的速度为0，流体的粘性没有表现出来。 1-4 在水池和风洞中进行船模试验时，需要测定由下式定义的无因次数(雷诺数) ，其中 为试验速度， 为船模长度， 为流体的运动粘性系数。如果 ， ，温度由 增到 时，分别计算在水池和风洞中试验时的 数。( 时水和空气的运动 粘性系数为 和 ， 时水和空气的运动粘性系数为 和 )。 答: 时水的 为: 。 时空气的 为: 。 时水的 为: 。 时空气的 为: 。 1-5 底面积为 的薄板在静水的表面以速度 做水平运动(如图所示)，已知流体层厚度 ，设流体的速度为线性分布 ，求移动平板需要多大的力(其中水温为 )。 答:平板表面受到剪切应力作用，根据牛顿内摩擦定律，剪切应力为: 。 由于 ，得到 ，因此 。 作用于平板上的粘性切向力为: ;其中水的密度为: ; 时水的运动粘性系数为: ;代入上式得到: 1-6 设物面附近流体的流动如图所示，如果边界层 内流速按抛物线分布: ，当 ， ，温度为 ，试问流体分别为水和空气时，作用于壁面OAB上的剪切应力。 答:物体表面的剪切应力为: 。 由于: ，当 时， 。 因此: 。 (1)当流体为水时: 时水的密度 和运动粘性系数 分别为: ， ， 。 (2)当流体为空气时: 时空气的密度 和运动粘性系数 分别为: ， ， 。 1-7 有一旋转粘度计如图所示。同心轴和筒中间注入牛顿流体，筒与轴的间 隙 很小，筒以 等角速度转动。设间隙中的流体速度沿矢径方向且为线性分布， 很长，底部影响不计。如测得轴的扭矩为 ，求流体的粘性系数。 答:轴承受的剪切应力: ; 则轴受到的剪切力为: ; 由于轴受到的扭矩为 ，则: ，即 ; 所以: 。 第二章 流体静力学 2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa，求距地面100m和1000m高空处的 压力。 答:取空气密度为 ，并注意到 。 (1)100米高空处: (2)1000米高空处: 2-2 如果海面压力为一个工程大气压，求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m 时所承受海水的压力分别为多少, 答:取海水密度为 ，并注意到所求压力为相对压力。 (1)当水深为50米时: 。 (2)当水深为500米时: 。 (3)当水深为5000米时: 。 2-3试决定图示装置中A，B两点间的压力差。已知: ， ， ， ， ;酒精 重度 ，水银重度 ，水的重度 。 答:设A，B两点的压力分别为 和 ，1,2,3,4各个点处的压力分别为 ， ， 和 。根据各个等压面的关系有: ， ， ， ， ; 整理得到: ， 2-4有闸门如图所示，其圆心角 ，转轴位于水面上。已知闸门宽度为B，半 径为R，试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角 。 答:(1)求水平分力 由于 ，则 ; 。因此: 。 (2)求垂向分力 其中: ， 因此 。 (3)求合力 合力大小: ; 合力方向: ， 。 2-5设水深为 ，试对下述几种剖面形状的柱形水坝，分别计算水对单位长 度水坝的作用力。(1)抛物线: ，( 为常数); (2)正弦曲线: ，( ， ， 为常数)。 答:(1) ， 为常数。 水平分力: ; 其中 ， ;因此 。 垂直分力: ; 其中 ，而 ，并注意到 ，于是得到: 。 因此， 。 (2) ，( ， ， 为常数)。 水平分力: 。 垂直分力: ; 其中 ，而 ，并注意到 ，于是得到: 因此， 。 2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。已知水的重度 (N/m3)， 水渠左壁为 的直线，右壁为 的抛物线。 答:(1)水渠左壁面受力 ?采用平板公式计算 作用力大小: ; 作用力方向:垂直作用于平板OA，并指向OA。 作用点: ，其中 ， ， 。 因此， ; 。 ?采用柱面公式计算 水平分力: ; 垂直分力: ; 合力: 。 (2)水渠右壁面受力 水平分力: ; 垂直分力: ; 而 ， ; 因此 。 合力: 。 2-7 一圆筒形容器的半径R，所盛水的高度H。若该容器以等角速度 绕其中 心轴转动，设r 0，z h点的压力为p0，试求容器内水的压力分布及自由表面方 程(设容器足够高，旋转时水不会流出)。 答:(1)作用于筒内流体的质量力包括两项: 第一项:与 坐标方向相反的重力，重力加速度为 ; 第二项:沿 坐标方向的离心力，离心加速度为 。 因此单位质量力为: ，其中: 、 分别为 、 方向的单位向量。 (2)对于静止流体微分方程: ，其中压力梯度: ; 将质量力 和压力梯度 代入，则得到: ; 比较方程两端，则得到: ， 。 (3)压力的全微分: ，将 和 代入其中，有: ; 将上式两端同时积分，得到: ，其中 为常数。 将条件 、 时 代入上式，则得到: 。 即流体内部的压力分布为: ; 又由于在自由表面上: ，代入到上述压力分布式中，则得到: ; 该式便是筒内流体的自由面方程。 2-8底面积a×a 200×200mm2的正方形容器的质量为m1 4kg，水的高度为 h 150mm，容器的质量为m2 25kg的重物作用下沿平板滑动，设容器底面与平板 间的摩擦系数为0.13，试求不使水溢出的最小高度H。 答:(1)求水平加速度 : 建立如图所示坐标系，且设倾斜后不使水溢出的最小高度为 。 设容器内水的质量为 ，容器和水的总质量为 ，则: (kg)， (kg)。 由牛顿第二定律: ， 其中 为摩擦系数，则水平加速度为: 。 (2)求作用于流体上的单位质量力: 单位质量力为: 。代入到静止流体平衡微分方程 中，有: ; 比较方程两端，可以得到: ， 。 (3)求自由表面方程 压力的全微分为: 。 在自由液面上， ， 。代入到上式中得到: 。对其进行积分，得到自由表 面方程: 其中 为常数。 *** (确定常数 和高度 ): 由于自由表面方程通过两点: 、 ，代入到自由面方程中，则有: 1 2 将(1)代入到(2)中，得到: 3 又由于倾斜前后，水体积(质量)保持不变，则有: 整理得到: (4) 将(4)代入(3)中，得到: ， 整理得到: (m)， 即不使水溢出的最小高度为0.218m。 2-9 一物体位于互不相容的两种液体的交界处。若两液体的重度分别为 ， ( , )，物体浸入液体 中的体积为V1，浸入液体 中的体积为V2，求物体的浮力。 答:设微元面积 上的压力为 ，其单位外法向量为 ，则作用于 上的流体静力为 。 沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为 。 设 部分的表面积为 ，设 部分的表面积为 ，两种液体交界面处物体的截面 积为 ，交界面处的压力为 。 并建立下述坐标系，即取交界面为 平面， 轴垂直向上为正，液体深度 向 下为正，显然 。 因此 。 在 上 ，在 上 ;代入到上式中得到: 在此，需要注意到，由于在交界面上 ，因此有 。将这两项分别加入到上式 的第二个括号和第三个括号中，则原式成为: 利用高斯公式，可以得到: 即物体受到的浮力为 。 第三章 流体运动学 3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数, 答:对于粘性流体定常平面流动，连续方程为: ; 存在函数: 和 ， 并且满足条件: 。 因此，存在流函数，且为: 。 3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程? 答:如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数， 满足拉普拉斯方程。 3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。 (1) (2) ，其中m，K为常数。 答:(1)流场的加速度表达式为: 。 由速度分布，可以计算得到: ，因此: ， ; ， 。 代入到加速度表达式中: (2)由速度分布函数可以得到: ， ; ， 。 代入到加速度表达式中: 3-4已知欧拉参数表示的速度场分布为 ， ，试求质点位移和速度的拉格朗 日表达式。已知 时 ， 。 答:(1)流体质点的轨迹方程为: ， 将速度分布带入，得到: 两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。将第一个方程改 写为: 该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为 。先求齐次方程的通解，齐 次方程为: ，即 ; 两端同时积分得到: ， 。 (2)令非齐次方程的特解为: ， 对其两端求导得到: ; 将上述 和 代入到原非齐次方程中，有: 。 整理得到: ， 两端同时积分: 代入到特解中得到: 。 (3)将初始条件 时 代入上式，得到: ， 因此: ， 同理可得: 。 轨迹方程为: 。 (4)用拉格朗日法表达的速度为: 。 3-5 绘出下列流函数所表示的流动图形(标明流动方向)，计算其速度、加 速度，并求势函数，绘出等势线。(1) ;(2) ;(3) ;(4) 。 答:(1) ?流动图形:流线方程为 ，流线和流动方向如图中实线所示; ?速度: ， ， ，流场为均匀流动; ?加速度: ; ?求速度势函数: 由于平均旋转角速度: ，因此流场为无旋流场，势函数 存在: ; ?等势线:等势线如图中虚线所示(与流线垂直)。 (2) ?流动图形:流线方程为 ，流线和流动方向如图中实线所示; ?速度: ， ; ; ?加速度: ; ?求速度势函数: 由于平均旋转角速度 ，流场为无旋流场，势函数 存在: ; ?等势线:等势线如图中虚线所示(与流线垂直)。 (3) ?流动图形:流线方程为 ，流线和流动方向如图中实线所示; ?速度: ， ， ; ?加速度: ; ?求速度势函数: 由于 ，流场为有旋流场，势函数 不存在。 (4) ?流动图形:流线方程为 ，流线和流动方向如图中实线所示; ?速度: ， ， 。 ?加速度: ; ?求速度势函数: ，为有旋流场，势函数 不存在。 3-6 已知平面不可压缩流体的速度分布为(1) ， ;(2) ， ;(3) ， 。 判断是否存在势函数 和流函数 ，若存在，则求之。 答:(1) ， ?求速度势函数: ，为有旋流动，势函数 不存在。 ?求流函数: 由于 ，满足不可压缩流体的连续方程，流函数 存在: 。 (2) ， ?求速度势函数: ，为有旋流动，势函数 不存在。 ?求流函数: 由于 ，不满足不可压缩流体的连续方程，流函数 不存在。 (3) ， ?求速度势函数: ，为无旋流动，势函数 存在: ?求流函数: 由于 ，满足不可压缩流体的连续方程，流函数 存在: 。 3-7 已知欧拉参数表示的速度分布为 ， ，求流体质点的轨迹。 答:由轨迹方程 ，并将 和 代入得到: 或者写成: 两端同时积分，得到: ，即 3-8 已知流场的速度分布为 ， ，求 时通过 点的流线。 答:将速度分布函数代入连续方程: 得到: 因此可知，速度分布与 坐标无关，流动为二维流动。由流函数定义式得到: 。 由于流函数为常数时 表示流线，因此流线方程为: 。 将将条件:当 ， 、 代入上式，得 ;因此该瞬时过 的流线方程为: 。 3-9已知平面不可压缩流体的速度分布为 ， ，求 时过 点的流线及此时处 在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。 答:(1)求流线方程: 由于 ，流函数 存在，且为: ; 则流线方程为: ; 将条件:当 时， 、 代入，得 ;则该瞬时过将 点的流线方程为: 。 (2)求加速度: 将条件: 时， 、 代入，得到该瞬时过将 点的流体质点的加速度为: (3)轨迹方程: 。 3-10 设不可压缩流体的速度分布为(1) (2) 。其中a、b、c、d、e、f为常数，试求第三个速度分布 。 答:(1)将速度分布代入连续方程: ，得到: ， 两端同时积分得到: 。 (2)将速度分布代入连续方程: ， 由于: ， ; 因此: 两端同时积分得到: 。 3-11 有一扩大渠道，已知两壁面交角为1弧度，在两壁面相交处有一小缝， 通过此缝隙流出的体积流量为 (m/s)，试求(1)速度分布;(2) 时壁面上 处的速度和加速度。 答:(1)求速度分布: 设半径为 处的径向速度为 ，周向速度为 。显然 ，且 ;其中: ，因此径 向速度分布为: ; (2)求加速度: ; (3)当 时，在 处: ， 。 3-12 已知不可压缩平面势流的分速度为 点上 ，试求通过 及 两点连线的 体积流量。 答:(1)求速度分布: 由平面不可压缩流体的连续方程 ，得到: ， 两端同时对 积分: ; 将条件:在 点 代入上式，得到: ， 因此: 。 流动的速度分布为: ， 。 (2)求流函数: 。 (3)求流量: 利用流函数的性质:流场中任意两点的流函数之差等于通过两点之间连线的 体积流量。由于: ， ;因此流量为: 。 3-13 设流场的速度分布为 ，其中 为常数。(1)求线变形速率，角变形速 率，体积膨胀率;(2)问该流场是否为无旋场,若是无旋场求出速度势。 答:(1)线形变速率为: ， ， ; 角形变速率为: ， ， ; 体积膨胀率为: 。 (2)求速度势: 由于平均角速度的三个分量分别为: ， ， ， 因此: 即流场为无旋流场，速度势函数 存在，且为: 。 3-14 设流场的速度分布为 。试求(1)涡量及涡线方程;(2) 平面上通过 横截面积 mm2的涡通量。 答:(1)求涡量和涡线方程: 流场的平均旋转角速度 的三个分量分别为: ， ， 。 因此平均旋转角速度为: ; 则涡量为: 其三个分量分别为: ， ， ; 将其代入到涡线方程: ，得到: 两端同时积分得到涡线方程: 。 (2)涡通量: 将涡量 在 上积分，得到涡通量为: 其中: ，为平面 的单位外法向量。 设 ，则: ， ， ; 平面外法向量 在三个坐标轴上的分量为: ， ， ; 因此: 3-15 已知流场的流线为同心圆族，速度分布为: 时， ， ; 时， ， 。 试求沿圆周 的速度环量，其中圆的半径 分别为(1) ， (2) ，和 (3) 。 答:(1)极坐标下的速度分布: 在半径为 的圆周上， ， ; 当 时: ， ， ; 当 时: ， ; 。 (2)求速度环量: 速度环量 。 其中 ， ; 分别为 和 方向上的单位向量。因此: 。 当 时: ， ; 当 时: ， ; 当 时: ， 。 3-16 设在 点置有 的旋涡，在 点置有 的旋涡，试求下列路线的速度环量: (1) ，(2) ， 3 的一个方形框，(4) 的一个方形框。 答:(1) (2) (3) (4) 第四章 流体动力学基本定理及其应用 4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义, 答:(1)欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为: 其物理意义为:从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。 (2)伯努利方程的应用前提条件是:理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为: ，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。 4-2 设进入汽化器的空气体积流量为 ，进气管最狭窄断面直径D 40mm，喷油嘴直径d 10mm。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d 6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm，试计算喷油量。汽油的重度 。 答:(1)求A点处空气的速度: 设进气管最狭窄处的空气速度为 ，压力为 ，则根据流管的连续方程可以得到: ， 因此: 。 (2)求真空度 选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A点;并且: 在F点: ， ; 在A点: ， 。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到: 因此真空度为: 若取空气的密度为 ，那么计算得到: 。 (3)求喷油量: 设喷油嘴处汽油的速度为 ，并设空气的密度为 ，重度为 ，汽油的重度为 。 选一条流线，流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点;并且: 在A点: ， ， ; 在B点: ， ， ; 代入到伯努利方程中，可以得到: ; 整理得到: ; 因此汽油喷出速度为: ; 其中空气重度 ; ，并注意到喷油嘴的直径是6mm，而不是原来的10mm，则 计算得到: 因此汽油流量为: 。 4-3 如图所示，水流流入 形弯管的体积流量Q 0.01m3/s，弯管截面由 50cm2减小到 10cm2，流速 和 均匀，若 截面上的压力为一个工程大气压，求 水流对弯管的作用力及作用点的位置。 。 答:(1)求截面 和 上的流速 和 : 由连续方程可知: ， ; (2)求 上的压力 : 已知 上的压力 1个工程大气压 ; 由伯努利方程: 得到: 。 (3)求水流对弯管的作用力 : 由动量定理可以得到: 。 其中 和 分别为在 和 上，外界对水流的作用力;在此需要注意到，对于整 个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此: 截面上作用力为: ， 截面上作用力为: 。 因此: (4)求作用力 的作用点: 设作用点距 截面中心线的距离为 ，两管中心线之间的距离为 。 由动量矩定理可以得到: ; 即: 。 4-4 如图所示，弯管的直径由d1 20cm减小到d2 15cm，偏转角为60?，设粗端表压力p1 7840N/m2，流过弯管流体的体积流量Q 0.08m3/s，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。 答:首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说， 截面处压力 和利用伯努利方程得到的 截面的压力 的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在 和 截面上，均应以相对压力值计算。 (1)利用连续方程求截面 和 上的流速 和 : ， ; (2)利用伯努利方程求 截面的相对压力 : 根据伯努利方程: 可以得到: ; (3)求管壁对流体的作用力 和 : ?求 方向作用力分量 : 由动量定理: 其中 为 截面上外界对管内流体的作用力;整理得到: ?求 方向作用力分量 : 由动量定理: ， 其中 为 截面上外界对管内流体的作用力，整理得到: (4)求力的作用点: 如图所示，设流体对弯管的作用力 和 与 轴和 轴的距离分别为 和 ，由于 和 上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知 ，即合力作用点通过坐标原点。 4-5 如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0 30m/s，水柱的体积流量Q 294m3/s，分流量Q1 118 m3/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角 。设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。 答:(1)由伯努利方程可知 ; (2)设流束宽度分别为 ， 和 ，则有 ， ;又由连续方程可知: 因此: ; (3)应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角: ?求偏转角度 : 在 方向，平板对流体的作用力 ，即: ; 整理得到: 将 代入，可以得到: ， 即: 。 ?求 方向作用力分量 : 由动量定理得到: 整理得到: 4-6 图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平 板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h1，水箱2中的水位高度 为h2，两孔口中心重合，而且直径d1 d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平 板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常 的，平板和水质量力不计。当已知h1和水的密度 时，求保持平板封盖住水箱2 的孔口是h2最大值。 答 :(1)求水箱1出口处速度 : 在水箱1的自由液面上选取A点，在出口截面上选取B点; A点: ， ， ， 其中 为大气压力; B点: ， ， 。 由过A、B两点的伯努利方程: 得到: ; 因此: ， ; (2)求水流对封板的作用力 : 由动量定理，沿垂直于封板的方向: ; (3)求水箱2的最大高度 : 在封板右侧，水箱2形心处的静压力为 ，因此封板受到水箱2的静水压力: 。 当封板左右两侧压力相同时，即 时: 注意到 ，整理可得: 。即水箱2 液面最大高度为 。 4-7 工程中常用文丘里(Venturi)管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为 S1、S2，水的密度和U形测压计中液体的密度分别为 ，且 。若不计水的粘性， 试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。 答:设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为 和 ，则由连续方程可知: ; 又设管路的流量为 ，则: ， ; 选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到: ， 整理得到: ; (1) 取 形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，则有: ， ; 由于 ，则可得到: ; 整理可得: ; (2) 将(2)代入到(1)中，可得: ; 再经整理得到: ， 。 4-8 圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速U均匀，在某截面 处为抛物形速度分布: ，其中 为离管轴的径向距离， 为一未知常数。入口处和 处管截面压力均匀分布，分别为 和 ，流体密度为 ，不计重力。(1)试确定常数 ; (2)证明作用在 至 间，管壁上总的摩擦阻力 。 答:(1)入口处流量为: ;由连续方程可知， 处截面的流量也是 。 又由于通过 截面半径 处环形微元面积 上的流量为: 对其积分可得到: ; 即: ; 因此得到: ; 则速度分布为: 。 (2)入口处流体的动量为: ; 截面上，通过半径为 处的环形面积流体的动量为: ; 将上式积分得到: ; 由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此: ; 其中 为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到: 。 4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、 Q三点的诱导速度。 答:由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为: ; (1)求涡线对R点的诱导速度: 诱导速度由3部分涡线产生，即涡线1、2和3: 涡线1:方向垂直纸面向外: ; 其中 ， ; ; 因此: 。 涡线2:方向垂直纸面向内: ， ; 则: ; 涡线3:方向垂直纸面向外: 则对R点总诱导速度为: (2)求涡线对Q点的诱导速度: 涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外: ， ; 则: ; 涡线2方向垂直纸面向外: ; 则对Q点总诱导速度为: ; (3)求涡线对P点的诱导速度: 涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外: ， ; ; 则: 。 第五章 势流理论 5-1流速为u0 10m/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位 于 0，-5 ，试求: 1 点涡的强度; 2 0,5 点的流速以及通过驻点的流线方程。 答:(1)求点涡的强度 : 设点涡的强度为 ，则均匀流的速度势和流函数分别为: ， ; 点涡的速度势和流函数为: ， ; 因此，流动的速度势和流函数为: ， ; 则速度分布为: ， ; 由于 为驻点，代入上式第一式中则得到: ， 整理得到: 。 (2)求 点的速度: 将 代入到速度分布中，得到: ， ; 将 、 代入上述速度分布函数，得到: (m/s)， (m/s); (3)求通过 点的流线方程: 由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程 ，则流线方程为: ; 将 、 代入，得到: ; 则过该点的流线方程为: ， 整理得到: 5-2 平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于(-1，0)，其流量为θ1 20m3/s，点汇位于(2,0)点，其流量为θ2 40m3/s，已知流体密度为ρ 1.8kg/m3， 流场中(0，0)点的压力为0，试求点(0,1)和(1,1)的流速和压力。 答:(1)求 、 和 点的速度: 点源的速度势为: ， 点汇的速度势为: ; ， ; ?将 、 代入，并注意到 及 ，得到 点的速度为: ， ; 其合速度为: (m/s)。 ?将 、 代入，得到 点的速度为: ， ; 其合速度为: (m/s)。 ?将 、 代入，得到 点的速度为: ， ; 其合速度为: (m/s)。 (2)设 、 和 点的压力分别为 、 和 ，且由题意知 ，则由伯努利方程: ， 因此可得: (N/m2)， (N/m2)。 5-3 直径为2m的圆柱体在水下深度为H 10m以水平速度 u0 10m/s运动。试求(1)A、B、C、D四点的绝对压力;(2)若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min转动，试决定驻点的位置以及B、D两点的速度和压力。此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度(注:温度为15?时，水的饱和蒸汽压力为2.332×103N/m2)。 答:(1)求A、B、C、D四点的绝对压力: 设A、B、C、D四点的绝对压力分别为 、 、 和 ，相对压力分别为 、 、 和 ;并注意到其压力系数分别为1、-3、1和-3，则: A点的绝对压力: (2)求驻点位置和B、D点的速度和压力: 圆柱半径 (m)，旋转角速度 (rad/s); 因此漩涡强度为: ; 柱面上 处，速度分布为: ， ; ? 在驻点(A、C点) ，即: 将 、 和 代入上式，得到: ， 则: ， ; ? 在B点， ，则速度为: (m/s); 压力系数为: ; 相对压力为: (N/m2); 其中B点静水压力为: (N/m2)， 则B点处绝对压力为: (N/m2); ? 在D点， ，则速度为: (m/s); 压力系数为: ; 相对压力为: (N/m2); 其中D点静水压力为: (N/m2)， 则D点处绝对压力为: (N/m2); (3) 由于B点的压力系数最低，首先在B点发生空泡;当水深增至100m 时，B点的静水压力为: (N/m2)， 压力系数为: ; 绝对压力为: B点发生空泡的临界值为 ，且由给定条件知 (N/m2);代入上式得到: ， 将上式整理得到关于 的一元二次方程: 其中系数: ， ， ; 解得: (m/s)。 即当 (m/s)时将发生空泡。 5-4写出下列流动的复势，(1)u U0cosa，v U0sina;(2)强度为m，位于 (a，0)点的平面点源;(3)强度为Γ位于原点的点涡;(4)强度为M，方向为 a，位于原点的平面偶极。 答:(1) ， : ， ; (2)强度为 ，位于 点的平面点源: ， ; 以 点为原点，建立新的坐标系 ;在新坐标系中: ， ， ; 由于新旧坐标系之间的关系为: ， ; ， ; 因此: ; (3)强度为 ，位于原点的点涡: ， ; (4)强度为 ，方向为 ，位于原点的平面偶极: 以原点为圆心，将坐标系 逆时针旋转 角，得到新坐标系 ;在新坐标系中， 速度势和流函数分别为: ， ， ; 由于新旧坐标系间的关系为: ， ， ; 代入到上式可得: ; 5-5 设在 点放置一强度为 的平面点源， 是一固壁面，试求:(1)固壁上 流体的速度分布及速度达到最大值的位置;(2)固壁上的压力分布，设无穷远处 压力为 ; 3 若 ，其中 为时间变量，求壁面上的压力分布。 答:(1)用位于 和 ，强度均为 的两个点源，可以构造位于 的壁面，其速 度势为: ， ; ; 速度分布为: ， ; 在壁面上 ，则壁面上速度分布为: ， ; 由于: ; 令上式为0，则得到: ， ; 即在点 和 ，速度达到最大值，且为: ; (2)当 时， ，由伯努利方程得到: ， ; 将壁面上的压力分布 沿整个壁面进行积分，得到流体作用于壁面的作用力 : 即沿壁面的作用力为 。 (3)当 时，速度势为: ， ; ; 速度分布为: ， ; 在壁面上 ，则壁面上速度分布为: ， ; 由于: ; 令上式为0，则得到: ， ; 即在点 和 ，速度达到最大值，且为: ; (2)当 时， ，由伯努利方程得到: ， ; 5-6 已知复势为 ，求(1)流场的速度分布及绕圆周 的环量;(2)验证有 一条流线与 的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力。 答:(1)求速度分布及绕圆周 的环量: ? 求速度分布: 由复势的定义可知: ; 因此: ， ; ? 求环量: 该流动由三个简单流动组成: 第一个: 为沿 方向的均匀流， ; 第二个: 是位于原点的偶极，设其强度为 ，则 ， ; 第三个: 是位于原点的点涡，设其强度为 ，则 ， 。 因此绕 的环量为 。 (2)将复势改写成下述形式: 则流函数为: 当 时， ，代入上式可得: (常数) 说明 确是一条流线。 由卜拉休斯公式可知，作用在柱面 上的共轭合力为: ; 其中: ， ; 由留数定理可知，上式中仅第二项对积分有贡献，因此: ， 得到: ; 由于: ，得到:水平分力: ，垂向分力(升力): 。 5-7 如习题5-3图所示，设直径为 m的圆柱体在水下深度为 m的水平面上 以速度 m/s作匀速直线运动，(1)试写出流动的绝对速度势、牵连速度势、相 对速度势及对应的单位速度势;(2)求出圆柱体表面上A、B、C、D及θ 45?、 135?六点的绝对速度。 答:(1)设圆柱半径为 ，则得到: 单位相对速度势: ， 相对速度势: ， 牵连速度势: ， 绝对速度势: ， 单位绝对速度势: 。 (2)由绝对速度势可得速度分布为: ， ; 在柱面上 ，代入上式，得到柱面上的速度分布为: ， ; A点， : ， ; B点， : ， ; C点， : ， ; D点， : ， ; : ， ; : ， 。 5-8 若一半经为r0的圆球在静水中速度从0加速至u0，试求需对其作多少功, 答:当圆球加速至 时，其总动能为: ; 其中: 为圆球的质量， 为水的附加质量， 为圆球的密度， 为水的密度。 做功等于动能: 。 5-9 无限深液体中，有一长为L半径为R的垂直圆柱体，设其轴心被长度为 的绳子所系住。它一方面以角速度Ω在水平面内绕绳子固定端公转，另一方面又以另一角速度 绕自身轴线自转。已知圆柱体重量为G，液体密度为 ，并假定 ，试求绳子所受的张力。 答:设绳子的张力为 ，则圆柱体公转向心力为: ; 其中: 为圆柱体自转所产生的升力，且等于: ; 其中: 为公转线速度， 为自转的速度环量，且等于: 其中: 为自转线速度， 为柱体表面微元弧长;因此升力为: ; 为总质量: ; 其中: 为柱体质量， 为柱体密度; 为水的附加质量， 为水的密度;因此张力为: 。 5-10 设有一半径为R的二元圆柱体在液体中以水平分速度u u0t(m/s)运 动。设t 0时，它静止于坐标原点，液体密度为ρ，圆柱体密度为σ。试求流体 作用在圆柱体上的推力及t 2s时圆柱体的位置。 答:由牛顿第二定律可知推力为: 其中: ; ; 为柱体质量; 为液体的附加质量;因此可以得到推力为: ; 由于柱体运动微元距离为 ，因此: ; 由于 时 ，代入上式得到 ，则: 当 时，得到: 。 第六章 水波理论 6-1 求波长为145m的海洋波传播速度和波动周期，假定海洋是无限深的。 答: (m/s)， (s); 即传播速度为15.052(m/s)，波动周期为9.633(s)。 6-2 海洋波以10m/s移动，试求这些波的波长和周期。 答: (m)， (s); 即波长为64(m)，波浪周期为6.4(s)。 6-3 证明 为水深为 的进行波的复势，其中 为复变数， 轴垂直向上，原点 在静水面上。并证明 (提示: )。 答:在图示坐标系中，平面进行波的速度势为: 在 、 方向的速度分别为: ， ; 由上述速度分布得到二维波浪运动的流函数为: 因此，二维波浪运动的复势为: 在上式中，令: ， ， ; 则可得到: 由提示 ，可以得到: 6-4 在水深为 的水平底部(即 处)，用压力传感器记录到沿 方向传播的进行波的波压力为 。设 的最大高度(相对平衡态来说)为 ，圆频率为 ，试确定所对应的自由面波动的圆频率和振幅。 答:微幅平面进行波的压力分布函数为 。对于有限水深 ，其速度势为: ， 对时间求导得到: ; 其中 为表面波幅值， 为波动的圆频率，代入到压力分布函数中，得到: 当 时，代入上式得到: 若波压高度为 ，则其幅值为 ，因此根据上式得到 ，整理得到: 并且从波压分布方程可见，若波压频率为 ，则自由波面频率 。 6-5 有一全长70m的船沿某一方向以等速uo航行。今有追随船后并与船航行方向一致的波浪以传播速度c追赶该船。它赶过一个船长的时间是16.5s，而赶过一个波长的时间是6s。求波长及船速uo。 答:设船长为 ，波长为 ，波速为 ，波浪周期为 ，则可得到: (1) (2) 两式相比较得到: 波长: (m)， 波速: (m/s)， 船速: (m/s)。 6-6 重力场中有限水深微幅进行波的波面为 ，其中 为波幅;设流场的速度 势为 ，试求(1)常数 ;(2)波数 与频率 关系;(3)波的传播速度 与波长 的关系。 答:(1)由线性自由表面动力学条件得到: ， 注意到在自由表面 ，代入上式得到: 将该式与给定的波面方程 进行比较，可得到: 整理得到: 。 (2)将上述常数代入到速度势函数中得到: ， ， ， ; 在自由表面 上，得到: ， ; 代入到自由表面条件: 中，得到: ， 整理得到: 。 (3)波速 ; 由 ，得到 ; 因此: 。 6-7 无限水深中一波浪高度h 1m，而波形的最大坡度角β π/8。试决定流体质点的旋转角速度。 答:设波面方程为 ，其中波幅为 (m); 由于任意波倾角(坡度角)为: 最大波倾角取在波节点处，即 ;因此: ， (1/m)， (rad/s)。 6-8两种流体在y 0处有一分界面，流体被限制在y -h和y h`之间，若上层流体密度为ρ`，下层流体密度为ρ。证明重力波的波速为c2 g ρ-ρ` /k ρcothkh+ρ`cothkh` 其中k为波数，g为重力加速度，忽略表面张力效应。并讨论两层流体均为无限深的情况。 答: 6-9边长为2a的方形柱置于均匀来流Uo和无限深波浪中，潜深为H，若设该流场的速度势为φ Uo x+ga/w ekzsin kx+wt 其中A为波幅，w为频率，k w2/g为波数。已知无穷远自由面上流体静止，压力为大气压pa。试求 1 速度场v ; 答: 2 方柱上下两个面上的压力分布p 含速度平方项V2 ; 答: 3 方柱所受z方向的合力 含V2项 。 答: 第七章 粘性流体动力学 7-1油在水平圆管内做定常层流运动，已知:d 75mm，Q 7 l/s， 800kg/m 壁面上 48N/m ，求油的粘性系数。 答: 7-2 Prandtl混合长度理论的基本思路是什么, 答: 7-3无限大倾斜平板上的厚度为h的一层黏性流体，在重力g的作用下做定长层流运动，自由液面上的压力为大气压Pa 且剪切应力为0，流体密度为 ，运动粘性系数为 ，平板倾斜角为 。试求垂直于x轴的截面上的速度分布和压力分布。 答: 7-4两块无限长的二维平行平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为 和 ，密度分别为 和 的液体，厚度分别为h1和h2。已知上板以等速v0相对于下板向右作平行运动，整个流场应力相同(不计重力)，流体是层流。求流场中速度和切应力的分布。 答: 7-5直径为15mm的光滑圆管，流体以速度14m/s在管中流动，是确定流体的状态。又若要保持为层流，最大允许速度是多少,这些流体分别为(1)润滑 油;(2)汽油;(3)水;(4)空气。已知 10x10 m /s， 0.884x10 m /s。 答: 7-6具有 39.49x10 ， 7252N/m 的油流过直径为2.45cm的光滑圆管;平均流速为0.3m/s。试计算30m长管子上的压力降，并计算管内距管壁0.6cm处的流速。 答: 7-7 30 C的水流过直径为d 7.62cm的光滑圆管，每分钟流量为0.340m ，求在915m长度上的压力降，管壁上的剪应力 及粘性底层的厚度。当水温下降到50 C时，情况又如何, 答: 7-8已知半径为r0的光滑圆管中流体作定常层流运动，流体密度为 ，运动粘性系数为 ，重度 ，若由接出的两玻璃管测得l长度流体的压力降 p h0。 (1)写出沿程阻力系数 与雷诺数R 的关系; 答: (2)推导体积流量 与压力降的关系式 /8 pr04/l。 答: 第八章 相似理论 8-1说明下述模型实验应考虑的相似准数。 ?风洞中潜艇模型试验; 答: ?潜艇近水面水平直线航行的阻力试验。 答: 8-2实船长100m，在海中航速20kn，需要确定它的兴波阻力和粘性阻力。试根据相似理论分别讨论如何在风洞中和在船模水池中进行船模试验。 答: 8-3水雷悬挂于深水中，海水流速为6km/h。若用比实物缩小三倍的模型在风洞中进行试验以测定其粘性阻力，问风洞的风速应为多少,如模型的阻力为125.44N，则水雷的阻力为多少, 答: 8-4实船的速度为37km/h，欲在水池测定它的兴波阻力，问船模在水池中的拖曳速度应为多少,设船模的比尺为实船的1/30。如测得船模阻力为10.19N，则实船的阻力为多少, 答: 8-5水翼艇以等速度U航行。已知水翼吃水深度为h，弦长l，攻角α，水的密度ρ及粘性系数μ。航行时翼面上出现空泡，大气压与水的汽化压力之差为Pa-Pv。试用因次分析法求水翼受力的相似准数。 答: 8-6设深水中螺旋桨推力F与桨的直径D，流体密度ρ，粘性系数μ，转速n以及进速度U有关。 ?试用量纲理论给出它们之间的函数关系以及相似准则; 答: ?若在热水池中作推力模型和实测结果分别用下标“m”和“p”表示。如果Dm/Dp 1/3,Vm/Vp 1/2,Pm/Pp 1，且Up 3m/s,np 400转/分。试设计模型速度Um及转速nm; 答: ?若测得模型推力Fm 10N,求实型推力Fp 。 答: 第九章 边界层理论 9-1设长为L，宽为b的平板，其边界层中层流流动速度分布为u/U0 y/δ。试求边界层的厚度分布δ(x)及平板摩擦阻力系数。 答: 9-2一平板长为5m，宽为0.5m，以速度1m/s在水中运动。试分别按平板纵向和横向运动时计算平板的摩擦阻力。 答: 9-3长10m的平板，水的速流为0.5m/s，试决定平板边界层的流动状态。入围混合边界则转变点在什么地方,设Xcr/L?5%时，称为湍流边界层。试分别决定这一平板为层流边界层时，水的流速应为多少, 答: 9-4一平板置与流速为7.2m/s的空气中，试分别计算在前缘0.3m、0.6m、1.2m、2.4m处的边界层厚度。 答: 9-5平板长为10m，宽为2m，设水流沿平板表面并垂直板的长度，流速分别为:(1)0.01145m/s;(2)1.6m/s;(3)6m/s。试计算平板的摩擦阻力。 答: 9-6标准状态的空气从两平行平板构成的底边通过，在入口处速度均匀分布，其值为U0 25m/s，今假定从每个平板的前缘起湍流边界层向下逐渐发展， 边界层内速度剖面和厚度可近似表示为u/U y/δ 1/7 ，δ/x 0.38Rex -1/5 ， Rex U0x/υ 式中U为中心线上的速度，为x的函数，设两板相距和h 0.3m，板宽B?h(意即边缘影响可以忽略不计)，试求从入口至下游5m处的压力降。其中υ 1.32×10-5m2/s。 答: