线性代数_同济大学版本3-3

null§3 线性方程组的解§3 线性方程组的解一、线性方程组的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式一、线性方程组的表达式一般形式 向量方程的形式 方程组可简化为 AX = b ．增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式二、线性方程组的解的判定二、线性方程组的解的判定设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的．问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一定相等！null定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：只需 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 条件的充分性，即 R(A) < R(A, b) 无解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解； R(A) = R(A, b) < n 无穷多解． 那么 无解 R(A) < R(A, b) ； 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 无穷多解 R(A) = R(A, b) < n ．null证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最 简形矩阵为 第一步：往证 R(A) < R(A, b) 无解． 若 R(A) < R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)＋1，则 dr+1 = 1 ． 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解．R(A) ≤ R(A, b) ≤ R(A)＋1 前 r 列 后 n - r 列 null前 n 列前 r 列第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解．后 n - r 列 则 dr+1 = 0 且 r = n，对应的线性方程组为 从而 bij 都不出现.null前 r 列n 列第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原线性方程组有唯一解． 则 dr+1 = 0 且 bij 都不出现. 即 r = n，前 r 行后 m－r 行后 n - r 列 n 行对应的线性方程组为后 m－n 行null第三步：往证 R(A) = R(A, b) < n 无穷多解． 若 R(A) = R(A, b) < n ， 对应的线性方程组为前 r 列 则 dr+1 = 0 .后 n - r 列 即 r < n ， null令 xr+1, …, xn 作自由变量，则 再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则 线性方程组的通解null例：求解非齐次线性方程组解：R(A) = R(A, b) = 3 < 4，故原线性方程组有无穷多解．null备注：有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = r < n ，这时 还能根据 R(A) = R(A, b) = r < n 判断该线性方程组有无限多解吗？null同解返回 null解（续）： 即得与原方程组同解的方程组 令 x3 做自由变量，则 方程组的通解可表示为 ． null例：求解非齐次线性方程组解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解．null例：求解齐次线性方程组提问：为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形 矩阵？答：因为齐次线性方程组 AX = 0 的常数项都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组 的解的情况．null例：设有线性方程组问 l 取何值时，此方程组有(1) 唯一解；(2) 无解；(3) 有无 限多个解？并在有无限多解时求其通解．定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ．null解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．null附注： 对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换： 如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情况另作讨论． null分析： 讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取何值时，r2 、r3 是非零行． 在 r2 、r3 中，有 5 处地方出现了l ，要使这 5 个元素等于零， l = 0，3，－3，1 ． 实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手．null于是 当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解． 当 l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解． 当 l = －3 时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解．null解法2：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 ．于是当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，方程组有唯一解．null当 l = 0 时， R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解．当 l = －3 时， R(A) = R(B) = 2 ，方程组有无限多个解，其通解为null定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) < R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n ．分析：因为对于 AX = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况．定理：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件 是 R(A) < n ．定理：线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) ．定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ．null定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ．证明：设 A 是 m×n 矩阵， B 是 m×l 矩阵， X 是 n×l 矩阵. 把 X 和 B 按列分块，记作 X = ( x1, x2, …, xl ) ，B = ( b1, b2, …, bl ) 则 即矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi )null设 R(A) = r ，A 的行最简形矩阵为 ，则 有 r 个非零行， 且 的后 m－r 行全是零． 再设 从而 ． 矩阵方程 AX = B 有解 线性方程组 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ) 的后 m－r 个元素全是零 的后 m－r 行全是零 R(A) = R(A, B) ．null定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ．定理：设 AB = C ，则 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ．证明：因为 AB = C ，所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) ． R(C) ≤ R(A, C) ，故 R(C) ≤ R(A) ． 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) ≤ R(B) ． 综上所述，可知 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ．null非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含 n-R(A) 个自由变量 的通解