线性代数同济五版4-3

null§3 向量组的秩§3 向量组的秩null矩阵线性 方程组有限 向量组系数矩阵 增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示课本P. 88定理4： 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ； 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ．null矩阵线性 方程组有限 向量组无限 向量组系数矩阵 增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示向量组与自己的 最大无关组等价null回顾：矩阵的秩回顾：矩阵的秩定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． 规定：零矩阵的秩等于零．定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念向量组的秩的概念定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组， 简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ．null例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式．null第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ．nullR(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． 结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩 是唯一的．null事实上， 根据 R(A0) = 3 可知： A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线性无关的部分组． 在矩阵 A 任取 4 个列向量，根据 R(A) = 3 可知：A中所有4 阶子式都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这 4 个列向量线性相关． A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组． 矩阵 A 的列向量组的秩等于 3． 同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3．null矩阵线性 方程组有限 向量组系数矩阵 增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示一般地， 矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90 定理6）null一般地， 矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.90 定理6） 今后，向量组 a1, a2, …, am 的秩也记作 R(a1, a2, …, am ) ． 若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组． 向量组的最大无关组一般是不唯一的．null例：已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性． 解： 可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关， 同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关， 从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．最大无关组的等价定义最大无关组的等价定义结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的话）都线性相关； 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．null矩阵线性 方程组有限 向量组无限 向量组系数矩阵 增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应 矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解 当且仅当 向量 b 能否由向量组 A 线性表示向量组与自己的 最大无关组等价最大无关组的意义最大无关组的意义结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表． 凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去．null例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一个最大 无关组及 Rn 的秩．解： n 阶单位矩阵 的列向 量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ． 思考：上三角形矩阵 的列向量组是 Rn 的 一个最大无关组吗？null例：设齐次线性方程组 的通解是 试求全体解向量构成的向量组 S 的秩．null例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个 最高阶非零子式．例：设矩阵 求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无 关组的列向量用最大无关组线性表示．null第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ．nullR(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组．null思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？ 思路1：利用P.83 定理1 的结论 思路2：利用矩阵 A 的行最简形矩阵．向量 b 能由 向量组 A 线性表示线性方程组 Ax = b 有解 令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3 A0x = a5null解（续）：为把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合，把矩阵 A 再变成行最简形矩阵于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解． 即矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同的线性关系.null可以看出： b3 = − b1 − b2 b5 = 4b1 + 3b2 − 3b4 所以 a3 = − a1 − a2 a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4