null§2 矩阵的运算§2 矩阵的运算null例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店
发送货物的数量可用数
表
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表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量． 其中aij 表示上半年工厂向第 i 家
商店发送第 j 种货物的数量．其中cij 表示工厂下半年向第 i 家
商店发送第 j 种货物的数量．null解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.null知识点比较null矩阵加法的运算规律设 A、B、C 是同型矩阵设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵．
显然null设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商
店发送第 j 种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． null解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为null数乘矩阵的运算规律设 A、B是同型矩阵，l , m 是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.null知识点比较null其中aij 表示工厂向第 i 家商店
发送第 j 种货物的数量． 例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物
数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量． null解：以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及
总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是其中aij 表示工厂向第 i 家商店
发送第 j 种货物的数量． 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价，
bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． null可用矩阵表示为一般地，一、矩阵与矩阵相乘一、矩阵与矩阵相乘定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 ，其中并把此乘积记作 C = AB． null例：设则null知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数
等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.null例 P.35例5 结论：
矩阵乘法不一定满足交换律.
矩阵 ，却有 ，
从而不能由 得出 或 的结论．null矩阵乘法的运算规律 (1) 乘法结合律 (3) 乘法对加法的分配律(2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数）(4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵null(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT .例null转置矩阵的运算性质null例：已知null解法2null定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即
那么 A 称为对称阵.如果满足 A = －AT，那么 A 称为反对称阵. 对称阵 反对称阵 null例：设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E－2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.证明：从而 H 是对称阵． 五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.运算性质null证明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意义，A、B 必为同阶方阵，
假设 A = (aij)n×n，B = (bij)n×n .我们以 n= 3 为例，构造一个6阶行列式nullnullnull令 ，则 C = (cij)= AB ． null从而 ．null定义：行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵
称为矩阵 A 的伴随矩阵.性质null性质证明 六、共轭矩阵（设A，B 为复矩阵，l 为复数，且运算都是可行的）：六、共轭矩阵运算性质当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 ， 称为 的共轭矩阵.
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