Taylor公式与科学计算

Taylor公式与科学计算null Taylor公式与科学计算 ------从导数的数值计算谈起 Taylor公式与科学计算 ------从导数的数值计算谈起 Taylor公式与科学计算 Taylor公式与科学计算 1. Taylor公式微积分顶峰 2. 计算机如何实现导数的计算 3. 数值计算精度分析 4. 计算机实现导数计算存在的问题 5. Taylor公式解决问题 6. 李查逊外推（Richardson） 7...

null Taylor公式与科学计算 ------从导数的数值计算谈起 Taylor公式与科学计算 ------从导数的数值计算谈起 Taylor公式与科学计算 Taylor公式与科学计算 1. Taylor公式微积分顶峰 2. 计算机如何实现导数的计算 3. 数值计算精度分析 4. 计算机实现导数计算存在的问题 5. Taylor公式解决问题 6. 李查逊外推（Richardson） 7. Lagrange插值基本思想和方法 8.样条函数插值的基本思想和方法 Taylor公式：微分学顶峰Taylor公式：微分学顶峰函数用常数（极限代替），误差是无穷小．函数用一次多项式逼近，产生的误差是高阶无穷小．应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数三角函数表哪里来？Ｔaylor 公式应用举例１：用多项式逼近函数应用举例１：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数导数的数学定义与数值计算导数的数学定义与数值计算导数的数学定义计算机实现导数的计算计算机无法实现无限次计算解决问题办法是近似计算，有限次逼近无限次运算数值计算精度分析数值计算精度分析计算精度分析无穷小阶描述数学问题重要工具，不需要精确数学表达式，仅需要对整体有个估计 h越小，近似计算的精度越高计算实例计算实例计算实例与存在的问题注意到一个现象： (1) 从表中看出 h=0.2时候计算效果最佳 (2) 取得比 h=0.2 小时计算的效果越来越差实验结果与数学分析结论完全不一致！透过现象看本质！数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析定义：假设为整数，如果则称有n位有效数字。的近似值具有5位有效数字例1：结论：有效数字是从第一位不等于0的数算起！数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析求两个实根，保留小数点后面８位．b没起作用， “大数吃小数”!数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析方法１和方法２哪个更精确？数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析两个相近的数相减有效数字会严重损失！寻求补救办法！Taylor公式解决问题Taylor公式解决问题 Taylor公式解决问题Taylor公式解决问题看到解决问题希望Taylor公式解决问题Taylor公式解决问题将上述方法推广到一般情况数学归纳法，善于归纳一般结论Taylor公式与导数计算Taylor公式与导数计算计算过程分析 (6)(9)(3)(5)(8)(10)(1)(2)(4) (7)计算过程相当于半二次循环！Taylor公式解决问题Taylor公式解决问题计算的一阶导数值，实验结果如下：李查逊外推（Richardson）李查逊外推（Richardson）李查逊外推（Richardson）假设逼近有渐进展开的形式：善于提炼一般性问题，透过现象看本质外推法和割圆术外推法和割圆术设圆的内接正n边形面积为由Taylor展开从而外推法和割圆术外推法和割圆术其截断误差为，令其截断误差为外推法和割圆术外推法和割圆术其截断误差为最后得Richardson外推公式外推法和割圆术外推法和割圆术表格比较了外推法和常规方法12896------------806448403224n215606374275345741605275423460160734816276n1可以看到对逼近精度为时,用Richardson外推方法仅需计算圆的内接80正边形面积，而用常规公式经需要内接7542边形，在逼近精度为时， Richardson 外推法的优势更明显.外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术Richardson外推法计算圆周率快速的提高了计算精度，尤其在高精度逼近时其收敛速度是常规方法无法比拟的。数值运算误差的初步分析数值运算误差的初步分析用计算机表示任何数字只能是有限位，计算机实现任何运算都会有舍入误差，在科学计算中必须充分重视舍入误差对计算结果的影响，这也是科学计算重要而十分艰难的重要研究课题。因此在计算机计算的过程中应该避免两个相近数字的减法运算。任何一个工程或者科学问题，其数值计算的次数是巨大和海量的，我们必须设计有效的算法控制舍入误差的传播。Lagrange插值基本思想 Lagrange插值基本思想 Lagrange插值算法和误差估计Lagrange插值算法和误差估计nullLagrange插值算法和误差估计Lagrange 插值是否随着插值节点的增加确保收敛,在什么条件下收敛?样条插值逼近算法基本思想样条插值逼近算法基本思想样条函数体现了分段函数的思想样条函数的表达式样条函数的表达式样条插值逼近定义与算法样条插值逼近定义与算法样条插值逼近定义与算法样条插值逼近定义与算法三次样条插值逼近误差估计三次样条插值逼近误差估计应用数学重要分支:数值逼近应用数学重要分支:数值逼近函数逼近的构造方法，有关的基本理论（算法实现，误差分析）以及在计算机数值实现。数值逼近方法广泛应用工程技术领域。探索类问题探索类问题1784年，Euler利用下面公式得到的精度23位。2000年，Xavier Gourdon 仍然利用这个公式得到1百20亿位精度，探索研究方法.

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