高等数学第09章_曲线积分与曲面积分习题详解

第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 1 第九章 曲线积分与曲面积分 习题 9-1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （1） L I xds  ，其中 L是圆 2 2 1x y  中 (0,1)A 到 1 1 ( , ) 2 2 B  之间的一段劣弧； 解: »L AB 的参数方程为： cos , sinx y   ( ) 4 2      ，于是 2 4 2 2cos ( sin ) cosI d           2 4 1 cos (1 ) 2 d         ． （2） ( 1) L x y ds Ñ ，其中 L是顶点为 (0,0), (1,0)O A 及 (0,1)B 所成三角形的边界； 解: L是分段光滑的闭曲线，如图 9－2 所示，根据积分的可加性， 则有 ( 1) L x y ds Ñ ( 1) OA x y ds   ( 1)AB x y ds   ( 1)BO x y ds   ， 由于OA: 0y  ， 0 1x  ，于是 2 2 2 2( ) ( ) 1 0 dx dy ds dx dx dx dx dx      ， 故 1 0 3 ( 1) ( 0 1) 2 x y ds x dx      OA ， 而 :AB 1y x  , 0 1x  ，于是 2 2 2 2( ) ( ) 1 ( 1) 2 dx dy ds dx dx dx dx dx       ． 故 1 0 ( 1) [ (1 ) 1] 2 2 2 AB x y ds x x dx        ， 同理可知 :BO 0x  （ 0 1y  ）， 2 2 2 2( ) ( ) 0 1 dx dy ds dy dy dy dy dy      ，则 1 0 3 ( 1) [0 1] 2BO x y ds y dy       ． 综上所述 3 3 ( 1) 2 2 3 2 2 2 2L x y ds      Ñ ． x y o (1,0)A (0,1)B x y o A B C 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 2 （3） 2 2 L x y dsÑ ，其中 L为圆周 2 2x y x  ； 解 直接化为定积分． 1L 的参数方程为 1 1 cos 2 2 x   , 1 sin 2 y  （ 0 2   ）, 且 2 2 1[ ( )] [ ( )] 2 ds x y d d       ． 于是 2 2 2 0 1 cos 2 2 2L x y ds d       Ñ ． （4） 2 L x yzds ，其中 L为折线段 ABCD，这里 (0,0,0)A ， (0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ； 解 如图所示， 2 2 2 2 L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds      ． 线段 AB的参数方程为 0, 0, 2 (0 1)x y z t t     ，则 2 2 2( ) ( ) ( ) dx dy dz ds dt dt dt    2 2 20 0 2 2dt dt    ， 故 02200 1 0 2   dttyzdsxAB ． 线段 BC的参数方程为 , 0, 2(0 1)x t y z t     ，则 2 2 21 0 0 ,ds dt dt    故 1 2 2 0 0 2 0 BC x yzds t dt      ， 线段CD的参数方程为 1, 2 , 2x y t z t    )10(  t ，则 2 2 20 2 1 5ds dt dt    ， 故 x y o L 1L 1 x y z (0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)C (1,2,3)D 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 3 1 1 2 2 0 0 8 1 2 (2 ) 5 2 5 ) 5 3CD x yzds t t dt t t dt          2 (2 ， 所以 2 2 2 2 8 5 3L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds       ． （5） 2 L x dsÑ ， L为球面 2 2 2 1x y z   与平面 0x y z   的交线。 解 先将曲线 L用参数方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，由于 L是球面 2 2 2 1x y z   与经过球心的平面 0x y z   的交线，如图所示， 因此是空间一个半径为1的圆周，它在 xOy 平面上的投影为椭圆， 其方程可以从两个曲面方程中消去 z而得到，即以 ( )z x y   代入 2 2 2 1x y z   有 2 2 1 2 x xy y   ，将其化为参 数方程，令 3 1 cos 2 2 x t ，即 2 cos 3 x t ， 1 sin 2 2 x y t  ，即有 1 1 sin cos 2 6 y t t  ，代入 2 2 2 1x y z   （或 0x y z   中） 得 1 1 sin cos 2 6 z t t   ，从而 L的参数方程为 2 cos 3 x t ， 1 1 sin cos 2 6 y t t  ， 1 1 sin cos 2 6 z t t   (0 2 )t   ． 则 2 2 2[ ( )] [ ( )] [ ( )]ds x t y t z t dt     2 2 2 2 cos sin sin cos sin ( ) ( ) 3 2 6 6 2 t t t t t dt dt      , 所以 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 cos cos 3 3 3L x ds tdt tdt       Ñ ． 2 设一段曲线 ln (0 )y x a x b    上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的 平方，求其质量． 解 依题意曲线的线密度为 2x  ，故所求质量为 2 L M x ds  ，其中 : ln (0 )L y x a x b    ．则 L的参数方程为 ln x x y x    (0 )a x b   ， 故 x z o y 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 4 2 2 2 1 1 1 1 1 dy ds dx dx x dx dx x x            ， 所以 3 2 2 2 211 [ (1 ) ] 3 b b a a x M x dx x x     3 3 2 22 2 1 [(1 ) (1 ) ] 3 b a    ． 3 求八分之一球面 2 2 2 1( 0, 0, 0)x y z x y z      的边界曲线的重心，设曲线的密 度 1  。 解 设曲线在 , ,xOy yOz zOx坐标平面内的弧段分别为 1L 、 2L 、 3L ，曲线的重心坐标为  , ,x y z ，则曲线的质量为 1 1 2 3 2 3 3 3 4 2L L L L M ds ds          Ñ ．由对称性可得重心坐标   1 2 3 1 2 3 1 1 L L L L L L x y z xds xds xds xds M M           Ñ   1 3 1 1 2 0 L L L xds xds xds M M       1 0 2 2 2 4 31 xdx M Mx       ． 故所求重心坐标为 4 4 4 , , 3 3 3         ． 习题 9.2 1 设 L为 xOy面内一直线 y b （b为常数），证明 ( , ) 0 L Q x y dy  。 证明：设 L是直线 y b 上从点 1( , )a b 到点 2( , )a b 的一段，其参数方程可视为 ( )y y x b  ，（ 1 2a x a  ）， 于是 2 1 ( , ) ( , ) 0 0 a L a Q x y dy Q x b dx     。 2 计算下列对坐标的曲线积分： 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 5 （1） L xydx ，其中 L为抛物线 2y x 上从点 (1, 1)A  到点 (1,1)B 的一段弧。 解 将曲线 L的方程 2y x 视为以 y为参数的参数方程 2x y ，其中参数 y从 1 变到 1。因此 1 1 2 2 4 1 1 4 ( ) 2 5L xydx y y y dy y dy        。 （2） L dyyxdxyx 2222 )()( ，其中 L是曲线 xy  11 从对应于 0x 时的点到 2x 时的点的一段弧； 解 1L 的方程为 y x (0 1)x  ，则有 3 2 2)()( 1 0 22222 1   dxxdyyxdxyx L ． 2L 的方程为 2y x  (1 2)x  ，则 dyyxdxyx L )()( 22 22 2  2 2 2 1 [ (2 ) ]x x dx   2 2 2 1 [ (2 ) ] ( 1)x x dx     2 2 1 2 2(2 ) 3 x dx   ． 所以 3 4 )()( 2222 L dyyxdxyx ． （3） , L ydx xdy L是从点 ( ,0)A a 沿上半圆周 2 2 2x y a  到点 ( ,0)B a 的一段弧； 解 利用曲线的参数方程计算． L的参数方程为: cos , sinx a y a   ，在起点 ( ,0)A a 处 y 1o 2 1L 2L x y o( ,0)A a ( ,0)B a x 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 6 参数值取 ，在终点 ( ,0)B a 处参数值相应取 0，故 从 到 0．则 0 sin ( cos ) cos ( sin ) L ydx xdy a d a a d a         = 0 2 cos2 0a d     ． （4） 2 2 L xy dy x ydx ，其中 L沿右半圆 2 2 2x y a  以点 (0, )A a 为起点，经过点 ( ,0)C a 到终点 (0, )B a 的路径； 解 利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为: cos , sinx a y a   ，在起点 (0, )A a 处 参数值取 2  ，在终点 (0, )B a 处参数值相应取 2   ，则 2 2 L xy dy x ydx 2 22 2 cos ( sin ) ( sin ) ( cos ) sin ( cos )a a d a a a d a            g 4 2 22 2 2 sin cosa d         4 4 a    。 （5） 3 2 23 L x dx zy dy x ydz  ，其中 L为从点 (3,2,1)A 到点 (0,0,0)B 的直线段 AB； 解 直线 AB的方程为 3 2 1 x y z   化成参数方程得 3x t ， 2y t ， z t ， t从1变到0 。 所以 3 2 23 L x dx zy dy x ydz  0 3 2 2 1 [(3 ) 3 3 (2 ) 2 (3 ) 2 ]t t t t t dt   g g g 0 3 1 87 87 4 t dt   。 （6） ( ) ( ) ( ) L I z y dx x z dy x y dz     Ñ ， L为椭圆周 2 2 1 , 2 , x y x y z        且从 z 轴 正方向看去， L取顺时针方向。 解 L的参数方程为 cosx t ， siny t ， 2 cos sinz t t   ， t从 2 变到0 ， ( ) ( ) ( ) L I z y dx x z dy x y dz     Ñ 0 2 2 2 (3cos sin 2sin 2cos )t t t t dt      2  。 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 7 3 设 z 轴与重力的方向一致，求质量为 m 的质点从位置 1 1 1( , , )x y z 沿直线移到 2 2 2( , , )x y z 时重力所作的功。 解 因为力 (0,0, )F mg ur 所以 2 1 2 1( ) z z W mgdz mg z z   。 习题 9.3 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 3 3 cos , sin , x a t y a t     ( 0 2t   )；） 解 1 2 L A xdy ydx Ñ 3 2 3 22 0 1 4 [ cos 3 sin cos sin 3 cos ( sin )] 2 a t a t t a t a t t dt      g 2 4 2 4 2 2 2 22 2 0 0 6 [cos sin sin cos ] 6 cos sina t t t t dt a t tdt       23 8 a 。 (2) 圆 2 2 2x y by  ，（ 0b  ）； 解 设圆的参数方程为 cos , sin x b t y b b t   , t从0 变到 2 .那么 1 2 L A xdy ydx Ñ 2 0 1 [ cos cos ( sin ) ( sin )] 2 b t b t b b t b t dt       g 2 2 0 1 (1 sin ) 2 b t dt     2b 。 （3）双纽线 2 2 2 2 2 2( ) ( )x y a x y   ，（ 0b  ）。 解 把双纽线的参数方程代入到公式 1 2 L A xdy ydx Ñ 即可求得所要求的面积 2a 。 2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) ( ) (3 ) L y x dx x y dy  Ñ ，其中 L是圆 9)4()1( 22  yx ，方向是逆时针 方向； 解 设闭曲线 L所围成闭区域为 D，这里 P y x  ， 3Q x y  ， 3 Q x    ， 1 P y    ， 由格林公式，得 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 8 ( ) (3 ) L y x dx x y dy  Ñ (3 1) D dxdy  2 D dxdy  18 。 (2) 3( sin ) L ydx y x dy  ，其中 L是依次连接 ( 1,0),A  (2,1),B (1,0)C 三点的折线 段，方向是顺时针方向。 解 令 ( , )P x y y ， 3( , ) sinQ x y y x  ，则 1 1 2 Q P x y           ，且线段 : 0CA y  ， x由 1 变化到-1，故有 3( sin ) L ydx y x dy  3( sin ) ABCA ydx y x dy  Ñ 3( sin )CA ydx y x dy   1 1 ( 2) 0 2 2 D D dxdy dx dxdy           ． 其中D为 ABCA所围成的闭区域． (3) ( sin ) ( cos )x x L e y my dx e y m dy   ，其中m为常数，L为圆 2 2 2x y ax  上从点 (2 ,0)A a 到点 (0,0)O 的有向上半圆。 解 如右图所示，设从点O到点 A的有向直线段的方程为 : 0OA y  ， x从0 变到 2a。 则OA与曲线 L构成一闭曲线，设它所围成闭区域为 D，令 sinxP e y my  ， cosxQ e y m  ， cosx Q e y x    ， cosx P e y m y     ， 由格林公式，得 ( sin ) ( cos )x x L OA e y my dx e y m dy    Ñ D mdxdy  D m dxdy  21 2 m a 。 而 ( sin ) ( cos )x x OA e y my dx e y m dy   2 0 [( sin 0 0) ( cos0 ) 0] a x xe m e m dx    g g 0 ， 故 x y o (1,0)C (2,1)B ( 1,0)A  y o0(0,0) (2 ,0)A a x 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 9 ( sin ) ( cos )x x L e y my dx e y m dy   ( sin ) ( cos ) x x L OA e y my dx e y m dy     Ñ ( sin ) ( cos )x x OA e y my dx e y m dy    21 2 m a 0 2 1 2 m a 。 (4) 2 2L xdy ydx x y  Ñ ，其中 L为椭圆 2 24 1x y  ，取逆时针方向； 解 令 ( , )P x y  2 2 y x y   ， 2 2 ( , ) x Q x y x y   ，则当 ( , ) (0,0)x y  时， 2 2 2 2 2( ) P Q y x y x x y         ， 但积分曲线 L所围区域包含点 (0,0) ， ( , ), ( , )P x y Q x y 在该点不 具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将 奇点 (0,0) 去掉，为此作半径足够小的圆C : 2 2 2x y   ，使C 位于 L的内部，如图右所示．C的参数方程为 cosx   ， siny   ， [0,2 ]  ， C取逆时针方向．于是 2 2L xdy ydx x y  Ñ 2 2L C xdy ydx x y     Ñ 2 2C xdy ydx x y   Ñ ， 其中C 表示C的负方向．由格林公式则有 2 2 0 0 L C D xdy ydx dxdy x y       Ñ ， 其中 D为 L与C所围成的闭区域．故 2 2L xdy ydx x y  Ñ 2 2C xdy ydx x y     Ñ 2 2C xdy ydx x y   Ñ 2 2 2 2 20 cos ( sin ) sin ( cos ) cos sin d d                2 0 2d     ． (5) L u ds n  Ñ ，其中 2 2( , )u x y x y  ，L为圆周 2 2 6x y x  取逆时针方向， u n   是 u沿 L的外法线方向导数。 解 由于 ¶ ·cos( , ) cos( , ) u u u x y n x y         n n 2 cos 2 cosx y   ，其中 ,  是在曲线 L上点 ( , )x y 处的切线的方向角，故 (2 cos 2 cos ) L u ds x y ds n       蜒 ．根据两类曲线积分之间的 联系及格林公式，有 ( 2 cos 2 cos ) L L u ds y x ds n        蜒 ( 2 ) 2 4L D y dx xdy dxdy    Ñ ． 因为 L为圆周 2 2 6x y x  ，所以 L所围成的圆的面积 9  ，因此 x y o c  第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 10 4 4 36 L D u ds dxdy n        Ñ 。 3 证明下列曲线积分在整个 xOy面内与路径无关，并计算积分值: (1) (2,1) (0,0) (2 ) ( 2 )x y dx x y dy   ； 解 令 2P x y  ， 2Q x y  ，则 1 P y    Q x    在整个 xOy面内恒成立，因此，曲线积分 (2,1) (0,0) (2 ) ( 2 )x y dx x y dy   在整个 xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图 所示的积分路径，则有 (2,1) (0,0) (2 ) ( 2 )x y dx x y dy   (2 ) ( 2 ) (2 ) ( 2 ) OA AB x y dx x y dy x y dx x y dy         2 0 [(2 0) ( 2 0) 0]x x dx    g g 1 0 [(2 2 ) 0 (2 2 )]y y dy     g 4 1  5 。 (2) ( , ) 2 2 (0,0) (2 cos sin ) (2 cos sin ) x y x y y x dx y x x y dy   ； 解 令 22 cos sinP x y y x  ， 22 cos sinQ y x x y  ， 则 2( sin sin ) P y x x y y      Q x    在整个 xOy面内恒成立，因 此， ( , ) 2 2 (0,0) (2 cos sin ) (2 cos sin ) x y x y y x dx y x x y dy   在整 个 xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示 的积分路径，则有 ( , ) 2 2 (0,0) (2 cos sin ) (2 cos sin ) x y x y y x dx y x x y dy   2 2(2 cos sin ) (2 cos sin ) OA x y y x dx y x x y dy    2 2(2 cos sin ) (2 cos sin ) AB x y y x dx y x x y dy    2 2 0 [(2 cos0 0 sin ) (2 0 cos sin 0) 0] x x x x x dx    g g g 2 2 0 [(2 cos sin ) 0 (2 cos sin )] y x y y x y x x y dy    g (2,1)B (2,0)AO x y ( , )B x y ( ,0)A xO x y 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 11 0 2 x xdx  2 0 (2 cos sin ) y y x x y dy  2 2 2 2( cos cos )x y x x y x    2 2cos cosx y y x  。 （3） (1,2) (2,1) ( ) ( )x dx y dy  ，其中 ( )x 和 ( )y 为连续函数。 解 令 ( )P x ， ( )Q y ，则 0 P y    Q x    在整个 xOy面内恒成立，因此，曲线 积分 (1,2) (2,1) ( ) ( )x dx y dy  在整个 xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图 所示的积分路径，则有 (1,2) (2,1) ( ) ( )x dx y dy  ( ) ( ) ( ) ( ) AB BC x dx y dy x dx y dy        1 2 ( )x dx  2 1 ( )y dy 。 4 验证下列 ( , ) ( , )P x y dx Q x y dy 在整个 xOy面内为某一函数 ( , )u x y 的全微分，并求 出这样的一个 ( , )u x y ： （1） ydyxdxyx cos)sin2(  ； 解 令 yxP sin2  ， yxQ cos y x Q cos   ， y y P cos   ∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取 )0,0(),( 00 yx ，   ),( )0,0( ),( yx QdyPdxyxu =   x y ydyxxdx 0 0 cos2 = yxx sin2  （2） 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x xy y dx x xy y dy     ； 解 因为 2 22P x xy y   ， 2 22Q x xy y   ，所以 Q x   2 2x y  P y    在整个 xOy面内恒成立，因此，在整个 xOy面内， 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x xy y dx x xy y dy     是某一 函数 ( , )u x y 的全微分，即有 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x xy y dx x xy y dy du      。 (2,1)A(1,1)B O x y (1,2)C O x y  ( , )B x y  ( ,0)A x 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 12 于是就有 2 22 u x xy y x      （4） 2 22 u x xy y y      （5） 由（4）式得 ( , )u x y 2 2( 2 )x xy y dx   3 2 21 ( ) 3 x x y xy y    （6） 将（6）式代入（5）式，得 2 2 ( )x xy y  2 22x xy y   （7） 比较（7）式两边，得 2( )y y   于是 3 1 ( ) 3 y y C    （其中C是任意常数） 代入（6）式便得所求的函数为 ( , )u x y 3 2 2 31 1 3 3 x x y xy y C     。 （3） (1 sin ) ( 2sin )cosx xe y dx e y ydy   。 解 令 ( , ) (1 sin )xP x y e y  ， ( , ) ( 2sin )cosxQ x y e y y  ，则在全平面上有 cosx Q P e y x y       ，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， (1 sin ) ( 2sin )cosx xe y dx e y ydy   是全微分． 下面用两种方法来求原函数： 解法 1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图 9－10 所示，可取定点 (0,0)O ，动点 ( ,0)A x 与 ( , )M x y ，于是原函数 为 ( , ) (0,0) ( , ) (1 sin ) ( 2sin )cos x y x xu x y e y dx e y ydy    ． 取路径: OA AM ，得 0 0 ( , ) (1 0) ( 2sin )cos x y x xu x y e dx e y ydy     21 sin sinx xe e y y    ． 解法 2 从定义出发，设原函数为 ( , )u x y ，则有 ( , ) (1 sin )x u P x y e y x      ，两边对 x积 分（ y此时看作参数），得 o ( ,0)A x x y ( , )M x y 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 13 ( , ) (1 sin ) ( )xu x y e y g y   （*） 待定函数 ( )g y 作为对 x积分时的任意常数，上式两边对 y求偏导，又 ( , ) u Q x y y    ，于是 cos ( ) ( 2sin )cosx xe y g y e y y   ， 即 ( ) 2sin cosg y y y  ，从而 2( ) sing y y C  （C 为任意常数），代入（*）式，得原 函数 2( , ) sin sinx xu x y e e y y C    ． 5 可微函数 ( , )f x y 应满足什么条件时，曲线积分 ( , )( ) L f x y ydx xdy 与路径无关？ 解 令 ( , )P yf x y ， ( , )Q xf x y ，则 ( , ) ( , )y P f x y yf x y y     ， ( , ) ( , )x Q f x y xf x y x     。 当 P y   Q x    ，即 ( , ) ( , )yf x y yf x y ( , ) ( , )xf x y xf x y  或 ( , ) ( , )y xyf x y xf x y 在整个 xOy面内恒成立时，曲线积分 ( , )( ) L f x y ydx xdy 在整个 xOy面内与路径无关。 习题 9.4 1 当为 xOy面内的一个闭区域时,曲面积分 ( , , )f x y z dS   与二重积分有什么关系? 答 当为 xOy面内的一个闭区域 D时，在 xOy面上的投影就是D，于是有 ( , , )f x y z dS   ＝ ( , ,0) D f x y dxdy 。 2 计算曲面积分 2 2( )x y dS   ，其中是 （1）锥面 2 2z x y  及平面 1z  所围成的区域的整个边界曲面； 解 锥面 2 2z x y  与平面 1z  的交线为 2 2 1x y  ，即锥面在 xOy面上的投影区 域为圆域  2 2( , ) 1xyD x y x y   。而 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 14 2 2 z x x x y     ， 2 2 z y y x y     ， 22 2 2 2 2 2 2 1 1 2 z z x y x y x y x y                    ， 因此 2 2( )x y dS   2 2 2 22( ) 1 ( ) xy xyD D x y dxdy x y dxdy     g 2 2( 2 1) ( ) xyD x y dxdy   2 1 2 0 0 ( 2 1) d r rdr      1 ( 2 1) 2   。 （2） yOz面上的直线段 0 z y x    (0 1)z  绕 z轴旋转一周所得到的旋转曲面。 解 旋转曲面为 2 2 (0 1)z x y z    ，故 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 z z x y dS dxdy dxdy dxdy x y x y x y              ， 所以 2 2 2 2( ) 2( ) xyD x y dS x y dxdy      ， 其中  2 2( , ) | 1xyD x y x y   是在 xOy 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分， 于是 2 1 2 2 2 0 0 2 ( ) 2 2 x y dS d r rdr           。 3 计算下列曲面积分: (1) dS   ，其中是抛物面在 xOy面上方的部分： 2 22 ( )z x y   , 0z  ； 解 抛物面 2 22 ( )z x y   在 xOy 面上方的部分在 xOy 面上的投影 xyD 为圆域 2 2 2x y  , 2 , 2 z z x y x y         ,故 2 2 2 21 ( 2 ) ( 2 ) d d 1 4( )d d xy xyD D dS x y x y x y x y            第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 15 2π 2 2 0 0 13π d 1 4 d 3 r r r    . (2) ( )x y z dS    ，其中是上半球面 2 2 2 2x y z a   , 0z  ； 解 上半球面 2 2 2z a x y   在 xOy 面上的投影 xyD 为圆域 2 2 2x y a  , 2 2 2 2 2 2 , z x z y x ya x y a x y            , 2 21 ( ) ( ) z z dS dxdy x y        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a x y a x y a x x y a xdy y d                       ,故  2 2 2 2 2 2 ( )d d d xyD a x y z S x y xa x y a x y y              2π 2 0 0 2 d cos sin 1 d 1 a a r r r r r r          . 2 2π 0 0 2 (cos sin ) d d 1 a r a r r r             2 2π 2π 0 0 0 02 (cos sin )d d d d 1 a ar a r a r r r            3 30 π πa a   . （3） 3 ( ) 2 2 y z x dS    ，其中为平面 12 3 4 x y z    在第一卦限的部分； 解 将曲面的方程改写为 : 4(1 ) 2 3 x y z    ，则 2 z x     , 4 3 z y     ，从而 2 2 611 ( ) ( ) 3 z z dS dxdy dxdy x y         ， 图 9－12 在 xOy上的投影区域为 3 {( , ) | 0 2,0 3 } 2 xyD x y x y x      ,故 3 3 61 ( ) [ 2(1 )] 2 2 2 2 3 3 xyD y z x y I x dS x y dxdy           3 2 2 3 0 0 61 5 17 61 (2 ) 3 6 6 x dx y dy      ． xyD x y z o 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 16 （4） 2 2 1 dS x y   ，其中是柱面 2 2 2x y R  被平面 0z  ﹑ z H 所截得的部分. 解 将曲面分成丙个曲面: 2 21 : x R y   和 2 2 2 : x R y    ， 1 ﹑ 2 在 yOz 面上的投影区域都为 {( , ) ,0 }yzD y z R y R z H      ,先算 1 2 2 1 dS x y   .由于 2 2 x y y R y      , 0 x z    ， 从而 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 x x y dS dydz dydz y z R y             2 2 R dydz R y   ， 1 2 2 2 2 2 1 1 yzD R dS dydz x y R R y       2 2 0 1 1R H R dy dz R R y     πH R  . 同理可求得 2 2 2 1 dS x y   πH R  . 所以 2 2 1 dS x y   1 2 2 1 dS x y    2 2 2 1 dS x y    2πH R  . 4 求抛物面壳 2 2 1 ( ) 2 z x y  （0 1z  ）的质量，此壳的密度为 z  。 解 在抛物面壳 2 2 1 ( ) 2 z x y  （ 0 1z  ）上取一小块微小曲面 dS ,其质量 d dm z S 整 个 抛 物 面 壳 的 质 量 为 dm z S    .  在 xOy 面 上 的 投 影 xyD 为 圆 域 2 2 2x y  , , z z x y x y       ,故 2 2 2 21d ( ) 1 ( )d d 2 xyD m z S x y x y x y        2π 2 2 3 0 0 1 2π d 1 d (6 3 1) 2 15 r r r     . 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 17 习题 9.5 1 当为 xOy面内的一个闭区域时,曲面积分 ( , , )R x y z dxdy   与二重积分有什么关系? 答 当为 xOy面内的一个闭区域时, 的方程为 0z  。若在 xOy面上的投影区域 为 xyD ，那么 ( , , ) ( , ,0) xyD R x y z dxdy R x y dxdy     ， 当取上侧时，上式右端取正号; 当取下侧时，上式右端取负号。 2 计算下列对坐标的曲面积分: (1) ( ) ( ) ( )x y dydz y z dzdx z x dxdy       ，其中是以坐标原点为中心，边长为 2 的 立方体整个表面的外侧； 解 把分成下面六个部分: 1 : 1 ( 1 1, 1 1)z x y        的上侧； 2 : 1 ( 1,0 1 1)z x y         的下侧； 3 : 1 ( 1 1, 1 1)x y z        的前侧； 4 : 1( 1 1, 1 1)x y z         的后侧； 5 : 1 ( 1 1, 1 1)y x z       的右侧； 6 : 1( 1 1, 1 1)y x z         的左侧. 因为除 3 ﹑ 4 处,其余四片曲面在 yOz 面上的投影都为零,故有 ( )d dx y y z   3 ( )d dx y y z    4 ( )d dx y y z    (1+y)d d yzD y z  (-1+y)d d yzD y z 4 ( 4) 8    ； 同理可得 ( )d d 8y z z x    ； ( )d d 8z x x y    . 第九章 曲线积分与曲面积分习题详解 18 于是所求的曲面积分为 ( ) ( ) ( )x y dydz y z dzdx z x dxdy       24 . （2） 2( )z x dydz zdxdy    ，其中 为旋转抛物面 2 21 ( ) 2 z x y  介于 0, 2z z  之间部 分的下侧。 解 由两类曲面积分之间的联系，可得 2 2 2 cos( ) ( )cos ( ) cos z x dydz z x dS z x dxdy              ， 在曲面上，有 2 2 2 2 1 cos ,cos 1 1 x x y x y          。 故 2