VAR(向量自回归)模型

第六章 VAR（向量自回归）模型 第一节 VAR 导论 对于自回归模型 1 1 2 2 ...t t t p t p ty c y y yφ φ φ ε− − −= + + + + + （1） 其中 ( ) ( ) 2 0 0 t t E t E tτ ε σ τε ε τ = ⎧ == ⎨ ≠⎩ （2） 如果进一步扩展，考虑多个变量的动态交互作用。设 ty 为 ( )1n× 向量。 例如 ty 的第一个元素 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 GDP，第二个元素表示利率，第三个元素表 示货币供应量。如果回归的滞后阶为 p，则模型记为 ( )VAR p ，则模型 写为 1 1 2 2 ...t t t p t p ty c y y y ε− − −= +Φ +Φ + +Φ + （3） 这里 c代表常数项的一个 ( )1n× 向量； jΦ 是自回归系数的一个 ( )n n× 矩 阵， 1,2,...,j p= 。 tε 为 ( )1n× 白噪声向量，其特征为 ( ) ( ) 0 0 t t E t E tτ ε τε ε τ = Ω =⎧= ⎨ ≠⎩ （4） 其中Ω是 ( )n n× 对称正定矩阵。 令 ic 表示向量 c的第 i个元素，令 1ijφ 表示矩阵 1Φ 的第 i行第 j列元 素。则 VAR 模型写成单个方程形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 12 11 1 2 1 1 2 2 2 11 12 11 2 2 2 2 11 12 11 2 ... ... .... ... t nt t n t nt t n t p p p nt p t p n t p y c y y y y y y y y y φ φ φ φ φ φ φ φ φ − − − − − − − − − = + + + + + + + + + + + + + + （5） ( )VAR p 系统中，每一个变量对常数项和它的 p阶滞后值，同时对 ( )VAR p 中的其他变量的 p阶滞后值回归。每个回归中，其解释变量相 同。 例如 VAR（2）模型为 1 2 1111 112 211 212 121 122 1 221 222 2 2 t t t t t t t t y y y uC C C C x C C x C C x u − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 或者写成 111 1 112 1 211 2 212 2 1 121 1 122 1 221 2 222 2 2 t t t t t t t t t t t t y C y C x C y C x u x C y C x C y C x u − − − − − − − − = + + + + = + + + + 运用滞后算子形式，模型（3）表示为 2 1 2 ... p n p t tI L L L y c ε⎡ ⎤−Φ −Φ − −Φ = +⎣ ⎦ （6） 或 ( ) t tL y c εΦ = + （7） 这里 ( )LΦ 表示滞后算子 L的一个 ( )n n× 矩阵多项式。 ( )LΦ 的第 i行， 第 j列元素是 L的一个数量多项式： ( ) 1 2 2 ... p pij ij ij ijL L L Lδ φ φ φ⎡ ⎤Φ = − − − −⎣ ⎦ （8） 这里 ijδ 当 i j= 时为 1，其他情形为 0。 对于 ( )VAR p 过程 ty ，如果其一阶矩 ( )tE y 和二阶矩 t t jEy y −′ 对于时刻 t是独立的，则该 ( )VAR p 过程是协方差平稳的。如果过程是协方差平 稳的，则对（3）两边取期望，则该过程的均值 µ为： 1 2 .... pcµ µ µ µ= +Φ +Φ + +Φ （9） 整理，得到 ( ) 11 2 ...n pI cµ −= −Φ −Φ − −Φ （10） 系统（3）写成离差形式为： ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ...t t t p t p ty y y yµ µ µ µ ε− − −− = Φ − +Φ − + +Φ − + （11） 定义 1 1t t t t py y yξ µ µ µ− − + ′⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦" 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p p n n n I F I I −Φ Φ Φ Φ Φ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ " " " # # # " # # " [ ]0 0t tV ε ′= " 从而将 ( )VAR p 进一步写成矩阵形式为： 1t t tF Vξ ξ −= + （12） 其中 ( ) 0t Q t E VV tτ τ τ =⎧′ = ⎨ ≠⎩ 0 0 0 0 0 0 0 0 Q Ω⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ " " # # " # " 方程（12）意味着 2 1 1 2 1..... s s t s t s t s t s t tv Fv F v F v F vξ −+ + + − + − += + + + + + （13） 如果 F的特征值都落在单位圆之内，则VAR模型是协方差平稳的。即 对于特征方程 1 2 1 2 ... 0 p p p n pI λ λ λ− −−Φ −Φ − −Φ = 的根落在单位圆内，即 1λ < 。 第二节 非限制性向量自回归的极大似然估计和假设检验 非限制性 VAR 模型的特点： 1）VAR 模型是一种数据驱动建模的方法。不需要严格的经济理 论作为依据。 2）在建模过程中需要确定两件事：共有那些变量相互之间有关 系；确定滞后期。 3）VAR 模型没有参数的零约束。 4）VAR 模型中有相当多的参数需要估计。 一．向量自回归的条件似然函数 令 ty 表示包含时期 t的 n个变量的值，为 ( )1n× 向量。假定 ty 的动 态服从 p阶高斯向量自回归 1 1 2 2 ...t t t p t p ty c y y y ε− − −= +Φ +Φ + +Φ + （14） 其中 ( )0,t iidNε Ω∼ 。 假定已经观测到 ( )T P+ 个时期 n个变量中的每个变量的值。则以前 p个观测为条件，根据后T个观察值形成估计，这就是条件似然函数： ( )1 1 0 1 1 1 1 0 1, ,...., , ,...., 1, ,...., , ,....,T T p T TY Y Y Y Y Y pf y y y y y y− − − + − − − + （15） 并对θ求最大值，这里θ包含 1 2, , ,..., pc Φ Φ Φ 和Ω中元素的向量。向量自 回归总是基于条件似然函数进行估计。计算方式和数量回归模型形式 一致。 以直到 1t − 时期的 y值为条件的 t期 y值等于一个常数（条件均值） 1 1 2 2 ...t t p t pc y y y− − −+Φ +Φ + +Φ （16） 加上一个服从 ( )0,N Ω 的变量。即 ( )( )1 2 1 1 1 2 2, ,...., ... ,t t t p t t p t py y y y N c y y y− − − + − − −+Φ +Φ + +Φ Ω∼ （17） 令 tx 表示包含一个常数和 y中每一个元素的 p阶滞后向量，为 ( )1 1np + × 向量： 11t t t px y y− − ′⎡ ⎤= ⎣ ⎦" 令 ′Π 表示 ( )1n np× + 矩阵： 1 2 pc′ ⎡ ⎤Π = Φ Φ Φ⎣ ⎦" 则条件均值等于 x′Π 。 ′Π 的第 j行包含向量自回归的第 j个方程的参 数。于是 ( )1 2 1, ,...., ,t t t p ty y y y N x− − − + ′Π Ω∼ （18） 第 t个观测值的条件密度为 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 1 2, ,....., 1 1/ 2/ 2 1 1 , ,...., ; 2 exp 1/ 2 t t t p t t tY Y Y Y p n t t t t f y y y y y x y x θ π − − − + − − − + − − −⎡ ⎤′′ ′= Ω − −Π Ω −Π⎢ ⎥⎣ ⎦ （19） 则以 0 1 1, ,..., py y y− + 为条件，观察值 1 到 t的联合密度函数 ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1, ,...., , ,...., 1 1 2 1 0 1, ,...., , ,...., 1 1 2 1, ,...., , ,...., , ,...., ; , ,...., , ,...., ; , ,...., t t p t t p t t t p t tY Y Y Y Y Y p t tY Y Y Y Y Y p t t t pY Y Y Y f y y y y y y f y y y y y y f y y y y θ θ − − − + − − − − + − − − + − − − + − − − − + − − − + = × ( );θ （20） 递归运用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 （20），则以 0 1 1, ,..., py y y− + 为条件的全样本 1 1, ,...,T Ty y y− 的似 然是单个条件密度的乘积： ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1, ,...., , ,...., 1 1 2 1, ,...., 1 , ,...., , ,...., ; , ,...., ; T T p t t t p T TY Y Y Y Y Y p T t t t pY Y Y Y t f y y y y y y f y y y y θ θ − − − + − − − + − − − + − − − + = =∏ （21） 将（19）代入（21），并取对数得到样本对数函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1, ,...., 1 1 1 1 ln , ,...., ; 1 ln 2 ln 2 2 2 t t t p T t t t pY Y Y Y t T t t t t t L f y y y y Tn T y x y x θ θ π − − − + − − − += − − = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′= − + Ω − −Π Ω −Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ （22） 二．Π的极大似然估计 命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1：Π极大似然估计MLE为 1 1 1 T T t t t t t t y x x x − = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′Π = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ � （23） 上式包含常数项 c和自回归系数 jΦ 。它可以看作 ty 关于常数项和 tx 的 总体线性投影。 ′Π� 的第 j行为： 1 1 1 T T j jt t t t t t y x x xπ − = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ � （24） 上式是 jty 关于 tx 的OLS回归得到的估计系数向量。向量自回归的第 j 个方程的系数的极大似然估计可通过求 jty 关于常数项和系统中所有 变量的 p阶滞后的OLS回归得到。 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 T t t t t t T t t t t t t t t t T t t t t t y x y x y x x x y x x x x xε ε − = − = − = ′′ ′−Π Ω −Π ′′ ′ ′ ′ ′ ′= −Π +Π −Π Ω −Π +Π −Π ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= + Π −Π Ω + Π −Π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ � � � � � �� � （25） 其中 ( )1n× 向量 tε� 的第 j个元素是 ity 关于 tx 的最小二乘回归在观察值 t 处的样本残差： t t ty xε ′= −Π�� （26） （25）展开 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 T t t t t t T T T t t t t t t t t t y x y x x x xε ε ε − = − − − = = = ′′ ′−Π Ω −Π ′ ′′ ′ ′= Ω + Ω Π −Π + Π −Π Ω Π −Π ∑ ∑ ∑ ∑� � �� � � （27） 中间项是一个数量，所以运用迹算子 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 T T t t t t t t T t t t T t t t x trace x trace x trace x ε ε ε ε − − = = − = − = ⎡ ⎤′ ′′ ′Ω Π −Π = Ω Π −Π⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤′ ′= Ω Π −Π⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤′ ′= Ω Π −Π⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ � �� � � � � � （28） 由于最小二乘中，解释变量与残差正交，即对于所有的 j， 1 0T t jtt x ε= =∑ � ， 所以（28）等于零。即（27）简化为： ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 T T T t t t t t t t t t t t y x y x x xε ε− − − = = = ′′′ ′ ′ ′−Π Ω −Π = Ω + Π −Π Ω Π −Π∑ ∑ ∑ � �� � （29） 其中Ω是一个正定矩阵，因此 1−Ω 也是正定矩阵。定义 ( )*t tx x′= Π −Π� （30） 则 ( ) ( )1 1 * 1 * 1 1 1 T T T t t t t t t t t t t t y x y x x xε ε− − − = = = ′′′ ′ ′ ⎡ ⎤−Π Ω −Π = Ω + Ω⎣ ⎦∑ ∑ ∑� � （31） 因此当Π =Π� 时， * 0tx = ，此时（31）取得极小值。于是当Π =Π � 时， 对数极大似然函数（22）取得极大值。 从上述过程可以得出结论：向量自回归过程的极大似然估计实际 上是利用普通最小二乘回归实现的。 三．Ω的极大似然估计 在Π =Π� 时，极大似然函数取极大值，对数极大似然函数（22） 的值为 ( ) ( ) 1 1 1 1, ln 2 ln 2 2 2 T t t t Tn TL π ε ε− − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′Ω Π = − + Ω − Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ � � � （32） 此时是求一个正定对称矩阵Ω使得上式的值尽可能大。首先选取任意 非限制性 ( )n n× 矩阵。利用矩阵导数的知识求解极大似然估计。 矩阵导数： 令 ija 表示 ( )n n× 矩阵 A的第 i行，第 j列元素。假定 A是非对称， 且非限制性的。考察二次型 x Ax′ ，其中 x是一个 ( )1n× 向量。 1 1 n n i ij j i j x Ax x a x = = ′ = ∑∑ （33） 由此得 i j ij x Ax x x a ′∂ =∂ （34） 将这 2n 个不同的导数放进一个 ( )n n× 矩阵，方程等价地表示成矩阵形 式 x Ax xx A ′∂ ′=∂ （35） 令 A为一个行列式为正，非对称非限制性 ( )n n× 矩阵，则 log ji ij A a a ∂ =∂ （36） 其中 jia 表示 1A− 的第 j行，第 i列元素。以矩阵形式 ( ) 1log A A A −∂ ′=∂ （37） 根据行列式公式 ( ) 1 1 n i j ij ij j A a A+ = = −∑ （38） 其中 ijA 表示矩阵 A去掉第 i行、第 j列后形成的 ( ) ( )1 1n n− × − 矩阵。（38） 关于 ija 的导数为 ( )1 i j ij ij A A a +∂ = −∂ （39） 于是 ( )log 1 1 i j ij ij A A a A +∂ = −∂ （40） （40）可以看作是 1A− 的第 j行、第 i列元素。 下面根据矩阵导数来求Ω的极大似然估计。方程（32）对 1−Ω 求 导： ( ) 1 1 1 1 1 1 1 , ln 1 2 2 1 2 2 T t t t T t t t L T T ε ε ε ε − − − − − = = ∂ Ω Π ∂ Ω ′∂ Ω⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂Ω ∂Ω ∂Ω⎝ ⎠ ′ ′= Ω − ∑ ∑ � � � � � （41） 当导数为零，即 1 1 T t t tT ε ε = ′ ′Ω = ∑ � � （42） 时，上面的似然值最大。（41）中的矩阵Ω是对称的且是正定的，且 使得似然值最大。因此对数极大似然函数最大的矩阵 1 1 T t t tT ε ε = ′Ω = ∑� � � （43） Ω� 的第 i行、第 i列元素为 2 2 1 1 T i it tT σ ε = = ∑ �� （44） 它是向量自回归中的第 i个元素关于常数项和所有变量的 p阶滞后的 回归的均方误差。Ω� 的第 i行、第 j列元素为 1 1 T ij it jt tT σ ε ε = = ∑ � �� （45） 它是关于第 i个变量的OLS残差和第 j个变量的OLS残差积的平均。 四．似然比检验 对于取得最大值的对数似然函数 ( ) ( ) 1 1 1 1, ln 2 ln 2 2 2 T t t t Tn TL π ε ε− − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′Ω Π = − + Ω − Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ � � �� � � （46） 其中 1 1 T t t tT ε ε = ′Ω = ∑� � � 。此时 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 T T T t t t t t t t t t T n t trace trace Tntrace T trace TI ε ε ε ε ε ε− − − = = = − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′Ω = Ω = Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= Ω Ω = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ � � �� � � � � � � � （47） 将此结果代入（46），得到 ( ) ( ) 1, ln 2 ln2 2 2Tn T TnL π −⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω Π = − + Ω −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � �� （48） 建立原假设：一组变量由 0p 阶而不是 1 0p p> 阶滞后的高斯向量自 回归生成。为了在零假设情况下估计系统，我们求每个变量关于常数 项和系统中所有变量的 0p 阶滞后的回归，共n个最小二乘回归。令 ( ) ( )0 0 011 T t tt p pT ε ε= ′⎛ ⎞Ω = ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∑ � � � （49） 表示这些回归得到的残差的方差协方差矩阵。在零假设情况下，对数 似然函数的最大值为 ( )* 10 0ln 2 ln2 2 2 Tn T TnL π −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + Ω −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � （50） 在备择假设下，由包含所有 1p 阶滞后的回归也可估计这个系统。在备 择假设下，极大似然函数值为 ( )* 11 1ln 2 ln2 2 2 Tn T TnL π −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + Ω −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ � （51） 其中 1Ω � 是由第二个回归集得到的残差的方差协方差矩阵 ( )* * 1 1 1 11 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 2 ln ln ln ln 2 2 ln ln ln ln T TL L T T T T T − − − −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = Ω − Ω = Ω − Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − Ω + Ω = Ω − Ω⎣ ⎦ � � � � � � � � （52） 在零假设下，上式渐进服从卡方分布，其自由度为限制数。原假设和 备择假设相比，每一个变量少了 ( )1 0p p− 阶滞后。因此每个方程都增 加了 ( )1 0n p p− 个限制，所有的方程共增加了 ( )2 1 0n p p− 个限制。因此自 由度为 ( )2 1 0n p p− 。 因此构建 LR 统计量（似然比统计量） ( ) ( )( ) 222 log log 1 nLR L k L k χ= − − + ∼ （53） 这里 k表示模型中滞后变量的最大滞后期， ( )log L k 和 ( )log 1L k + 分别为 ( )VAR k 和 ( )1VAR k + 模型的极大似然估计值。当 ( )LR LR> 临界值 时，表 示统计量显著，表示增加滞后值能够显著增加极大似然函数的估计 值。 利用 AIC 赤池信息准则 2 2L kAIC n n = − + SC 舒瓦茨准则 2 logL k nSC n n = − + 可以确定滞后阶数 k（k 过大，自由度降低。k 过小，误差项自相关 较严重）。方法是两个准则最小的模型的阶数为最佳滞后阶数。如果 两个准则出现不一致，则需要利用似然比检验来选择模型。 五．模型的扩展 如果 ( )1,...., ny y y ′= 是一组向量， ( )1,..., kX X X= ，则 1 0 m m t i t i i t i t i i y C A y B x u− − = = ′ ′= + + +∑ ∑ （54） 称为动态多变量回归模型或动态结构模型。C为 1n× 向量，( )1,..., mA A 是 n n× 系数矩阵， ( )1,..., kB B 是 k n× 系数矩阵。 tu 为 1n× 误差向量。满足 ( ) ( )* *1 , 0t t t tE u E u Y X−= = ( ) ( )* *1 , 0 t s t s t t t sE u u E u u Y X t s− Ω =⎧′ ′= = ⎨ ≠⎩ ( ) ( ) * 1 1 1 * 1 ,...., ,...., t t t t y y y x x x − −= = VARMA 模型 1 1 p q t i t i i t i t i j X X u uφ θ− − = = = + +∑ ∑ （55） 第三节 二元格兰杰因果关系检验 判断一个变量的变化是否是另一个变量变化的原因，是经济计量 学中的常见问题。本节讨论在向量自回归模型中，一些变量在预测另 外一些变量的有用程度如何。首先讨论二元格兰杰因果关系检验，即 讨论一个数量 y是否能用于估计另一个数量 x。。 Granger 因果检验的思想：如果 y影响 x，或者 y是 x的原因，此 时 y的变化必然先于 x的变化，即 y可以预测 x，即根据 y的过去值对 x进行回归时，如果加上 x的过去值，能显著增强回归的解释能力。 1．格兰杰原因定义： 如果对于所有的 0s > ，基于 ( )1, ,....,t tx x − 预测的 t sx + 的 MSE 与用 ( )1, ,....t tx x − 和 ( )1, ,....t ty y − 二者得到的预测的MSE相同，则 y不是 x的格兰 杰原因。即如果 ( ) ( )1 1 1, ,.... , ,...., , ,....t s t t t s t t t tMSE E x x x MSE E x x x y y+ − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ （56） 则 y不是 x的格兰杰原因。或者称 x在时间序列意义上关于 y是外生 的。换句话说，此时 y的信息对 x的预测没有任何信息作用。 2． VAR中的格兰杰因果关系 定理 1： 对于一个二元向量自回归模型 ( )VAR p ，如果系数矩阵 jΦ 关于所有的 j都是下三角形的，则 y不是 x的格兰杰原因。 证明： 设二元向量自回归模型 ( )VAR p 为 1 2 1 211 111 1 21 2 2 1 222 2221 21 111 22221 0 0 ... 0 t t t t t t P t P t PP t P t x x xc cy y y x y φ φ φ φφ φ εφ εφφ − − − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ （57） 该系统的第一行，关于 x的最优前一期预测决定于自身的滞后值而不 是 y的滞后值， ( ) 11 1 1 1 11 1 11 1, ,...., , ,.... .... pt t t t t t t pE x x x y y c x xφ φ+ − − − − += + + + （58） 根据 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法，前 s期的预测同样决定于它自身的滞后值而不是 y 的滞后值。（迭代投影定理） 定理 2（西姆斯）： 对于 ty 关于 x的过去、现在和未来值的一个 线性投影 0 0 t j t j j t j t j j y c b x d x η∞ ∞− + = = = + + +∑ ∑ （59） 其中 jb 和 jd 称为总体投影参数，并且 ( ) 0tE xτη = 。则对于所有的 1,2,....j = ，当且仅当 0jd = 时， y不是 x的格兰杰原因。 3．格兰杰检验的步骤 运用格兰杰自回归表示（57）。假定一个特定的自回归滞后 p且 用OLS估计： 1 1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t p t p tx c a x a x a x y y y uβ β β− − − − − −= + + + + + + + + + （60） 原假设： 0 1 2: ... 0pH β β β= = = = 。其意义是 y不是 x的格兰杰原因。 首先进行无限制回归： 1 1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t p t p tx c a x a x a x y y y uβ β β− − − − − −= + + + + + + + + + 得到无限制残差平方和： 2 0 1 T t t RSS u = =∑ � （61） 进行有限制最小二乘回归： 0 1 1 2 2 ...t t t p t p tx c x x x eγ γ γ− − −= + + + + + 得到有限制残差平方和 2 1 1 T t t RSS ε = =∑ � （62） 建立统计量 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 , 2 1 2 1 RSS RSS p F p T p RSS T p − − −− − ∼ （63） 利用 F统计量，根据显著性检验或置信区间检验，判断无限制回归是 否显著提高了模型的解释能力。如果得到统计量大于临界值，则该统 计量是显著的，即增加 y的滞后值能够显著提高模型的解释能力。即 拒绝原假设： y不是 x的格兰杰原因。 如果在确定回归量和高斯分布的假设下，检验统计量（63）具有 精确的 F分布。否则仅当样本量T p� ( )T →∞ 时，统计量渐进服从 2χ 分布，即 ( )0 1 2 1 p T RSS RSS RSS χ− ∼ （64） 运用西姆斯回归表达式 0 0 t j t j j t j t j j y c b x d x η∞ ∞− + = = = + + +∑ ∑ 此时模型存在自相关问题，采用广义最小二乘法进行估计。并且 jd 的 无限和取成有限和 1,...,j p= 。利用有限制回归和无限制回归建立 F检 验统计量，判断 y是否是 x的格兰杰原因。 4．例子 例 1（修正的股价模型） 如果一个投资者在时期 t以价格 tp 买进一种股票，在 1t + 时期投资 者可以得到 1tD + 的红利且可以以价格 1tP+ 卖出股票。因此股票的事后收 益率为 ( )1 1 11 t t t tr P P D+ + ++ = + 一个简单的股价模型为： ( ) [ ]1 11 t t t tr P E P D+ ++ = + （65） 股票的预期收益率恒为常数 r。 tE 表示市场参加者以时期 t的可获得信 息为条件的预期。如果投资者根据时期 t得到的信息，预期股票收益 率将高于正常收益率 r，则在时期 t投资者将买进更多股票，从而使得 股价上升，直到等式（65）成立。这种观点就是有效市场假设理论。 对（65）进行迭代，从而得到 ( ) 1 1 1 j t t t j j P E r D ∞ − + = ⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ （66） 即股价等于市场关于未来分红现值的最优预测相一致。因此，股价是 分红的格兰杰原因。 假定 1t t t tD d u u vδ −= + + + （67） 其中 tu 和 tv 为独立高斯白噪声序列，且 d是平均分红。假定在时期 t投 资者知道{ }1, ,..t tu u − 和{ }1, ,..t tv v − 的值。则基于这些信息的 t jD + 的预测为 ( ) 12,3,...tt t j d u jE D d jδ+ + =⎧= ⎨ =⎩ （68） 代入（66），得到 1 t t udP r r δ= + + （69） 从而股价是白噪声，不能利用红利或滞后股价进行预测，因此红利不 是股价的格兰杰原因。 根据（69）， ( ) ( )1 11 1t t du r P r rδ − −= + − + （70） 显然， 1tu − 包含除 ( )1 2, ,...t tD D− − 之外的决定 tD 的其他信息，因此股价是 红利的格兰杰原因。 写成二元向量自回归形式为 ( )1 1 / 1/ 0 0 / 1 0 t t t t t t t P P u rd r D d r r D u v δ− − +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− + +⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （71） 本模型中，格兰杰因果关系的方向和真实的方向相反。红利不是股价 的格兰杰原因，而尽管现实当中，投资者关于股利的看法是股价的主 要决定因素。其次，股价是红利的格兰杰原因，尽管现实当中，市场 价格并没有对红利发放产生影响。 例 2 石油冲击和经济衰退的关系 自二次大战以来，美国的绝大部分经济衰退都经历了一次原油价 格的巨涨。这是否意味着原油价格的上涨是经济衰退的原因？是不是 石油价格上涨和经济衰退发生的时间恰好巧合？ 通过实际数据进行格兰杰因果关系检验，发现石油价格有助于预 测GNP，且在统计意义上是显著的。从而石油冲击和经济衰退之间存 在某种关系。 但是否石油冲击真的是经济衰退的真实原因呢？我们必须确认 是宏观经济衰退原因的某个宏观经济变量引起了石油冲击。即检验没 有宏观经济时间序列是石油冲击的格兰杰原因。通过实证研究，有人 确实发现存在个别宏观经济序列有助于解释石油冲击发生的时间。 几次大的油价上涨都和一些历史事件相联系。如 1956-57 年的苏 伊士危机、1973-74 年的阿拉伯-以色列战争、1978-79 年的两伊战争， 1990 年的伊拉克入侵科威特战争。这些事件的发生是不可预测的， 如果这些国外的历史事件是美国经济衰退的原因的话，则石油价格是 美国经济衰退的格兰杰原因。 格兰杰因果关系的经济学含义 通常，反映前瞻行为的时间序列，如利率和股价，常可作为许多 重要经济时间序列（如GDP或通货膨胀率）的优秀预测变量。但这并 不意味着这些序列引起GDP或通货膨胀率的上升或下降，而是这些序 列的值反映了据以判断GDP或通货膨胀率的市场最优信息。这些序列 对于检验有效市场假设、调查市场是否与GDP或通货膨胀率有关，或 者对这些序列进行预测或许有用，但不能用以推断真正的原因和结果 关系。 尤其是，格兰杰因果关系对于特定序列的可预测性假设是一个特 别有用的工具。最好把格兰杰因果检验看作是 y是否有助于预测 x， 而不是 y是否引起 x。但根据经济理论进行的假设，可以为推断真实 的因果方向提供有用的论据。 例 3 省略信息的作用 如果存在别的变量与 ,x y存在相互影响，则 ,x y之间的预测关系会 如何？考察下面的三变量模型 1 1 2 2 3 3 1 0 0 1 0 0 1 t t t t t t y L L y y L δ ε ε ε +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ （72） 这里 ( ) 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 t s t s E t s σ σε ε σ ⎧⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ =⎪⎢ ⎥′ = ⎨⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎪ ≠⎩ 如果使用了 1y 和 2y 本身的滞后值，则 3y 对于 1 2,y y 的预测没有任何作 用。但对于 1y 过程 ( ) ( )1 1 1 1 2 1t t t ty ε δε ε− −= + + （73） 根据前面的知识，白噪声过程加上一个 ( )1MA 过程可以表示为一个 ( )1MA 过程 1 1t t ty u uθ −= + （74） tu 的单元预测误差可写作 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 ... ... ... t t t t t t t t t t t u ε θε θ ε θ ε δ ε θε θ ε ε θε θ ε − − − − − − − − − = − + − + + − + − + − + − （75） 单元预测误差 tu 与 3ty 不相关，但是和 3ty 的滞后值相关，即 ( ) ( ) ( )( ) 223 1 3 1 2 1t tt t tE u y E u ε ε θσ− − −⎡ ⎤⎡ ⎤ = + = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ （76） 因此， 3y 的滞后值有助于改进只基于 1y 滞后值得到的预测。即在一个 二元系统中， 3y 是 1y 的格兰杰原因。原因在于 3y 的滞后值和略去的 2y 有关，而 2y 则有助于预测 1y 。 第四节 限制性向量自回归的极大似然估计 一．多元格兰杰因果关系 假定向量自回归中的变量可分为两组，分别由 ( )1 1n × 向量 1ty 和 ( )2 1n × 向量 2ty 表示，则向量自回归可写成： 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 t t t t t t t t y c A x A x y c B x B x ε ε ′ ′= + + + ′ ′= + + + （77） 这里 1tx 为包含 1ty 的滞后的 ( )1 1n p× 向量，而 ( )2 1n p× 向量 2tx 包含 2ty 的滞 后， ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 1t t t t px y y y− − − ′⎡ ⎤= ⎣ ⎦" ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2t t t t px y y y− − − ′⎡ ⎤= ⎣ ⎦" ( )1 1n × 向量和 ( )2 1n × 向量 1c 和 2c 包含向量自回归的常数项，而矩阵 1 2 1, ,A A B和 2B 包含自回归系数。 如果 2y 的元素并不能改进 1y 基于其自身的预测，则称用 1y 表示的 变量组在时间序列意义上为块外生的。例如，如果 2 0A = ，则 1y 是块 外生的。 二．似然函数的另一种表示 对于向量自回归模型 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 t t t t t t t t y c A x A x y c B x B x ε ε ′ ′= + + + ′ ′= + + + 其对数极大似然函数 ( ) ( ) 1 ln ; t t T tY x t L f y xθ θ = =∑ （78） 进行预测误差分解，其中 ( )1 2,t t ty y y′ ′ ′= ， ( )1 2, ,...,t t t t px y y y− − −′ ′ ′ ′= （79） 并且 ( ) ( ) 11 121 2 21 22 1log ; ln 2 ln 2 2t t t tY x n nf y x θ π Ω Ω+= − − Ω Ω ( )( )1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 111 12 21 22 2 1 1 1 2 2 2 1 2 t t t t t t t t t t t t t t y c A x A x y c B x B x y c A x A x y c B x B x ε ε − ⎡ ⎤′′ ′ ′ ′− − − − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ′ ′= + + +Ω Ω ⎡ ⎤⎡ ⎤× ⎢ ⎥⎢ ⎥ ′ ′Ω Ω = + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ （80） 并且（80）中的联合密度可写作 1ty 的边际密度与 1ty 给定条件下 2ty 的 条件密度的乘积： ( ) ( ) ( ) 1 2 11 2 1, ; ; , ; t t t t t t tt t t t t t tY x Y x Y Y x f Y x f y x f y y xθ θ θ= （81） 1ty 的边际密度为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1/ 2/ 2 1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 11 1 1 1 1 2 2 ; 2 1 exp 2 t t n t tY x t t t t t t f y x y c A x A x y c A x A x θ π − − − = Ω ⎡ ⎤′′ ′ ′ ′× − − − − Ω − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ （82） 而 1ty 给定条件下 2ty 的条件密度 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1, 1/ 2 12 2 2 2 2 , ; 1 2 exp 2 t t t t t tY Y x n t t t t f y y x H y m H y m θ π −− −⎡ ⎤′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ （83） 其条件方差为 1 22 21 11 12H −= Ω −Ω Ω Ω （84） 其条件均值 2tm 为 ( ) ( )12 2 21 11 1 1t t t t t tm E y x y E y x− ⎡ ⎤= +Ω Ω −⎣ ⎦ （85） 根据方程（77），可得 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 t t t t t t t t E y x c A x A x E y x c B x B x ′ ′= + + ′ ′= + + （86） 将这些结果代入（85） ( ) ( )12 2 1 1 2 2 21 11 1 1 1 1 2 2 0 1 1 1 2 2 t t t t t t t t t m c B x B x y E c A x A x d D y D x D x −′ ′ ′ ′= + + +Ω Ω − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ′ ′ ′= + + + （87） 其中 1 2 21 11 1 1 0 21 11 1 1 1 21 11 1 1 2 1 21 11 2 d c c D D B A D B A − − − − = −Ω Ω ′ = Ω Ω ′ ′ ′= −Ω Ω ′ ′ ′= −Ω Ω （88） 似然函数（81）的对数为 ( ) 1 2ln ;t t t t t tY xf Y x L Lθ = + （89） 其中 ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 11 1 1 1 1 2 2 1 1ln 2 ln 2 2 1 2 t T t t t t t t t nL y c A x A x y c A x A x π − = = − − Ω ′′ ′ ′ ′− − − − Ω − − −∑ （90） ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 1 1 1 2 2 2 0 1 1 1 2 2 1 1ln 2 ln 2 2 1 2 t T t t t t t t t t t nL H y d D y D x D x H y d D y D x D x π − = = − − ′′ ′ ′ ′ ′ ′− − − − − − − − −∑ （91） 因此样本对数似然函数可以表示为 ( ) 1 2 1 1 T T t t t t L L Lθ = = = +∑ ∑ （92） （ 78 ）和（ 89 ）达到极大的似然函数值相同。即选取系数 ( )1 1 2 2 1 2 11 12 22, , , , , , , ,c A A c B B Ω Ω Ω 使得（78）达到最大的似然函数值和选择 ( )1 1 2 0 1 2 11, , , , , , , ,c A A d D D D HΩ 使得（89）达到最大