南京师范大学高等代数考研真题2000--2007

2000年硕士研究生招生入学初试试卷 南京师范大学 高等代数 1． 选择题（每小题5分，共25分） 1．行列式 ＝【 】 (A) 0；（B） ； （C） ； （D） 二．齐次线性方程组 【 】 （A）有非零解； （B）只有零解 （C）无解。 3．设 是数域 上3×3对称阵组成的线性空间，则 【 】 （A） 3；（B） 4； （C） 6； （D）9。 4．下列向量组（）线性相关。（多项选择） （A） （1，2），（0，1）； （B） （0，0），（1，2）； （C） （1，－2，1），（3，4，5），（ ）； （D）（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）。 5．按矩阵的加法与数与矩阵的乘法，下列集合【 】构成数域 上线性空间。（多项选择） （A） 上全体 级反对称方阵的集合； （B） 上全体 级下三角方阵的集合； （C） 上全体主对角线上元素为零的 级反方阵的集合； （D） 二．（10分）证明：多项式 不能有非零的重数大于2的根。 三．（10分）解矩阵方程 。 四．（10分）设 为 矩阵，证明：如果 ，那么秩（A）＋秩（B） 。 五．（10分）集合 与 是 的两个子空间，找出 的一个基，且求 的维数。 六．（10分）化 －矩阵成标准形： 。 七．（10分）设 是两个 级实对称矩阵，且 为正定矩阵，证明：存在 级实非奇异阵 ，使 与 同时为对角阵。 八．（15分）设 ，其中 是实数，问 满足什么条件时， 正定。 九．（15分）已知 ，证明：方程组 有唯一解，且求其解。 2001年硕士研究生招生入学初试试卷 南京师范大学 高等代数 一．（5分×6＝30分） 1．多项式 有 重因式________（ 。 A. ; B. ; C. ; D. 且 。 2．系数矩阵分别为 的两个 元其次线性方程组同解必有_______ A.A可经有限次初等行变换化为B; B. A可经有限次初等列变换化为B; C.A与B为同阶矩阵； D.矩阵A与B的秩相同。 3．设A是 阶矩阵，B是 阶矩阵，则 有解的充要条件是____ A.秩（A）=秩(A,B); B.B的列向量可由A列向量线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示； C.秩（A）=秩（B）； D.秩（B）= 。 4．设 是数域 上 反对称矩阵组成的线性空间，则 ＝_______ A.3; B.4; C.6; D.9. 5.在 中，对于向量 ， 规定内积 则 成欧氏空间。【 】 6． 为复数域，在 中对向量 规定内积 ，则 成酉空间。【 】 二．（10分）证明：设 为整系数多项式， 。若为 皆不能被3整除，则 无有理根。 三．（10分）线性方程组 当 为何值时，线性方程组有解，有多少解？ 四．（10分）设 为 阶矩阵，且 ，证明： 。 五．（10分）在线性空间 中， 1．证明向量组 与向量组 是 的两个基； 2．求 中向量 在这两个基下的坐标的关系。 六．（10分）给定 的两个基： 和 定义线性变换 。 1． 写出由基 到基 的过渡矩阵 ； 2． 写出 在基 下的矩阵 ； 3． 写出 在基 下的矩阵 。 七．（10分） 下列的 －矩阵哪些是满秩的？哪些是可逆的？如可逆时求其逆矩阵： 1． ； 2． ； 3． 。 八．（10分） 证明：实对称矩阵A正定 存在可逆的上三角形矩阵 ，使 。 九．（10分） 证明：实对称矩阵A负定 存在一满秩矩阵 ，使 。 2002年硕士研究生招生入学初试试卷 南京师范大学 高等代数 一．（4分×5）选择题 1．设 是整系数多项式， 是本原多项式，如果 则， _____________ A.是有理系数多项式； B．是整系数多项式； C．不一定是有理系数多项式； D.不一定是整系数多项式。 2．设 ，则秩（ ）＝____________ A,1; B.2; C,3; D.4. 3.设 ， 则， 中矩阵 __________ A. ; B. ; C. ；D. . 4．设线性空间 ，则 __________ A,1; B.2; C.3; D.4. 5．设线性方程组（I）的导出组为（II），必有_______________________ A, 当（I）有唯一解；则（II）只有零解； B. （I）有解的充要条件是（II）有解； C. （I）有非零解，则(II）有无穷多解； D. （I）有非零解，则(I）有无穷多解. 二．（10分） 适合什么条件时， 能被 整除。 三．（10分）设 阶行列式 四．（10分）解方程组 五．（10分）设 是 阶实对称矩阵，证明：存在一正实数 使对任一个 维向量 都有 。 六．（10分）设 是线性空间 的子空间，其中 。 证明： 。 七．（10分）设 是数域 上 维线性空间 的一个线性变换，证明： 1． 如果 ，则 ，这里 是 与 的最大公因式。 2． 可逆的充要条件是有一常数项不为零的多项式 使 。 八．（10分）求复矩阵 的若当标准形，其中 ， 九．（10分）设 为 阶实对称矩阵，且 ，证明：存在正交矩阵 ，使： 。 2003年硕士研究生招生入学初试试卷 南京师范大学 高等代数 一．（5分×4）选择题 1．系数矩阵分别为 的两个 元线性方程组同解必有___________ A可经有限次初等行变换化为B; B. A可经有限次初等列变换化为B; C.A与B为同阶矩阵； D.矩阵A与B的秩相同。 2．设 是 阶矩阵，B是 阶矩阵，则 有解的充要条件是____ A.秩（A）=秩(A,B); B.B的列向量可由A列向量线性表示； C.秩（A）=秩（B）； D.秩（B）= 。 3．按矩阵的加法与数与矩阵的乘法，下列集合_________构成数域 上线性空间。 （A） 上全体 级对称方阵的集合； （B） 上全体 级对角方阵的集合； （C） 上全体 级下三角方阵的集合； （D） 上全体主对角线上元素之为和零的 阶方阵的集合。 4．设线性方程组（I）的导出组为（II），必有下面_____________________ A, 当（I）有唯一解；则（II）只有零解； B. （I）有解的充要条件是（II）有解； C. （I）有非零解，则(II）有无穷多解； D. （I）有非零解，则(I）有无穷多解. 二．（10分）设 为多项式，证明：若存在非零常数 使 ，则 是常数。 三．（10分）设 阶行列式 试求存在于 间的关系式，并当 时计算 。 四．（10分） 1．设 ,其中 可逆，求 ； 2．求 的逆矩阵。 五．（10分）设 为 阶矩阵，且 ，证明： 。 六．（10分）设 ，其中 是实数，问 满足什么条件时， 正定。 七．（10分） 下列的 －矩阵哪些是满秩的？哪些是可逆的？如可逆时求其逆矩阵： 1． ； 2． ； 3． 。 八．（15分）设 求正交阵 ，使 为对角形。 九．（15分）设实三维线性空间 的线性变换 在一个基下的矩阵为 求 的特征值和特征向量。 十．（10分）设群 的每一个非单位元都是2阶的，证明： 是交换群。 十一。（10分）设 是整数加群 的两个子群，证明： 。 十二。（10分）求 ，并证明： 是域。 十三。（10分）设 是素数，则 是整数环 的极大理想。 南京师范大学2004年硕士研究生招生入学初试试卷 高等代数 1、 选择题（每小题5分，共20分） 1． 设线性方程组 的导出组为 ，必有( ). （A） 当 有唯一解，则 只有零解； （B） 有解的充要条件是 有解； （C） 有非零解则 有无穷多解； （D） 有非零解，则 有无穷多解. 2． 设 是数域 上 对称阵组成的线性空间，则dim =( ). （A）3， （B）4， （C）6， （D）9. 3．按矩阵的加法和数与矩阵的乘法运算，下列集合( )构成 上的线性空间.（多项选择） （A） 上全体 级反对称方阵的集合； （B） 上全体 级下三角方阵的集合； （C） 上全体主对角线元素为零的 级方阵的集合； （D） . 4．若A是欧氏空间的一个对称变换，则下面( )成立. （A） 属于同一特征值的两特征向量必正交； （B）属于不同特征值的两特征向量正交； （C）属于同一特征值的两特征向量不正交； （D）属于不同特征值的两特征向量不正交. 二、（10分）设 个不同的素数. 证明： 是无理数（ ）. 三、（10分）设 ， 其中 是互不相同的数. (1) 由行列式定义，说明 是 次多项式. (2) 由行列式性质，求 的根. 四、（10分）设向量组 的秩为 ，在(1)中任取 个向量 ，证明向量组(2)的秩 . 五、（10分）设 ，而 ，若 的秩分别为 和 ，试证 的秩不大于 . 六、（10分）设 为一个 阶实对称阵，且 ，证明：必存在实 维向量 ，使 . 七、（10分）在线性空间 中， 1．证明向量组 与向量组 是 的两个基. 3． 求 中向量 在这两个基下的坐标的关系. 八、（10分）设 是一个秩为 的二次型，证明：有 的一个 维子空间 存在（其中 为符号差），使对任一 ，有 . 九、（15分）设 是 维线性空间 的线性变换， 是 的子空间， 表示由 中向量的象组成的子空间. 证明： 维（ ）＋维（ ）＝维（ ）. 十、（15分）设 是一个五阶 矩阵，秩为4，初等因子为 试求 的标准形. 十一、（15分）证明：1）欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的. 2）利用上述结果，证明有限维欧氏空间都有标准正交基. 十二、（15分）用正交线性替换化下面二次型为标准形 . 南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 高等代数 1、 (15分) 计算行列式 2、 (15分) 已知(1) 为有理系数多项式；(2) 有公共根； (3) 在有理数域上不可约。 证明: 3、（15分）已知 可由 线性表示, 证明 线性相关. 4、（30分）已知 为欧氏空间V的一组标正基， ， （1）证明：W是V的子空间。（2）求W的一组基及维数。（3）求W的正交补。 5、（15分）计算行列式 6、（30分）用正交变换将二次型替换下面二次型为标准型： 7、（30分）某实验生产线每年一月份进行熟练工也非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支持其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 和 ，记成向量 ， （1）求 与 的关系式并写成矩阵形式： ； （2）验证 ， 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。 （3）当 时，求 。 2006年硕士研究生招生入学初试试卷 南京师范大学 高等代数 3、 (20分) 求k阶若当块的初等因子、不变因子、最小多项式。 4、 (20分) A为n 维线性空间V的线性变换，证明AV的维数+A的零度=n. 5、 （20分）（1）叙述艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。 （2）证明艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。 4、 （30分） 为5维欧氏空间V的一组标正基， ， （1）证明：W是V的子空间。（2）求W的一组基及维数。（3）求W的正交补。 5、（30分）计算 6、（30分）线性方程组 = = （1） 选择 为自由变量解线性方程组。 （2） 若 为1，2，3，…，9的置换，求出其所有解。 2007年硕士研究生招生入学初试试卷 南京师范大学 高等代数 6、 (10分) 设 是数域P上的两个多项式,a,b,c,d P， ,证明： 7、 (15分) 求实二次型 的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 形及符号差。 3、（15分）设矩阵A,B EMBED Equation.3 ，证明： 。其中R(.)表示矩阵的秩。 4、 （15分）设 ，求如下行列式： 。 5、（15分）设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为 1，1，1，1，1， ， ， ，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形。 6、（20分）设矩阵A满足 ，设B=A+2E,其中E为单位矩阵，问矩阵B是否可逆，若可逆，求出 ，若不可逆，说明理由。 7、（20分）设数域P上的矩阵A的最小多项式为 ， ，A的属于 的特征子空间 ( ),证明： . 8、（20分）设 是欧几里得空间V的两个子空间，证明： ， 。 9、（20分）设V是数域P上的一个n维线性空间，A 是V上的非零线性变换， 是数域P上的多项式， ， 在０处的导数 ， ，证明： _1243058478.unknown _1243074077.unknown _1243077703.unknown _1243079050.unknown _1243079947.unknown _1252249147.unknown _1252250292.unknown _1252250538.unknown _1252250743.unknown _1252251176.unknown _1252251219.unknown _1252251255.unknown _1252251293.unknown _1252251181.unknown _1252250901.unknown _1252251129.unknown _1252250888.unknown _1252250676.unknown _1252250690.unknown _1252250576.unknown _1252250463.unknown _1252250499.unknown _1252250374.unknown _1252249963.unknown _1252250096.unknown _1252250104.unknown _1252250080.unknown _1252249407.unknown _1252249789.unknown _1252249364.unknown _1252248781.unknown _1252248995.unknown _1252249057.unknown _1252248708.unknown _1243079948.unknown _1243079639.unknown _1243079766.unknown _1243079803.unknown _1243079944.unknown _1243079945.unknown _1243079879.unknown _1243079787.unknown _1243079703.unknown _1243079742.unknown _1243079677.unknown _1243079503.unknown _1243079601.unknown _1243079616.unknown _1243079515.unknown _1243079310.unknown _1243079385.unknown _1243079275.unknown _1243078196.unknown _1243078749.unknown _1243078942.unknown _1243079019.unknown _1243079033.unknown _1243078991.unknown _1243078888.unknown _1243078924.unknown _1243078777.unknown _1243078655.unknown _1243078689.unknown _1243078704.unknown _1243078682.unknown _1243078317.unknown _1243078325.unknown _1243078212.unknown _1243077904.unknown _1243078031.unknown _1243078131.unknown _1243078132.unknown _1243078040.unknown _1243078130.unknown _1243077968.unknown _1243077988.unknown _1243077934.unknown _1243077792.unknown _1243077827.unknown _1243077838.unknown _1243077817.unknown _1243077723.unknown _1243077753.unknown _1243077711.unknown _1243076234.unknown _1243077006.unknown _1243077477.unknown _1243077568.unknown _1243077655.unknown _1243077689.unknown _1243077585.unknown _1243077500.unknown _1243077547.unknown _1243077491.unknown _1243077272.unknown _1243077440.unknown _1243077464.unknown _1243077432.unknown _1243077071.unknown _1243077115.unknown _1243077045.unknown _1243076516.unknown _1243076631.unknown _1243076729.unknown _1243076979.unknown _1243076686.unknown _1243076600.unknown _1243076601.unknown _1243076597.unknown _1243076401.unknown _1243076477.unknown _1243076500.unknown _1243076451.unknown _1243076276.unknown _1243076344.unknown _1243076255.unknown _1243075417.unknown _1243075660.unknown _1243075807.unknown _1243076165.unknown _1243076214.unknown _1243075831.unknown _1243075759.unknown _1243075789.unknown _1243075689.unknown _1243075572.unknown _1243075621.unknown _1243075637.unknown _1243075599.unknown _1243075464.unknown _1243075554.unknown _1243075437.unknown _1243074999.unknown _1243075076.unknown _1243075363.unknown _1243075377.unknown _1243075323.unknown _1243075017.unknown _1243075054.unknown _1243074679.unknown _1243074799.unknown _1243074891.unknown _1243074988.unknown _1243074357.unknown _1243074439.unknown _1243074440.unknown _1243074390.unknown _1243074404.unknown _1243074241.unknown _1243059207.unknown _1243059626.unknown _1243073762.unknown _1243074037.unknown _1243074049.unknown _1243073783.unknown _1243059648.unknown _1243073664.unknown _1243073719.unknown _1243059773.unknown _1243073580.unknown _1243059686.unknown _1243059772.unknown _1243059275.unknown _1243059430.unknown _1243059499.unknown _1243059542.unknown _1243059357.unknown _1243059248.unknown _1243059254.unknown _1243059238.unknown _1243058786.unknown _1243058866.unknown _1243059130.unknown _1243059073.unknown _1243059110.unknown _1243058943.unknown _1243058851.unknown _1243058856.unknown _1243058819.unknown _1243058641.unknown _1243058669.unknown _1243058735.unknown _1243058554.unknown _1243058568.unknown _1243058590.unknown _1243058545.unknown _1178195974.unknown _1243057530.unknown _1243057955.unknown _1243058166.unknown _1243058303.unknown _1243058328.unknown _1243058244.unknown _1243058046.unknown _1243058084.unknown _1243058010.unknown _1243057745.unknown _1243057914.unknown _1243057937.unknown _1243057810.unknown _1243057588.unknown _1243057730.unknown _1243057633.unknown _1243057538.unknown _1206465073.unknown _1243057084.unknown _1243057511.unknown _1243057124.unknown _1243057337.unknown _1243057375.unknown _1243057495.unknown _1243057314.unknown _1243057108.unknown _1243056940.unknown _1243056981.unknown _1243056997.unknown _1243056967.unknown _1206465575.unknown _1208671352.unknown _1208671583.unknown _1243056839.unknown _1243056885.unknown _1208671702.unknown _1243056828.unknown _1208671596.unknown _1208671504.unknown _1208671430.unknown _1208671437.unknown _1208671385.unknown _1208671220.unknown _1208671331.unknown _1208671079.unknown _1206465218.unknown _1206465342.unknown _1206465413.unknown _1206465258.unknown _1206465134.unknown _1206465203.unknown _1206465085.unknown _1178196595.unknown _1178196982.unknown _1178197234.unknown _1206370467.unknown _1206464869.unknown _1206465068.unknown _1206370791.unknown _1206370886.unknown _1206370977.unknown _1206370827.unknown _1206370724.unknown _1206370116.unknown _1206370223.unknown _1178197583.unknown _1178197093.unknown _1178197213.unknown _1178197059.unknown _1178197087.unknown _1178196919.unknown _1178196938.unknown _1178196965.unknown _1178196685.unknown _1178196773.unknown _1178196905.unknown _1178196615.unknown _1178196394.unknown _1178196535.unknown _1178196548.unknown _1178196442.unknown _1178196236.unknown _1178196311.unknown _1178196052.unknown _1178195224.unknown _1178195755.unknown _1178195880.unknown _1178195932.unknown _1178195773.unknown _1178195859.unknown _1178195764.unknown _1178195626.unknown _1178195667.unknown _1178195675.unknown _1178195653.unknown _1178195355.unknown _1178195418.unknown _1178195287.unknown _1178170829.unknown _1178195009.unknown _1178195205.unknown _1178195133.unknown _1178195176.unknown _1178194842.unknown _1178194986.unknown _1178194997.unknown _1178194403.unknown _1178169344.unknown _1178169698.unknown _1178170510.unknown _1178170682.unknown _1178170434.unknown _1178169387.unknown _1178169643.unknown _1178169182.unknown _1178169318.unknown _1178169319.unknown _1178169209.unknown _1178169050.unknown _1178169175.unknown