专题三 三角函数

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 三 三角函数 三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分． 在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等． §3－1 三角函数的概念 【知识要点】 1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数． 2．弧度rad以及度与弧度的互化： ． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角的顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边上任意一点P(x，y)，｜OP｜＝r(r≠0)，则 4．三角函数的定义域与值域： 函数 定义域 值域 y＝sinx R [－1，1] y＝cosx R [－1，1] y＝tanx R 5．三角函数线：正弦线 ，余弦线 ，正切线 6．同角三角函数基本关系式： 7．诱导公式：任意角的三角函数与角 等的三角函数之间的关系，可以统一为“k· ±”形式，记忆规律为“将看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”． 【复习 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 】 1．会用弧度 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】 例1 (1)已知角的终边经过点A(－1，－2)，求sin，cos，tan的值； (2)设角的终边上一点 ，且 ，求y的值和tan． 解：(1) ， 所以 (2) 得 ，解得 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号． 例2 (1)判断下列各式的符号： ①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos＜0且tan＜0，那么角是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (3)已知是第二象限角，求角 的终边所处的位置． 解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0. ②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0 或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角 【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视． (2)cos＜0，所以角终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上tan＜0，所以角终边在第二或第四象限中，所以角终边在第二象限中，选B. 【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握， (3)分析：容易误认为 是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是 是第二象限角，所以2k＋ ＜＜2k＋，(k∈Z)，所以 如下图3－1－3，可得 是第一象限或第三象限角，又4k＋＜2＜4k＋2，2是第三象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角． 【评析】处理角的象限问题常用方法 (1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由 °≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角： ，注意防止 的错误写法． 例3 (1)已知tan＝3，且为第三象限角，求sin，cos的值； (2)已知 ，求sin＋tan的值； (3)已知tan＝－2，求值：① ；②sin2＋sincos． 解：(1)因为为第三象限角，所以sin＜0，cos＜0 ，得到 (2)因为 ，且不等于－1，所以为第二或第三象限角， 当为第二象限角时，sin＞0， 所以 当为第三象限角时，sin＜0， 所以 综上所述：当为第二象限角时， ，当为第三象限角时， 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤： (1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断 (2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论 (3)(法一)：因为tan＝－2，所以 ①原式 ， ②原式＝(－2cos)2＋(－2cos)cos＝2cos2， 因为 ，得到 ，所以 (法二)：①原式 ②原式 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值： (1)可以利用 将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin2＋cos2＝1， ，将弦化为切． 例4 求值： (1)tan2010°＝______； (2) ＝______； (3) 解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝ (2) 或: 【评析】“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”， ，可以看出是 的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出 为第二象限角，正弦值为正． (3)原式 【分析】 ，将看做锐角，借助图3－1－2看出 为第三象限角，正弦值为负， 的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得 ，同理可得 ，所以原式 . 【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦． 例5 已知角的终边经过点 ，则的值为( ) A． B． C D． 解：因为 ，所以点 在第二象限中，由三角函数定义得， ，因为角的终边在第二象限， 所以 ， 所以， ，选D． 例6 化简下列各式： (1)若为第四象限角，化简 (2)化简 (3)化简 解：(1)原式＝ ， 因为为第四象限角，所以cos＞0，原式＝ ， (2)原式＝ 当为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上时，cos＜0，所以原式 ， 当为第一、四象限角或终边在x轴正半轴上时，cos＞0，所以原式 . (3)原式 . 4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4． 【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式； (3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用 ，注意对符号的分析讨论； (4)注意公式(sin±cos)2＝1±2sincos＝1±sin2的应用． 例7 扇形的周长为定值L，问它的圆心角(0＜＜)取何值时，扇形的面积S最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为 ，则周长L＝r·＋2r(0＜＜) 所以 ． 因为 ，当且仅当 ，即＝2∈(0，)时等号成立． 此时 ，所以，当＝2时，S的最大值为 . 练习3－1 一、选择题 1．已知 ，角终边上一点P(－2，t)，则t的值为( ) A． B． C． D． 2．“tan＝1”是“ ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要不而充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知点P(sin－cos，tan)在第一象限，则在[0，2]上角的取值范围是( ) A． B． C． D． 4．化简 ( ) A．sin10°＋cos10° B．sin10°－cos10° C．cos10°－sin10° D．－sin10°－cos10° 二、填空题 5．已知角，满足关系 ，则－的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______． 7．若 ，则tan(－)＝______． 8．已知： ，则cos－sin＝______． 三、解答题 9．已知tan＝－2，且cos(＋)＜0，求 (1)sin＋cos的值 (2) 的值 10．已知 ，求值： (1) ； (2)cos2－2sincos． 11．化简 §3－2 三角变换 【知识要点】 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(＋)＝sincos＋cossin；sin(－)＝sincos－cossin； cos(＋)＝coscos－sinsin；cos(－)＝coscos＋sinsin； 2．正弦、余弦、正切的二倍角公式 sin2＝2sincos： cos2＝cos2－sin2＝1－2sin2＝2cos2－1； 【复习要求】 1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】 例1 (1)求值sin75°＝______； (2)设 ，则 ______； (3)已知角 的终边经过点(－1，－2)，则 的值为______； (4)求值 ______． 解：(1) EMBED Equation.3 ． (2)因为 ， (3)由三角函数定义得， ， 所以 . (4) 【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意 和 运用． 例2 求值： (1) ______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3) ______． 解：(1)原式 . 【评析】辅助角公式： 应熟练掌握，另外本题还可变形为 (2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°， 原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝ (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tana＋tan与两角正切的积tantan，所有均指向公式 ∵ ∴ ∴ ． 【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式 的变形tan＋tan＝tan(＋)(1－tantan)应予以灵活运用． 例3 ，则tan2＝______； (2)已知 ，求 的值． 解：(1)分析所给的两个已知角＋，－和所求的角2之间有关系(＋)＋(－)＝2， ， (2)∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ； ∵ ，∴ ． . 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如 等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号． 例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 . (Ⅰ)求tan(＋)的值； (Ⅱ)求＋2的值． 解：由三角函数定义可得 ， 又因为，为锐角，所以 ，因此tan＝7， (Ⅰ) ； (Ⅱ) ，所以 ， ∵，为锐角，∴ 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围． 例5 化简(1) ；(2) 解：(1)原式 (2)法一：原式 法二： 原式 【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础． 例6 (1)已知为第二象限角，且 ，求 的值． (2)已知 ，求sin2x的值． 解：(1)因为为第二象限角，且 ，所以 ， 原式 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量． (2)因为 所以 【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角) 和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换． 练习3－2 一、选择题 1．已知 ，则 等于( ) A． B．7 C． D．－7 2．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A． B． C． D． 3． ( ) A．sin15°－cos15° B．sin15°＋cos15° C．－sin15°－cos15° D．cos15°－sin15° 4．若 ，则cos＋sin的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题 5．若 ，则cos2＝______． 6． ______． 7．若 ，则tantan＝______． 8．已知 ，则 ______． 三、解答题 9．证明 10．已知为第四象限角，且 ，求 的值． 11．已知为第三象限角，且 . (1)求sin＋cos的值； (2)求 的值． §3－3 三角函数 【知识要点】 1．函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质． 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 一周期简图 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 增区间 [2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z 上是增函数 减区间 [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 对称性 对称轴 x＝kπ，k∈Z 对称中心 对称 中心 (kπ，0)，k∈Z 2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(x＋ )(A＞0，＞0)的简图． 3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数 体会 针灸治疗溃疡性结肠炎昆山之路icu常用仪器的管理名人广告失败案例两会精神体会 函数的周期性．函数y＝Asin(x＋ )(≠0)的最小正周期： ；y＝Atan(x＋ )(≠0)的最小正周期： ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号． 【复习要求】 1．掌握三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等． 2．会用五点法画出函数y＝sinx，y＝cosx，y＝Asin(x＋ )(A＞0，＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题． 3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】 例1 求下列函数的定义域 (1) ；(2) . 解：(1)cosx≠0，定义域为 (2)sin2x≥0，由正弦函数y＝sinx图象 (或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x轴，y轴正半轴上) 可得2k≤2x≤2k＋， 定义域为 例2 求下列函数的最小正周期 (1) ；(2) ； ； (4)y＝2sin2x＋2sinxcosx；(5)y＝｜sinx｜． 解：(1) ．(2) ． (3) ，所以 . (4) ，所以T＝． (5)y＝｜sinx｜的图象为下图，可得，T＝． 【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用 (正余弦)或 (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题． 例3 (1)已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( ) A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数 (2)若函数f(x)＝2sin(2x＋ )为R上的奇函数，则 ＝______． (3)函数 的图象( ) 解：(1) 周期为 ，偶函数，选D (2)f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以2sin(－2x＋ )＝－2sin(2x＋ )对x∈R恒成立， 即sin cos2x－cos sin2x＝－sin2xcos －cos2xsin ， 所以2sin cos2x＝0对x∈R恒成立， 即sin ＝0，所以 ＝k，k∈Z． 【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x＋)＝－sinx，sin(x＋2)＝sinx得到当 ＝2k＋或 ＝2k＋，k∈Z，即 ＝k，k∈Z时，f(x)＝2sin(2x＋ )可以化为f(x)＝sinx或f(x)＝－sinx，f(x)为奇函数． (3)分析：首先考虑奇偶性，f(－x)＝lncos(－x)＝lncosx＝f(x)，为偶函数，排除掉B，D选项 考虑(0， )上的函数值，因为0＜cosx＜1，所以lncosx＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑． 例4 求下列函数的单调增区间 (1) ;(2) ； (3) ；(4) 解：(1)y＝cosx的增区间为[2k＋，2k＋2]，k∈Z， 由 可得 的增区间为 ， (2)先求出函数 的增区间 然后与区间[－，0]取交集得到该函数的增区间为 和 ， (3) ，转化为问题(1)，增区间为 (4)原函数变为 ，需求函数 的减区间， ，得 ， 的增区间为 【评析】处理形如y＝Asin(x＋ )＋k，(＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x的分数化正，然后再求相应的单调区间． 求三角函数单调区间的一般方法： (1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可． 例5 求下列函数的值域 (1)函数 的最大值以及此时x的取值集合 (2) (3) (4)y＝cos2x－2sinx 解：(1)当 时， ，函数的最大值为3， 此时x的取值集合为 (2)结合正弦函数图象得：当 时， 该函数的值域为(－1，2] (3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式． ， 设 ，则原函数变为 ， 结合余弦函数图象得： ，所以函数的值域为(－1，2]． (4)y＝－2sin2x－2sinx＋1， 设t＝sinx，则函数变为y＝－2t2－2t＋1，t∈[－1，1]， 因为 结合二次函数图象得，当t＝1时，函数最小值为－3，当 时，函数最大值为 ，所以函数的值域为 【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法： (1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y＝Asin(x＋ )＋k，y＝Acos(x＋ )＋k，y＝Atan(x＋ )＋k等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理． (2)转化为二次型：如Asin2x＋Bsinx＋C，Acos2x＋Bcosx＋C形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y＝sin(x＋ )的图象(部分)如图所示，则和 的取值是( ) A． B． C． D． 解： ，即 ，所以 ， 当 时， ，所以 ，选C 例7 (1)将函数 的图象如何变换可得到函数 的图象 (2)已知函数y＝sinx的图象，将它怎样变换，可得到函数 的图象 解：(1) (2)法一：y＝sinx 法二：y＝sinx 【评析】由y＝sinx的图象变换为y＝Acos(x＋ )(＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同． 例8 (1)函数 的一条对称轴方程为( ) A． B． C． D． (2)函数 的对称轴方程和对称中心的坐标 解：(1)法一： 的对称轴为 ， 即 ，当k＝－1时， ，选C 法二：将四个选项依次代入 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项 当 时， ，选C (2) 的对称轴为 ，即 对称中心： 此时 所以对称中心的坐标为 【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x轴的交点，处理选择题时可以灵活运用． 例9 已知函数 的最小正周期为． (1)求的值． (2)求f(x)在区间 上的值域． (3)画出函数y＝2f(x)－1在一个周期[0，]上的简图． (4)若直线y＝a与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a的取值范围． 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为，且＞0，所以 ，解得＝1 (2)由(1)得 ，因为 ，所以 ， 结合正弦函数图象，得 因此 ，即f(x)的取值范围为 (3)由(1)得 列表 0 π x 0 π y －1 0 2 0 －2 －1 (4)由图象可得，－2＜a＜2且a≠－1． 【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y＝Asin(x＋ )(＞0)或y＝Acos(x＋ )(＞0)的形式，利用换元法，结合y＝sinx、y＝cosx的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法． 练习3－3 一、选择题 1．设函数 x∈R，则f(x)是( ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数 2．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A． B． C． D． 3．函数 的图象( ) A．关于点( ，0)对称 B．关于直线 对称 C．关于点( ，0)对称 D．关于直线 对称 4．函数y＝tanx＋sinx－｜tanx－sinx｜在区间 内的图象大致是( ） 二、填空题 5．函数 的最大值是______． 6．函数 的最小正周期为______． 7．函数 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y＝______． 8．函数y＝cos2x＋cosx的值域为______． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1，x∈R． (Ⅰ)求函数f(x)的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间． 10．已知函数 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及最值； (Ⅱ)令 ，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 11．已知 ，a为常数)，且满足条件f(x1)＝f(x2)＝0的｜x1－x2｜的最小值为 ． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若f(x)在 上的最大值与最小值之和为3，求a的值． §3－4 解三角形 【知识要点】 1．三角形内角和为A＋B＋C＝ , ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理 正弦定理： ，(r为△ABC外接圆的半径)． 余弦定理： . a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC． 3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用： ×底×高. absin 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题． 【复习要求】 1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化； 2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】 例1 (1)在△ABC中， ，b＝1，B＝30°，则角A等于( ) A．60° B．30° C．120° D．60°或120° (2)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，满足等式(a＋b)2＝ab＋c2，则角C的大小为______. (3)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则∠B的大小是______． (4)在△ABC中，若 ，C＝150°，BC＝1，则AB＝______． 解：(1)∵ 又∵a＞b，∴A＞B＝30°，∴A＝60°或120°， (2)∵(a＋b)2＝ab＋c2，∴a2＋b2－c2＝－ab， ∴ (3)∵ ，sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8. ∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴ ，∴B＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于 求sinA . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC中，acosA＝bcosB，则△ABC一定是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC中，2sinB·sinC＝1＋cosA，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解：(1)法一： ，acosA＝bcosB， ∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B， ∵2A，2B∈(0，2)，∴2A＝2B或2A＋2B＝， ∴A＝B或 ，选D． 法二：∵acosA＝bcosB， ∴ ， 整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0． 所以：a＝b或a2＋b2＝c2，选D． (2)∵2sinB·sinC＝1＋cosA，cos(B＋C)＝cos(－A)＝－cosA， ∴2sinB·sinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)， ∴cosBcosC＋sinB·sinC＝1， ∴cos(B－C)＝1， ∵B，C∈(0，)，∴B－C∈(－，)， ∴B－C＝0，∴B＝C，选C． 【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑 (1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状， (2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化． 例3 已知△ABC的周长为 ，且sinA＋sinB＝ sinC (1)求边AB的长； (2)若△ABC的面积为 ，求角C的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得 ，解得AB＝1． (2)由△ABC的面积 ，得 ， 因为 ，所以(BC＋AC)2＝BC2＋AC2＋2AC·BC＝2， 可得 ，由余弦定理，得 ， 所以C＝60°． 例4 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和 ＝ ，求∠A和tanB的值． 解(1)由已知和余弦定理得 ，所以∠A＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系． 在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sin(60°＋B)， 因为 所以 【评析】体现了将已知条件(边 )向所求问题(角tanB→sina，cos)转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程． 例5 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2， ． (Ⅰ)若△ABC的面积等于 ，求a，b； (Ⅱ)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积． 解：(Ⅰ)由余弦定理 及已知条件得，a2＋b2－ab＝4， 又因为△ABC的面积等于 ，所以 ，得ab＝4． 联立方程组 解得a＝2，b＝2． (Ⅱ)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA， (sinBcosA＋cosBsinA)＋(sinBcosA－cosBsinA)＝4sinAcosA， 即sinBcosA＝2sinAcosA， 当cosA＝0时， ， 当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a， 联立方程组 解得 . 所以△ABC的面积 . 【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式 的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化． 例6 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝，∠BDC＝，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB． 解：在△BCD中，∠CBD＝－－． 由正弦定理得 所以 ． 在Rt△ABC中， 例7 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A，B，C的大小． 解：sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， sinAsinB＋sinAcosB－(sinAcosB＋cosAsinB)＝0， sinAsinB－cosAsinB＝sinB(sinA－cosA)＝0， 因为sinB≠0，所以sinA－cosA＝0， 所以tanA＝1， ，可得 ， 所以 ， sinB＋2sinBcosB＝0，因为sinB≠0，所以 . 【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4 一、选择题 1．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝( ) A．1∶2∶3 B． C．1∶4∶9 D． 2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c， ，b＝1，则c＝( ) A．1 B．2 C． D． 3．△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状一定为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若 ，A＝2B，则cosB＝( ) A． B． C． D． 二、填空题 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1， ，则A＝______． 6．在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c，若 ，则角B的值为______． 7．设△ABC的内角 ，则2sinBcosC－sin(B－C)的值为______． 8．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC＝(2a－c)cosB，则∠B的大小为______. 三、解答题 9．在△ABC中， . (Ⅰ)求角C的大小； (Ⅱ)若AB的边长为 ，求边BC的边长． 10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA的长(精确到1米)． 11．在三角形ABC中， ，求三角形ABC的面积S． 专题三 三角函数参考答案 练习3－1 一、选择题： 1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5． 6．16 7． 8． 三、解答题 9．解：(1) (2)原式＝ 10．解：(1)原式 (2)原式 11．解：当k为偶数时，原式 当k为奇数时，原式 ，综上所述，原式＝0． 练习3－2 一、选择题 1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5 6．4 7． 8． 三、解答题 9．解：左边 右边. 10．解：原式 ， 因为为第四象限角，且 ，所以 ， 所以原式 . 11．解：(1)由 ＝ 可得 ， 所以 ＝ ， 因为为第三象限角，所以sin＜0，cos＜0，sin＋cos＜0， 所以 . (2)原式 ， 因为 ，所以 ， 所以原式 练习3－3 一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题 5．2 6．2 7． 8． 三、解答题 9．解： ＝ . (1) ，对称轴方程为 ， (2) ，即 ， f(x)的单调减区间为 ． 10．解：(I)∵ ∴f(x)的最小正周期 当 时，f(x)取得最小值－2；当 时，f(x)取得最大值2． (Ⅱ)由(I)知 ∴函数g(x)是偶函数． 11．解：(1) 由满足条件f(x1)＝f(x2)＝0的｜x1－x2｜的最小值为 ，可得的最小正周期为，所以＝1． (2) f(x)在 上的最大值为a＋3，最小值为a， 由题意得2a＋3＝3，所以a＝0． 练习3－4 一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．B 二、填空题 5． 6． 或 7． 8． 三、解答题 9．解：(I)∵C＝－(A＋B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝ 又∵0＜C＜， (Ⅱ)由 且 ，得 由 得： 所以 10．解：设该扇形的半径为r米．由题意，得CD＝500(米)，DA＝300(米)，∠CDO＝60°在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2， 即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)× ＝r2， 解得 (米). 11．解：由题意，得 ，B为锐角， ， ＝ ， 已知 ，由正弦定理 ，得 ， ∴ ． _1321852752.unknown _1321858014.unknown _1321901874.unknown _1321902728.unknown _1322390837.unknown _1322392322.unknown _1322393080.unknown _1322393185.unknown _1322393301.unknown _1322463675.unknown _1322463857.unknown _1322467487.unknown _1322463753.unknown _1322393326.unknown _1322393587.unknown _1322393641.unknown _1322393553.unknown _1322393325.unknown _1322393251.unknown _1322393252.unknown _1322393221.unknown _1322393151.unknown _1322393184.unknown _1322393081.unknown _1322392897.unknown _1322392993.unknown _1322393049.unknown _1322392952.unknown _1322392565.unknown _1322392771.unknown _1322392323.unknown _1322391281.unknown _1322391923.unknown _1322392320.unknown _1322392321.unknown _1322392056.unknown _1322391703.unknown _1322391181.unknown _1322391182.unknown _1322390838.unknown _1321903104.unknown _1321903618.unknown _1321903894.unknown _1321904343.unknown _1321904698.unknown _1321904798.unknown _1321905063.unknown _1321905252.unknown _1321905253.unknown _1321905303.unknown _1321905087.unknown _1321904975.unknown _1321905023.unknown _1321904811.unknown _1321904771.unknown _1321904790.unknown _1321904717.unknown _1321904503.unknown _1321904695.unknown _1321904344.unknown _1321904053.unknown _1321904257.unknown _1321904342.unknown _1321904339.unknown _1321904120.unknown _1321904185.unknown _1321904062.unknown _1321903921.unknown _1321903929.unknown _1321903633.unknown _1321903637.unknown _1321903621.unknown _1321903317.unknown _1321903347.unknown _1321903553.unknown _1321903611.unknown _1321903339.unknown _1321903222.unknown _1321903223.unknown _1321903215.unknown _1321902952.unknown _1321903057.unknown _1321903077.unknown _1321902962.unknown _1321902804.unknown _1321902926.unknown _1321902779.unknown _1321902419.unknown _1321902599.unknown _1321902636.unknown _1321902701.unknown _1321902623.unknown _1321902543.unknown _1321902550.unknown _1321902433.unknown _1321902542.unknown _1321902087.unknown _1321902237.unknown _1321902410.unknown _1321902176.unknown _1321902008.unknown _1321902060.unknown _1321901919.unknown _1321861000.unknown _1321863689.unknown _1321865367.unknown _1321865636.unknown _1321866036.unknown _1321866059.unknown _1321866108.unknown _1321866375.unknown _1321866564.unknown _1321866183.unknown _1321866098.unknown _1321866038.unknown _1321866039.unknown _1321866037.unknown _1321865754.unknown _1321866034.unknown _1321866035.unknown _1321865771.unknown _1321866033.unknown _1321865708.unknown _1321865511.unknown _1321865550.unknown _1321865577.unknown _1321865534.unknown _1321865389.unknown _1321865489.unknown _1321865368.unknown _1321864365.unknown _1321864923.unknown _1321865188.unknown _1321865271.unknown _1321865043.unknown _1321864688.unknown _1321864856.unknown _1321864396.unknown _1321864144.unknown _1321864251.unknown _1321864336.unknown _1321864145.unknown _1321863876.unknown _1321864143.unknown _1321864038.unknown _1321863875.unknown _1321861902.unknown _1321862155.unknown _1321863139.unknown _1321863442.unknown _1321863537.unknown _1321863360.unknown _1321862577.unknown _1321863005.unknown _1321862215.unknown _1321861978.unknown _1321862097.unknown _1321862115.unknown _1321862015.unknown _1321861904.unknown _1321861905.unknown _1321861903.unknown _1321861334.unknown _1321861425.unknown _1321861539.unknown _1321861900.unknown _1321861901.unknown _1321861611.unknown _1321861899.unknown _1321861460.unknown _1321861371.unknown _1321861403.unknown _1321861351.unknown _1321861110.unknown _1321861160.unknown _1321861306.unknown _1321861151.unknown _1321861043.unknown _1321861073.unknown _1321861017.unknown _1321859963.unknown _1321860473.unknown _1321860721.unknown _1321860845.unknown _1321860942.unknown _1321860974.unknown _1321860898.unknown _1321860778.unknown _1321860818.unknown _1321860746.unknown _1321860598.unknown _1321860643.unknown _1321860692.unknown _1321860627.unknown _1321860545.unknown _1321860568.unknown _1321860514.unknown _1321860298.unknown _1321860366.unknown _1321860428.unknown _1321860444.unknown _1321860385.unknown _1321860327.unknown _1321860347.unknown _1321860314.unknown _1321860057.unknown _1321860150.unknown _1321860258.unknown _1321860134.unknown _1321860010.unknown _1321860043.unknown _1321859987.unknown _1321859250.unknown _1321859523.unknown _1321859758.unknown _1321859913.unknown _1321859936.unknown _1321859859.unknown _1321859598.unknown _1321859628.unknown _1321859576.unknown _1321859397.unknown _1321859453.unknown _1321859492.unknown _1321859414.unknown _1321859297.unknown _1321859370.unknown _1321859269.unknown _1321858639.unknown _1321858833.unknown _1321859107.unknown _1321859108.unknown _1321859105.unknown _1321859106.unknown _1321858834.unknown _1321858726.unknown _1321858740.unknown _1321858832.unknown _1321858713.unknown _132185