等差数列求和公式Sn

等差数列求和公式  Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注：an=a1+(n-1)d   转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2   应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an   化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立   当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1   得   2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)   当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列   和＝（首项＋末项）×项数÷2   项数＝（末项-首项）÷公差＋1   首项=2和÷项数-末项   末项=2和÷项数-首项   末项=首项+（项数-1）×公差   性质：等差数列求是求数列中所有项的和   若 m、n、p、q∈N   ①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq   ②若m+n=2q，则am+an=2aq 二、例题 例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 分析 ∵要求的数去除30、60、75都能整除，   ∴要求的数是30、60、75的公约数。   又∵要求符合条件的最大的数，   ∴就是求30、60、75的最大公约数。   解：∵   （30，60，75）=5×3=15   这个数最大是15。 例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 分析 由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。   解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，   ∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。 例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 分析 ∵要截成相等的小段，且无剩余，   ∴每段长度必是120、180和300的公约数。     又∵每段要尽可能长，   ∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.   （120，180，300）=30×2=60   ∴每小段最长60厘米。   120÷60+180÷60+300÷60   =2＋3＋5=10（段）   答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。 例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。     ［3，10，5］=5×3×2=30   ∴各道工序均应加130个零件。   30÷3=10（人）   30÷10=3（人）   30÷5=6（人）   答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。 例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？ 分析 由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。   解：∵[2，3，4]=12   ∴参加会餐人数应是12的倍数。   又∵12÷2+12÷3+12÷4   =6+4+3=13（瓶），   ∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。   又∵65÷13=5，   ∴参加会餐的总人数应是12的5倍，   12×5=60（人）。 答：参加会餐的总人数是60人。 例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？   解：十月份共有31天，每周共有7天，   ∵31=7×4+3，   ∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。   ∴这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？   解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），   从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。   一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。   当r=0时，我们称a能被b整除。   当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。 例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。 分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。   解：∵被除数÷除数=商…余数，   即被除数=除数×商+余数，   ∴251=除数×商+41，   251-41=除数×商，   ∴210=除数×商。   ∵210=2×3×5×7，   ∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。 例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？   解：∵被除数=除数×商+余数，   即被除数=除数×40+16。   由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，   ∴（除数×40+16）+除数=877，   ∴除数×41=877-16，   除数=861÷41，   除数=21，   ∴被除数=21×40+16=856。   答：被除数是856，除数是21。 例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？   解：十月份共有31天，每周共有7天，   ∵31=7×4+3，   ∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。   ∴这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？   解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），   从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。   这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”   关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：   方法1：2×70+3×21+2×15=233   233-105×2=23   符合条件的最小自然数是23。 例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：   方法2：[3，7]+2=23   23除以5恰好余3。   所以，符合条件的最小自然数是23。   方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。 例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。 分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。   解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。   想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？   28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，   又148＜210=[5，6，7]   所以，适合条件的最小的自然数是148。 例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。   解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？   2+3×2=8。   再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？   8+[3，5]×3=53。   ∴符合条件的最小的自然数是53。   归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。   解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。 例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？   解：2+[5，7]×1=37（个）   ∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，   ∴布袋中至少有小球37个。 例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。 分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：   15除以2余1，19除以2余1，   即15和19被2除余数相同（余数都是1）。   但是19-15能被2整除.   由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。   反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。   例9可做如下解答：   ∵三个整数被N除余数相同，   ∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，   ∴N是21和35的公约数。   ∵要求N的最大值，   ∴N是21和35的最大公约数。   ∵21和35的最大公约数是7，   ∴N最大是7。 习题四   1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。   2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？   3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？   4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？   5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数.