微积分习题答案

微积分习题答案 微积分(?) 极限习题解答 第 1 页 共 10 页 极限习题解答 1( 试写出一个由到(0,1)的一一对应映射( [0,1] 解: ,1,0x,,2,1,,1x,,fx(), 3,11,,2,3,4xn,,,nn，2,x,其他, 2(求极限 ，其中( a，a，？，a,0lim(an，1，an，2，？，an，m)12m12m,,n 解: mm ,,limank=limankan1 ，，,，,,kkkn,,n,,k,1k,1 mk1,lima ==0( ,kn,,nkn1，，，k,1 3(用极限定义证明 (1) lim(n，1,n),0n,, 证明:，欲使 (由于 |n，1,n|,,,,,0 11|n，1,n|,,， n，1，nn 11，，故只需 ,,，即 便可( n,,,2n,，， 1，，取 ，则当n>N时，有 ( |n，1,n|,,N,，1,,2,，， 故 ( lim(n，1,n),0n,, n(2) lim(n),1n,, nnn证明: 因为 ，令，则a,0，且等价于lima,0( n,1，amil(n),1n,1nnnn,,n,, 由于 11nn22， n,(1，a),1，na，n(n,1)a，？，a,n(n,1)annnnn22 微积分(?) 极限习题解答 第 2 页 共 10 页 2所以 ( 0,a,nn,1 2，，因此 ，取 ，则当 时，有 ,,,0,，n,NN1,,2,，， ， 0,a,,n n故 (从而 ( lima,0lim(n),1nn,,n,, 4(利用夹逼定理求极限 1,3,5,？,(2n,1)(1); limn,,2,4,6,？,(2n) 解法1:因为 1，33，5，，…，2,,1,34,,3,522 (2n,1)，(2n，1)， 2n,,(2n,1)(2n，1)2 所以 1,3,5,？,(2n,1)1,3,5,？,(2n,1)10,,,， 2,4,6,？,(2n)1,3,3,5,5,7,？,(2n,1)(2n，1))2n，1 ？n1,3,5,,(2,1)1由于lim,0，所以lim,0( n,,n,,？n2,4,6,,(2)n2，1 1,3,5,？,(2n,1)a,解法2:令，则 n2,4,6,？,(2n) 13355(2n1)(2n1)2n1,,,,,？,,,,,20a， ,,,n22222246(2n)(2n),,,？, ？n1,3,5,,(2,1)lim,0易知 ( n,,？n2,4,6,,(2) 2,,1,3,5,？,(2n,1)1,3,5,？,(2n,1)2462n1,,,？,解法3:由，可知 ，进而得,,2,4,6,？,(2n)2n，12,4,6,？,(2n)3572n，1,, ？n1,3,5,,(2,1)lim,0到( n,,？n2,4,6,,(2) 11，，mmnn,,,,n,n,,，(2)，其中( ,,,,a,0(k,1,2,？,m)limaa,,kkkn,,,,k,k,,,,,11,,，， 微积分(?) 极限习题解答 第 3 页 共 10 页 解:令，则 a,min{a},A,max{a}kk1,k,m1,k,m 11mmnn,,,,11,,,nnn， AaamA，,，,，,,,,,,,,kkaa,,,,kk,,,,11 11，，mmnn,,,,1,nnn,,由于，所以( aaAlimm,1，,，lim,,,,,,kkn,,,,n,,a,,kk,,,,11,,，， 1n，15(设(易知数列收敛于e)( {}uu,，(1)nnn (1)研究数列的单调性; {}un 111(2)利用(1)的结果证明对于任意正整数都成立( n,，,ln(1)nnn，1 解:(1) 1n，1u,，(1)nn 11n，，(1)1unn1nnn,1nn,,11,,,,，,()(1) 211unnn，,，111n，1n(1)1，，nn 32nnnnn，,,，,,,(1)1232nnnnn,，，,,111 所以数列单调减( {}un (2) 1111nn，1n，1n ，且单调减，，单调增， ，,，,e，(1)(1)lim(1)lim(1)xx,,,,nnnn 11n，1n？ ， ，,e，,e(1)(1)nn 分别两边取对数 111(1)ln(1)1ln(1)n，，,,，,nnn，1 111ne,，,,，,ln(1)ln(1)nnn 111所以 ,，,ln(1)nnn，1 6(证明:若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛( 证明:不妨设为一单调增加数列，为的一个子列，且( aalimaA,a,,,,,,nnnnkk,,k ， limaA,,,,,，nk,,k 微积分(?) 极限习题解答 第 4 页 共 10 页 ( ？，,,,N0k>N，当时，有aA,00nk ank单增，且,,,nk ？,,,,当时，有nnNaaA-,Nnn00N0 对于，总存在使nnknn,,Nnk0n ？,aannk 又有极限，则有界a,,nk ？,aAa为有界单增列，其极限值sup,,,,nnkk ？,,aaAnnk ？,,,当时，有nnaAA-Nn0, 即aA,limnk,, pppn127(设，其中,,是一有界非负数列，试证数列收p,,aa,，，？，(n,1,2,？)nkn2n101010 敛( 证法1:单调有界收敛定理( 设，则 0,p,Mk 11,nppp1111M,,1012n， 0,a,，，？，,M，，？，,,M,,n22nn1101010910101010,,1,10 即数列有界(又易知数列单增，所以数列收敛( ,,,,,,aaannn证法2:Cauchy收敛准则( 11,mppp1MM10n，1n，2n，m由于，所以任给，由,,0,,，，？，,,aan，mnn，1n，2n，mn，1n1910101010101,10 M1M得 ( n,log,,n9,910 1MM，，aa取，则对于任意的，均有，即数列,,a,log，1,,,,n,N,m,0Nn，mnn,,n,9910，， 是一Cauchy列，所以收敛( 2n,,,,8(设，其中q,1且数列a有界，试证数列b收敛( b,a，aq，aq，？，aqknn012n 证明:Cauchy收敛准则(设a,M，则 k m1,qMn，1n，1n，2n，mn，1,,，，，,,( bbaqaq？aqMqqn，mnn，1n，2n，m1,1,qq 由此易证数列,,是一Cauchy列，所以收敛( bn 微积分(?) 极限习题解答 第 5 页 共 10 页 9(若数列满足 ，其中，试证数列a,a,qa,a(n,1,2,？)0,q,1{a}{a}n，1nnn,1nn 收敛( 证明: ，因为 ,,,0 a,an，mn ,a,a，a,a，，a,a？n，mn，m,1n，m,1n，m,2n，1n m,1m,2 ，，,q，q，，q，a,a？1n，1n ma,a,q121n,1n,1n,qa,a,q,Mq，21,q,q11 ,，，所以当取 ，且时，有对任意的都成立( N,log，1a,a,,n,Nm,0qn，mn,,M，， 即数列为柯西列，所以收敛( {a}n 10(设，，且数列单调减，证明an,,0(){}alim()aaa，，，,，,nn12n,,n aaa，，，1321n,( lim1,n,,aaa，，，242n 证明:容易看出数列有界(，单调减)( {}aan,,0()nn 1aaaaaaaaa，，，,，，，，，()242224422nnn2 1,，，，，，aaaaaa()，2345221nn2 lim()aaa，，，,，,12n,,n ？ lim()aaa，，,，,2321n，n,, ？ lim()aaa，，，,，,242n,,n 同样 lim()aaa，，，,，,1321n,n,, 因为数列单调减，于是: aaaaaaaaa，，，,,,,,,()()1321123452nn,01,,,aaaaaa，，，，，，242242nn a1,,0aaa，，，242n 微积分(?) 极限习题解答 第 6 页 共 10 页 aaa，，，1321n,由夹逼定理 ， lim(1)0,,n,,aaa，，，242n aaa，，，1321n,所以 ( lim1,n,,aaa，，，242n 11(证明Stolz定理:设和为两个数列，若单调增加，且，,,,,ab{b}limb,，,nnnnn,,a,aan，1nn，则( lim,Alim,An,,,,nbb,bnn，1n a,ann,1证法1:令，则，即对，，当时，，N,0limc,0c,,A,,,0n,Nnnn,,b,bnn,1 ( c,,n 由于 a,a，(c，A)(b,b)nn,1nnn,1 ,a，(c，A)(b,b)，(c，A)(b,b)n,2n,1n,1n,2nnn,1 ,？ ,a，(c，A)(b,b)，？，(c，A)(b,b)，(c，A)(b,b)NN，1N，1Nn,1n,1n,2nnn,1 ,a，c(b,b)，？，c(b,b)，c(b,b)，A(b,b),NN，1N，1Nn,1n,1n,2nnn,1nN所以 cb,b，？，cb,b，cb,baa,AbN，1N，1Nn,1n,1n,2nnn,1nNN,A,，bbbnnn aAbbb,,NNnN,,， bbnn aAb,NN,，,,bn aAb,NN因为 ，所以对于上述，，当时，( limb,，,，N,0n,N,,0,,n11n,,bn aann取，则当时，，即( N,max{N,N}n,N,A,2,lim,A212,,nbbnn xx,nn，1证法2:，因为 ，所以 ，有: ，,N,,,nN,,,0lim,A33n,,yy,nn，1 xx,nn，1， 即 ,,,Ayy,nn，1 微积分(?) 极限习题解答 第 7 页 共 10 页 xx,nn，1 ,,AA,,,，yy,nn，1 取，进行递推 nN,，1 xx,NN，，21,即 ,,AA,,,，yy,NN，，21 ()()()()AyyxxAyy,,,,,，,,,NNNNNN，，，，，，212121 ()()()()AyyxxAyy,,,,,，,,,NNNNNN，，，，，，323232 ()()()()AyyxxAyy,,,,,，,,,nnnnnn,,,111 以上各式相加，得: ()()()()AyyxxAyy,,,,,，,,,nNnNnN，，，111 即: ()()()()AyyxxAyyx,,，,,，,，,,nNNnnNN，，，，1111 同除以y则: n yxxyxNNnNN，，，，1111 ()(1)()(1),,，,,，,，,,AAyyyyynnnnn 即: yxxyxNNnNN，，，，1111 ()()()(),,，,,,,，,，，,,,,AAAyyyyynnnnn 因为: limy,，,nx,, yN，1？,lim0 x,,yn xN，1lim0,x,,yn yN，1所以，，时 ， ，,,NnN0,,,,0,,,,,,,,()()A11yn xN，1，时 ， ，,,NnN0,,,,0,,,,,22yn xn取，则对于，时， NMaxNNN,(,,)，,,NnN0,,,,0,,,,33,,A123yn 微积分(?) 极限习题解答 第 8 页 共 10 页 xn所以: lim,A,,nyn 12(利用Stolz定理求下列极限 a，2a，？，na12n(1)，其中( lima,alimn2,,,,nnn 2解:令，，则 v,nu,a，2a，？，nann12n (1)(1),，，uunanaan，1nn，1n，1limlimlim， ,,,22n,,n,,n,,212,，vvn(1)，,nnn，1n 2，，，？aanaa12nlim所以 ( ,2,,2nn mmm？n1，2，，(2)，为正整数( mlimm，1n,,n 解: mmmm？12(1)，，，nn，limlim,m，1m，1m，1n,,n,,(1)nn，,n m(1)n， lim,n,,(1)m，mmm,1？(1)1m，n，n，，2 1.,1m， 111nn,2,21n,1222,,,,222,,,,,,(3)( lim？,,n23,,,,n,,212121,,,,,,,,, 111nn,2,21n,1222,,,,222,,,,,,解:令，则 ,a？,,nn23,,,,212121,,,,,,,,, 2n,1,,1222n,2,,lnln2ln2ln， ,，，，a？n,,n,123n2212121,,,,, 所以 n,12n,22lnn,1n2121,limlnlimlimlnln， a,,,nn,1n,2nn,,n,,n,,22221,, 111nn,2,21n,1222,,,,2221,,,,,,从而 lim( ？,,,n23,,,,n,,2212121,,,,,,,,, 微积分(?) 极限习题解答 第 9 页 共 10 页 13(设 证明数列发散( ,,,k,{sin}n, 证明:因为 所以 假设数列收敛，记 ,,,k,sin0,cos1.,,,,{sin}n,limsin.nA,,n,, 则 limsin(1).nA，,,n,, 展开: 所以数列也收敛( {cos}n,lim(sincoscossin).nnA,,,,，,n,, 记 则 即 ABAcossin,,,，,AB(1cos)sin.(1),,,,limcos,nB,,n,, 再将展开: 两边取极限: cos(1)n，,coscossinsin.nnB,,,,,, 即 BABcossin,,,,,,,,ABsin(1cos).(2),, 22 (1)sin(2)(1cos):0(sin(1cos))2(1cos).，，，,,，,,,,,,,,BB 从而有 代入(1)， AA1cos)0,0.(,,,,B,0. 2222在恒等式 两边取极限: 矛盾～ AB，,,1,01,sincos1nn,,，, xn14(已知，证明存在( ,,,，mnxxx,0limmnmn，,,nn xxnn证明:，所以，所以数列有0,,，,，，,,xxxxxxnx0{},,,nxnnn111121,,1nn xxnn界(记(下面证明 inf{}lim.,AA,,,nnn xn因为A是下界，所以 .,,nAn x,N1因为是下确界，所以 A,,,0,，,，.NA12N1当时，记，记 则 nN,nqNrrN,，,,,0x,0.1110 qxxxNn1r ,,，,，,.xxqxx，nqNrNr11nnn a,记axx,max(,,). ，,,,NnN.11N,221n2令 则 有 NNN,max(,),,,nN12 qxqxx,,xaNNn11r,，,，,，，,，.AA,22nnnqNn1 微积分(?) 极限习题解答 第 10 页 共 10 页