1.8 支出最小化
1． 支出最小化模型及最优解
⑴ 模型
① 目标函数：
② 约束条件：
③ 支出最小化模型：
④ 简化的支出最小化模型：
⑤ 效用最大化模型和支出最小化模型的比较
⑵ 拉格朗日函数
⑶ 一阶必要条件
⑷ 二阶充分条件
⑸ 最优解
由一阶必要条件（及二阶充分条件）求得最优解
和
——它们是
和
的函数：
2． 希克斯需求函数
⑴ 定义
⑵ 说明
⑶ 性质
① 关于
：
=？
② 关于
A
=？
B 零次齐次：
3． 支出函数
⑴ 定义
将支出最小化问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的解
和
代入拉格朗日函数即得到相应的支出函数：
⑵ 性质
① 关于
：
▼ 关于
▼ 关于
▼ 关于
：
▼ 关于
：
② 关于
A
▼ 关于
：谢菲德引理
▽ 证明
▼ 关于
：假定最优解总为“内解”。
▼ 关于
：递增
B 一次齐次
C 凹
4． 支出函数的应用：价格变动对福利的影响
⑴ 补偿变动
① 定义
② 图示
③ 公式
⑵ 等价变动
① 定义
② 图示
③ 公式
⑶ 补偿变动和等价变动的比较
1.9 效用最大化和支出最小化：对偶分析
1． 对偶问题
2． 间接效用函数和支出函数
⑴
① 给定一个效用水平
（以及价格水平
）。
② 根据支出最小化模型，可以求得一个相应的最小支出
。
③ 再以该最小支出
作为给定的收入水平，即令
，则根据效用最大化模型，又可以求得一个相应的最大效用
。
④ 该最大效用
应当恰好等于一开始时的效用水平
，即有
。
⑵
① 给定一个收入水平
（以及价格水平
）。
② 根据效用最大化模型，可以求得一个相应的最大效用
。
③ 再以该最大效用
作为给定的效用水平，即令
，则根据支出最小化模型，又可以求得一个相应的最小支出
。
④ 该最小支出
应当恰好等于一开始时的收入水平
，即有
。
3． 马歇尔需求函数和希克斯需求函数
⑴
⑵
4． 需求的基本方程：斯卢茨基方程
⑴ 说明
⑵ 斯卢茨基方程：紧凑公式
① 公式（需求理论的基本方程式）
② 说明
③ 证明
⑶ 斯卢茨基方程：展开公式
① 公式
② 证明㈠
③ 证明㈡
5． 希克斯矩阵及其性质
⑴ 希克斯矩阵
⑵ 希克斯矩阵的性质
① 自身替代项非正
▼ 证明
② 交叉影响项对称
▼ 证明
③ 负半定
▼ 证明
6． 斯卢茨基矩阵及其性质
7． 替代效应和收入效应
⑴ 特殊的斯卢茨基方程：
⑵ 替代效应和收入效应
⑶ 正常品、劣等品和吉芬品
▼ 正常品：
▼ 劣等品：
但
▼ 吉芬品：
且
⑷ 收入效应超过替代效应的可能性
8． 弹性形式的斯卢茨基方程及其性质
⑴ 方程
（等式两边同乘以
）
（最后一项乘以
并整理）
（弹性定义）
其中，各项的意义如下：
（马歇尔需求的价格弹性和交叉价格弹性）
（希克斯需求的价格弹性和交叉价格弹性）
（马歇尔需求的收入弹性）
（在第
种商品上的支出占总支出即收入的比率）
当
时有：
⑵ 性质：所有商品的收入弹性的加权和等于1
浙公网安备 33021202002483