求正弦型函数解析式
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：求正弦型函数解析式的方法
求正弦型函数解析式论文:求正弦型函数解析式的方法
三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象又是其中的难点,学生往往不知如何从图象中挖掘出有用的信息去求a、 ?棕、?准。现就几道例题谈谈常用的求解方法。
一、五点法
已知五个特殊点中的某几个点，逆求函数解析式
我们都知道正弦函数y=sinx的五个特殊点:o(0，0)、a( ,1)、b(?仔，0)、c( ?仔，-1)、d(2?仔，0)，对应于y=asin(ωx+?准)的五点:第一点(- ，0)，第二点( ，0)，第三点( ，0)，第四点( ，-1)，第五点( ，0)。其中a、b间距离为周期t的 ，a、c间的距离为周期t的 ，a、d间距离为周期t的 。最终代入特殊点确定初相?准。
例1(右图所示的曲线是y=asin(ωx+?准)(a,0，ω,0)图象的一部分，求这个函数的解析式(
解:由-2?y?2，得a=2
已知第二个点( ，2)和第五个点( ，0)
t= ?仔- = ?仔，所以t=?仔ω=2.
把( ，2)代入 ×2+?准= ，得φ= .
答案
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:y=2sin(2x+ ).
同步练习:下列函数中，图象的一部分如图所示的是()
(a)y=sin(x+ )(b)y=sin(2x- )
(c)y=cos(4x- ) (d)y=cos(2x- )
解析:已知五点中第一点和第二点(- ，0)和( ，1)，可得t=, -(- ),×4=π，所以ω= =2，排除a，c选项。答案d.
二、最值法
已知五点中的第二点(x1，a)和第四点(x2，-a)，(其中a,0，x2,x1)利用t= (x2-x1)求ω，再代第二点或第四点求出?准.
例2(已知函数y=asin(ωx+?准)(a,0，ω,0，φ,π)的一段图象如图所示，求函数的解析式。
由-2?y?2，得a=2
= π-(- )=所以t=π ω=2
因为(- ，2)为“五点画法”中的第二点
所以2×(- )+φ= ?圯φ=
所以所求函数解析式为:y=2sin(2x+ )
同步练习:下图是函数y=asin(ωx+?准)的图象的一段，它的解析式为()
a(y= sin(2x+ )
b(y= sin( + )
c(y= sin(x- )
d(y= sin(2x+ )
解:由函数值域知:a= ， =- -(- π)=
所以t=π，ω=2
把点(- ， )代入，得?准= π，选d.
三、单调性法
在利用正弦函数零点(x0，0)时，要注意第一点和第五点是单调增的点，第三点是单调减的点，即是起始点(2kπ，0)还是第三点,(2k+1)π，0,(k?z)
例3(如图为y=asin(ωx+?准)的图象的一段，求其解析式(
由- ?y? ，得a=
已知两特殊点( ，0)( ，0)，则 = - =
所以t=π，ω= =2
把( ，0)代入，由2? +?准=2kπ(k取1)，得φ= π
注意:若把( ，0)代入，由2? +?准=2kπ(k取1)
得φ= π，错在哪,因为( ，0)是图象中单调递减的点，即它是第三点，所以它们的对应关系是:2? +?准=2kπ+π(k取1)，得φ= π。在解题过程中，要密切注意与x轴交点是(2kπ，0)还是,(2k+1)π，0,。
最终答案是y= sin(2x+ π)
同步练习:已知函数y=asin(ωx+?准)(a,0，ω,0，φ,π)的图象如下图所示，试确定该函数的解析式。
注意:p、q不在同一个五点组中，p是图象中下降的一段与x轴的交点(第三点)，而将点(0，1)代入，得sin?准=
它们的对应关系是:
?准=2kπ+ ω(- π)+?准=2kπ-π(k?z)
即?准=π时，k=0，相应的ω(- π)+ =-π，即ω=2
故函数解析式为y=sin(2x+ )
四、平移法
由图象可明显看出是由y=asinωx平移而得，利用“左正右负”求出?准.
例4.如图所示为函数y=asin(ωx+?准)(a,0，ω,0)一个周期图象,写出它的解析式.
解:由函数值域知a=2
t=7-(-1)=8，所以，ω= = ，平移前解析式y=2sin( x)
由第一点为(-1，0)知图象向左移了1个单位，所以平移后解析式:y=2sin, (x+1),，答案为y=2sin( x+ ).
同步练习:如图是函数y=asin(ωx+?准)(a,0，ω,0)一个周期图象，求它的解析式。
由函数值域知:a=1
周期t=4×, ,(, ),=π，ω= ,,，则平移前解
析式为y=sin2x，由第一点为(, ，,)知图象向左平移了 个单位，所以平移后解析式:
y=sin,2(x+ ),
所以，y=sin(2x+ )
综上所述，从函数值域不难求出a，从函数周期求出ω，再把特殊点代入可求出初相?准。这是求解析式的最常用、最有效的办法。
“本文中所涉及到的图表、
公式
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