求函数值域的方法
x一、直接法:从自变量的范围出发，推出的取值范围。 yfx,()
yx,，1例1:求函数的值域。
x,0x，,11解:?，?，
yx,，1?函数的值域为。 [1,)，,
2Fxafxbfxc()()(),，，二、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
的函数的值域问题，均可使用配方法。
2yxx,,，，42x,,[1,1]例2:求函数()的值域。
22yxxx,,，，,,,，42(2)6解:，
21(2)9,,,xx,,[1,1]x,,,,2[3,1]?，?，?
2,,,,，,3(2)65x,,,35y?，?
2yxx,,，，42x,,[1,1][3,5],?函数()的值域为。 三、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定
义域，得到原函数的值域。
x12,y,例3:求函数的值域。 x12，
x1,y12,x2,y,解:由解得， x1，y12，
1,yx,0,,,11y?20,，?，? 1，y
x12,y,y,,(1,1)?函数的值域为。 x12，
四、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般
也可以利用反函数法。
1,x例4:求函数的值域。 y,25x，
177,，，(25)x11,x222解:?， y,,,,，2525225xxx，，，
7
12?，?， y,,,0225x，
1,x1?函数的值域为。 y,{|}yy,,25x，2五、换元法:运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函
yaxbcxd,，,，数的值域，形如(a、、c、均为常数，且)的函数常用此da,0b
法求解。
yxx,，,212例5:求函数的值域。
21,t解:令tx,,12()，则， x,t,02
1522? yttt,,，，,,,，1()24
135?当，即时，，无最小值。 x,y,t,max842
5yxx,，,212?函数的值域为。 (,],,4
x六、判别式法:把函数转化成关于的二次方程;通过方程有实数根，判Fxy(,)0,
2axbxc，，111aa别式，从而求得原函数的值域，形如(、不同时为零)的函,,0y,122axbxc，，222
数的值域，常用此方法求解。
2xx,，3例6:求函数的值域。 y,2xx,，1
2xx,，32(1)(1)30yxyxy,,,，,,解:由变形得， y,2xx,，1
时，此方程无解; 当y,1
2,,,,,,,(1)4(1)(3)0yyy当y,1时，?，?， xR,
1111解得，又y,1，? 1,,y1,,y33
2xx,，311?函数的值域为 y,{|1}yy,,2xx,，13七、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函
数的值域。
yxx,,,12例7:求函数的值域。
x解:?当x增大时，随x的增大而减少，,,12x随的增大而增大， 12,x
1yxx,,,12?函数在定义域上是增函数。 (,],,2
111y,,,，,12?， 222
1yxx,,,12?函数的值域为。 (,],,2
八、利用有界性:利用某些函数有界性求得原函数的值域。
2x,1例8:求函数的值域。 y,2x，1
解:由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得 R
2(1)(1)yxy,,,，，
y，12x,,?y,1，?(，y,1)， xR,y,1
y，1,,0?，?,,,11y， y,1
2x,1?函数的值域为{|11}yy,,, y,2x，1
九、图像法(数型结合法):函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，
根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。
yyxx,，，,|3||5|例9:求函数的值域。
,，22x(3)x,,,
,8yxx,，，,,|3||5|8解:? ， (35),,,x,
,22x,(5)x,,
ox-35
yxx,，，,|3||5|?的图像如图所示，
yxx,，，,|3||5|[8,)，,由图像知:函数的值域为 以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，
我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。
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