数列求和的方法

数列求和的方法 数列求和的方法 一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. ()(1)naann，,1n1、 等差数列求和公式: Snad,,，1n22 (,1)naq,1,n,(1,)aaqaq2、等比数列求和公式:, S,1n1n,(,1)q,1,1,qq, nn112S,k,n(n，1)S,k,n(n，1)(2n，1)3、 4、 ,,nn26,1,1kk n132S,k,[n(n，1)] ,n2,1k 例1(07 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 山东文18)设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和(已{}aS{}annnn 知，且构成等差数列( S,7aaa，，334，，3123 (1)求数列的等差数列( {}an (2)令T求数列的前项和( ban,,ln12，，，，{}bnnn31，n aaa，，,7，,123,解:(1)由已知得解得( a,2:,(3)(4)aa，，，213,3.a2,,2 2aaq,,，2 设数列的公比为，由，可得( a,2{}aq13n2q 22，，,227q又，可知，即， S,72520qq,，,3q 1qq,？,12，解得(由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意得( qq,,2，122 n,1(故数列的通项为( ？,a1{}aa,21nn 3n(2)由于由(1)得 ban,,ln12，，，，a,2，nn31，31n 3n ？,,bnln23ln2， 又bb,,3ln2 nnn，1n 是等差数列( ？{}bn 1 ？,，，，Tbbbnn12 nbb()，1n,2 n(3ln23ln2)， , 2 3(1)nn，,ln2.2 3(1)nn，故( T,ln2n2 (一)主要知识: 1(等差数列与等比数列的求和公式的应用; 2(倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法: 1(求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2(求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3(转化思想的运用; 二(教学目标:1(熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2(能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3(熟记一些常用的数列的和的公式( 三(教学重点:特殊数列求和的方法( 四(教学过程: (一)主要知识: 1(等差数列与等比数列的求和公式的应用; 2(倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法: 1(求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2(求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3(转化思想的运用; (三)例题分析: 例1(求下列数列的前项和: Snn 11115n,(1)5，55，555，5555，…，，…; (2); ,,,,,(101) 132435(2)，，，，nn9123na,(3); (4); aaana,2,3,,,n nn，，1(5); (6)13,24,35,,(2),，，，，nn 2222( sin1sin2sin3sin89，，，， n个n个5S,，，，，555555555解:(1) ,，，，，(999999999)n9523n,,，,，,，，, [(101)(101)(101)(101)] 9550523nn,，，，，,,,,nn( [10101010](101) 9819 2 1111(2)?， ,,() nnnn(2)22，，111111111111?( S,,，,，,，，,[(1)()()()],，,,(1)nnn，23243522212nn，， 11nn，,(3)? ann,,,，,1n nnnnnn，，，，，,1(1)(1)111S,，，，? n ，，，，nn21321 ( ,,，,，，，,(21)(32)(1)nn,，,n11 23n(4)， Saaana,，，，，23n nn(1)， 当时，…， S,，，，123a,1，,nn 223n 当时，… ， a,1Saaa,，，，23，nan 234n，1…， aSaaa,，，，23，nan naa(1),，，1123nnn 两式相减得 …， (1),,，，，aSaaa，,,,ananan 1,ann，，21nanaa,，，(1)?( S,n2(1),a2(5)?， nnnn(2)2，,， nnn(1)(27)，，2222 ? 原式……( ,，，，(123，，，，，，n)2(123，n), 62222(6)设， S,，，，，sin1sin2sin3sin89 2222 又?， S,，，，，sin89sin88sin87sin1 89 ? ，( 289S,S, 265()nn,为奇数,例2(已知数列{}a的通项，求其前项和S( nnnna,n, 2()n为偶数,a,1解:奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列， 1 偶数项组成以a,4为首项，公比为4的等比数列; 2 n，1n,1当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项， n 22n，1n,1 (165)，,nn,124(14)(1)(32)4(21),，,,nn?， 2S,，,，nn21423, 当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， n2 nn(165)2，,nn4(14)(32)4(21),,,nn2?， S,，,，n21423, 3 n,1,(1)(32)4(21)nn，,,为奇数()n，,,所以，( 23S,,nnnn(32)4(21),,,为偶数()n，n,例3((《高考A计划》智能训练14题)数列的前项和，数列满{}a{}bnSppR,，,2()23,nnn足，若是等比数列， ba,log{}ann2n 222n,12*(1)求的值及通项;(2)求和…( paTbbb,,，()()()，,,(1)()()bnNnn123n(解答见教师用书127页) n,1(四)巩固练习:设数列的前项和为，则等于( ) SS1,(12),,(122),，，，，nnn nnn，12 ()A()B2,n()C2,n n，1 ()D22,,n A五(课后作业:《高考计划》考点22，智能训练2，4，5，12，15，16( 数列求和的常用方法(三课时) 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思 路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法: 一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. ()(1)naann，,1n2、 等差数列求和公式: Snad,,，1n22 (,1)naq,1,n,(1,)aaqaq,S2、等比数列求和公式: ,1n1n,(q,1),1,1,qq, nn112S,k,n(n，1)S,k,n(n，1)(2n，1)4、 4、 ,,nn62,1,1kk n132S,k,[n(n，1)]5、 ,n2,k1 例1(07高考山东18)设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和(已{}aS{}annnn知，且构成等差数列( S,7aaa，，334，，3123 (1)求数列的等差数列( {}an T(2)令求数列的前项和( ban,,ln12，，，，{}bnnn31，n 4 aaa，，,7，,123,解:(1)由已知得解得( a,2:,(3)(4)aa，，，213,3.a2,,2 2aaq,,，2 设数列的公比为，由，可得( a,2{}aq13n2q 22，，,227q又，可知，即， S,72520qq,，,3q 1qq,？,12，解得(由题意得( qq,,2，122 n,1(故数列的通项为( ？,a1{}aa,21nn 3n(2)由于由(1)得 ban,,ln12，，，，a,2，nn31，31n 3n ， 又 ？,,bnln23ln2bb,,3ln2nnn，1n 是等差数列( ？{}bn ？,，，，Tbbbnn12 nbb()，1n,2 n(3ln23ln2)，, 2 3(1)nn，,ln2.2 3(1)nn，故( T,ln2n2 S*nf(n),练习:设S,1+2+3+…+n，n?N,求的最大值. n(n，32)Sn，1 11 解:由等差数列求和公式得 ， (利S,n(n，1)S,(n，1)(n，2)nn，122 用常用公式) Snnf(n), ? , 2(n，32)Sn，34n，64n，1 111 ,, ,648502n，34，(n,)，50nn 5 18n, ? 当 ，即n,8时，() fn,max508 二、错位相减法 设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，,,,,,,babSannnnnn 均可用错位相减法。 nn，,1a例2(07高考天津理21)在数列中，，aaan,,，，,,2(2)2()，,,,N,,n11nn，其中( ,,0 a(?)求数列的通项公式; ,,n a(?)求数列的前项和; Sn,,nn nn，,1(?)解:由，， ,,0aan,，，,,,,,(2)2()Nnn，1 nn，1aa22,,,,nn，1可得， ,,,，1,,,,nn，1,,,,,,,, nn,,aa22,,,,,,nna所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列,,,,n1,,,,n,,,,n,,,,,,,,,,n,, nn的通项公式为( an,,，(1)2,n 2341nn,(?)解:设， ? Tnn,，，，，,，,,,,,,23(2)(1)n 3451nn， ? ,,,,,,Tnn,，，，，,，,23(2)(1)n ,,1当时，?式减去?式， 21n，,,,2311nnn，，(1)(1)(1)Tnn,,，，，,,,,,得， ,,,,,,n1,, 211212nnnn，，，，,,,,,,,,,,，(1)(1)nnnT,,,( n22(1)1(1),,,,,, nn，，212(1)nn,,，,,,n，1S,，,22a这时数列的前项和( n,,nn2(1),, nn(1),nn(1),n，1a,,1当时，(这时数列的前项和( nT,S,，,22,,nnn22 例3(07高考全国?文21)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且{}b{}ann ，， ab,,1ab，,21ab，,13113553 6 (?)求，的通项公式; {}b{}ann ,,an(?)求数列的前n项和( S,,nbn,, 4,1221，，,dq，,abq,0解:(?)设的公差为，的公比为，则依题意有且 dq,,,,,nn21413，，,dq，,, q,2解得，( d,2 所以， andn,，,,,1(1)21n nn,,11( bq,,2n a21n,n(?)( ,,1nb2n 352321nn,,，? S,，，，，，1n1221,,nn2222 52321nn,,，? 223S,，，，，，n,,32nn222 22221n,?,?得， S,，，，，，,22n221,,nn2222 11121n,,,,，，，，，，,221 ,,221nn,,2222,, 11,n,121n,2,，，,22 n,1121,2 23n，( ,,6n,12 三、逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) x2fx(),例4(07豫南五市二联理22.)设函数的图象上有两点P(x, y)、P(x, y)，111222x2，2 11若,且点P的横坐标为. OP,(OP，OP)1222 (I)求证:P点的纵坐标为定值，并求出这个定值; 123n*(II)若 S,f()，f()，f()，？，f(),n,N,求S;nnnnnn(III)略 7 11(I)?,且点P的横坐标为. OP,(OP，OP)1222 ，,1?P是的中点，且 xxPP1212 xxxx1221，，，22xx12，，，，222222，,，,yy12xx12x2，，22，2，22，2 42，xx21,，,1 ，，22xx2142，，，，22 ？,1yp fff，,,,1,122且，,1由(I)知， ，，，，，，xxxx1212 121nn,,,,,,,,,又,，，，，ffff1，，,,,,,,,,Snnnnn,,,,,,,,，(1)+(2)得: nn,121,,,,,,,,,，，，，ffff2，，,,,,,,,,Snnnnn,,,,,,,, ，,，，,，，，11221nnn,,,,,,,,,,,,211,，，，，，，，，ffffffff，，，，,,,,,,,,,,,,S,,,,,,nnnnnnn,,,,,,,,,,,,，，，，，， ,，，，，,，,21111322fn，， n，,322？,Sn2 四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解(裂项) 如: 111a,,,(1) nn(n，1)nn，1 2n(2)111(2) a,,，,1()nn,n，n,n，(21)(21)22121 1111a,,[,](3)等。 nn(n,1)(n，2)2n(n，1)(n，1)(n，2) 111,,,,,,,,,,例5 求数列的前n项和. 1，22，3n，n，1 1a,,n，1,n解:设 (裂项) nn，n，1 8 111S,，，,,,，则 (裂项求和) n1，22，3n，n，1 , (2,1)，(3,2)，,,,，(n，1,n) , n，1,1 yfx,()例6(06高考湖北卷理17)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为',yfx,()，数列的前n项和为，点均在函数的图像fxx()62,,{}aS(,)()nSnN,nnn 上。 的通项公式; (?)求数列{}an 1m,nN,(?)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的b,{}bTT,nnnnaa20nn，1 最小正整数m; 2解:(?)设这二次函数f(x),ax+bx (a?0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x,2,得 2a=3 , b=,2, 所以 f(x),3x,2x. 2,yfx,()又因为点均在函数的图像上，所以,3n,2n. (,)()nSnN,Snn 22当n?2时，a,S,S,(3n,2n),,,,6n,5. (3n,1),2(n,1)nnn,1 2,nN,当n,1时，a,S,3×1,2,6×1,5，所以，a,6n,5 () 11n 31113b(?)由(?)得知,,， ,(,)n,,(6n,5)6(n,1),5aa26n,56n，1nn，1 n11111111，，b(1,)，(,)，...，(,)故T,,,(1,). n,i,,77136n,56n，1226n，1，，i,1 1mm11,nN,因此，要使(1,)<()成立的m,必须且仅须满足?，即m?26n，12022010，所以满足要求的最小正整数m为10. n1评析:一般地，若数列,,为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和:a,naai,1ii，1 9 nnn11111n111,(,)首先考虑则=。下列求和:(,),,,,aadaaaadaaaaii,1,1i,1iiii，1，1ii，11n，11n，1n1 也可用裂项求和法。 ,a，a,1i，1ii 五、分组求和法 所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 ,例7数列{a}的前n项和，数列{b}满 . S,2a,1b,3,b,a，b(n,N)nn1n，1nnnn (?)证明数列{a}为等比数列;(?)求数列{b}的前n项和T nnn。 ,解析:(?)由， S,2a,1,n,N,？S,2a,1nnn，1n，1 ,两式相减得:， a,2a,2a,？a,2a,n,N.同a,1知a,0n，1n，1n11n，nn an，1 同定义知是首项为1，公比为2的等比数列. {a}？,2,nan n,1n,1n,1(?) a,2,b,2，bb,b,2,nn，1nn，1n 012 b,b,2,b,b,2,b,b,2,？213243 n,2 等式左、右两边分别相加得: b,b,2,nn,1 n,11,201n,2n,1 b,b，2，2，？，2,3，,2，2,n11,2 012n,1012n,1 ？T,(2，2)，(2，2)，(2，2)，？，(2，2),(2，2，2，？，2)，2nn n1,2n = ，2n,2，2n,1.1,2 222212n,nN, 例8求() Sn,,，,，，,1234(1)， 解:? 当为偶数时， n nn(1)，222222; Snnn,,，,，，,,,,，，，,,(12)(34)[(1)](12)2? 当为奇数时， n nn(1)1,2222222222Snnnnnnnn,,，,，，,,,，,,，，，,，,,，,，(12)(34)[(2)(1)][12(1)]()22 1n，1综上所述，( Snn,,，(1)(1)2 点评:分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和. 六、利用数列的通项求和 10 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. 例9 求1，11，111，,,,，111,,,1之和. ,,,n个1 11k111,,,1,，999,,,9,(10,1)解:由于 (找通,,,,,,,,99个1k个1k 项及特征) 1，11，111，,,,，111,,,1? ,,,n个1 1111123n, (10,1)，(10,1)，(10,1)，,,,，(10,1)9999(分组求和) 11123n(10，10，10，,,,，10),(1，1，1，,,,，1), ,,,,,,,99n个1 n110(101)n,,,, 91019, 1n，1, (10,10,9n)81 ,8a,,求(n，1)(a,a)例10 已知数列{a}:的值. n,nnn1，(n，1)(n，3)n1, 11n，a,a,n，,(1)()8(1)[]解:? (找通nn，1n，n，n，n，(1)(3)(2)(4)项及特征) 118,[，], (设制分组) (n，2)(n，4)(n，3)(n，4) 1111 ,4,(,)，8(,) (裂项) n，2n，4n，3n，4 ,,,1111n，a,a,,，,(1)()4()8()? (分组、裂项求和) ,,,nn1，n，n，n，n，2434n1n1n1,,, 1114,(，)，8, , 344 13 , 3 11