奥数之排列组合与概率【讲义】

奥数之排列组合与概率【讲义】 第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1(加法原理:做一件事有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有m种不同的12方法，„„，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m+m+„+m种不同的方法。 n12n2(乘法原理:做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有m种不同的方法，„„，12第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×mׄ×m种不同的方法。 n12n 3(排列与排列数:从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m?n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同 n!mm元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)„(n-m+1)=,其中m,n?N,m?n, AAnn(n,m)! 0n注:一般地=1，0～=1，=n!。 AAnn nAn4(N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。 n 5(组合与组合数:一般地，从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元 m素中取出m(m?n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示: Cn ,？,，n(n1)(nm1)n!m,,C. n,m!m!(nm)! nmn,mmmn,1k,1k6(组合数的基本性质:(1);(2);(3);(4)C,CC,C，CC,Cn,1nnnn,1nnk n01nknkkkk，1kmn,kC，C，？，C,C,2;(5);(6)。 C，C，？，C,CCC,C,nnnnkk,1k，mk，m，1nkn,m,0k n,17(定理1:不定方程x+x+„+x=r的正整数解的个数为。 C12nr,1 [证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x+x+„+x=r的正整数解12n构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x,x,„,x),将x作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,„,n，便得到A的一个装12ni 法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1 n,1个，将球分n份，共有种。故定理得证。 Cr,1 r推论1 不定方程x+x+„+x=r的非负整数解的个数为 C.12nn，r,1 推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数 m为C. n，m,1 0n1n,12n,22rn,rrnnn8(二项式定理:若n?N,则(a+b)=Ca，Cab，Cab，？，Cab，？Cb.其+nnnnn rn,rrr中第r+1项T=叫二项式系数。 Cab,Cr+1nn 9(随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件 mA发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0?n p(A)?1. 10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么 m事件A的概率为p(A)= .n 11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A，A，„，A彼12n此互斥，那么A，A，„，A中至少有一个发生的概率为 12n p(A+A+„+A)= p(A)+p(A)+„+p(A). 12n12n 12(对立事件:事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。由A定义知p(A)+p()=1. A 13(相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 14(相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A•B)=p(A)•p(B).若事件A，A，„，A相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A•A• „ 12n12•A)=p(A)•p(A)• „ •p(A). n12n 15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件 kkn-k恰好发生k次的概率为p(k)=•p(1-p). Cnn 17(离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,„,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x,x,„,x,„,ξ取每一个值x(i=1,2,„)的概率p(ξ=x)=p，12iiii则称表 ξ x x x „ x „ 123i p p p p „ p „ 123i为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=xp+xp+„+xp+„为ξ的数学期望或平均值、均值、1122nn 简称期望，称Dξ=(x-Eξ)2•p+(x-Eξ)2•p+„+(x-Eξ)2p+„为ξ的均方差，简称方差。叫随机D,1122nn 变量ξ的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差。 18(二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发 kkn,k生k次的概率为p(ξ=k)=, ξ的分布列为 Cpqn ξ 0 1 „ x „ N i 00n11n,1kkn,knnp „ „ CpqCpqCpqCpnnnn 此时称ξ服从二项分布，记作ξ,B(n,p).若ξ,B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试 1k-1验中该事件发生的概率为p，则p(ξ=k)=qp(k=1,2,„)，ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξpq=(q=1-p). 2p 二、方法与例题 1(乘法原理。 例1 有2n个人参加收发电报 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 ，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式, [解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则;这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，„„这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有 (2n)!(2n-1)×(2n-3)ׄ×3×1= .n,2(n!) 2(加法原理。 例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种, 2[解] 断路共分4类:1)一个电阻断路，有1种可能，只能是R;2)有2个电阻断路，有-1=5种可C44 3能;3)3个电阻断路，有=4种;4)有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。 C4 3(插空法。 例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式, 6[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个A6 464安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。 A，AA767 4(映射法。 例4 如果从1，2，„，14中，按从小到大的顺序取出a,a,a使同时满足:a-a?3,a-a?3，那么所有1232132符合要求的不同取法有多少种, [解] 设S={1,2,„,14}，={1，2，„，10};T={(a,a,a)| a,a,a?S,a-a?3,a-a?S'1231232132 ''''''''''''3},T'={()?},若，令S'|a,a,a,S',a,a,a(a,a,a),T'a,a,a123123123123 '''，则(a,a,a)?T,这样就建立了从T'到T的映射，它显然是单射，a,a,a,a，2,a,a，4123112233 ''''''其次若(a,a,a)?T,令，则，从而此映射也是a,a,a,a,2,a,a,4(a,a,a),T'123112233123 3满射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120种。 |T'|,C10 5(贡献法。 例5 已知集合A={1，2，3，„，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。 99[解] 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有2个，所以a对x的贡献为2，又|A|=10。 9所以x=10×2. k[另解] A的k元子集共有个，k=1,2,„,10，因此，A的子集的元素个数之和为C10 1210019910×2。 C，2C，？，10C,10(C，C，？，C),101010999 6(容斥原理。 例6 由数字1，2，3组成n位数(n?3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问:这样的n位数有多少个, n123[解] 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3，用A，A，A分别表示不含1，不含2，不含3 n，2，3组成的n位数的集合，则|A|=|A|=|A|=2，|AA|=|AA|=|AA|=1。|AAA|=0。 的由1:::::123122313123 3n所以由容斥原理|AAA|==3×2-3.所以满足条件::|A|,|A:A|，|A:A:A|123,,iij123i,i,j1 nn的n位数有|I|-|AAA|=3-3×2+3个。 ::123 7(递推方法。 例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问:能构造出多少个这样的n位数, [解] 设能构造a个符合要求的n位数，则a=3，由乘法原理知a=3×3-1=8.当n?3时:1)如果n位数n12 的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2a;2)如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是n-1 22或3，这样的n位数有2a，所以a=2(a+a)(n?3).这里数列{a}的特征方程为x=2x+2，它的两根为n-2nn-1n-2n 2332，,nn,x=1+,x=1-,故a=c(1+)+ c(1+),由a=3,a=8得，所3333c,c,12n1212122323 1n，2n，2以a,[(1，3),(1,3)]. n43 8(算两次。 r0r1r,12r,2r0例8 m,n,r?N，证明: ? C,CC，CC，CC，？，CC.+n，mnmnmnmnm r[证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种;另一方面，从这n+m人中选出k位太太与C，nm kr,kr-k位先生的方法有种，k=0,1,„,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有CCnm 0r1r,1r0种。综合两个方面，即得?式。 CC，CC，？，CCnmnmnm 9(母函数。 例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，„，10，另有大、小王各一张，编号均 k为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值:每张编号为k的牌计为2分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 022[解] 对于n?{1,2,„,2004},用a表示分值之和为n的牌组的数目，则a等于函数f(x)=(1+)•xnn 110011222233n(1+)••••„•(1+)的展开式中x的系数(约定|x|<1)，由于f(x)=[ (1+)(1+)•„xxxx1，x 1011111122233 3•(1+)]==。 (1,x)(1,x)x223(1，x)(1,x)(1,x)(1,x) 111n而0?2004<2，所以a等于的展开式中x的系数，又由于n22(1,x)(1,x) 1112322k2k=•=(1+x+x+„+x2k+„)[1+2x+3x+„+(2k+1)x+„],所以x在展22221,x(1,x)(1,x)(1,x) 22开式中的系数为a=1+3+5++(2k+1)=(k+1),k=1,2,„,从而，所求的“好牌”组的个数为a=1003=1006009. 2k2004 k10(组合数的性质。 Cn k是奇数(k?1). 例10 证明:Cm2,1 mmmmmm,,,,k，,,,k(21)(22)？(211)21222k[证明] =令C,,,,,？m2,1,,,kk12？12 tmt,miimpp2,22,i2,tiiii=2•p(1?i?k)，p为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，,,iitiipp2ii k因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。 Cm2,1 nnn例11 对n?2,证明: 2,C,4.2n k222kk[证明] 1)当n=2时，2<=6<4;2)假设n=k时，有2<<4,当n=k+1时，因为CC24k [2(k，1)]!2，(2k，1)!2(2k，1)k1k，C,,,,C. 2(k1)2k，(k，1)!(k，1)!(k，1)!,k!k，1 2(2k，1)kk，1kk，1k+12,又<4，所以2<. 2C,C,4C,42k2(k，1)2kk，1 所以结论对一切n?2成立。 11(二项式定理的应用。 n1,,例12 若n?N, n?2，求证:2,1，,3. ,,n,, n1111,,012nCCC？C[证明] 首先1，,，,，,，，,,2,其次因为,,nnnn2nnnnn,, n1n(n,1)(n,k，1)11111？,,kC,,,,,,(k,2)1，所以，, ,,nkknk!k(k,1)k,1knn,k!,, 1111111112n2+得证。 C,，？，C,,2，,，,，？，,,3,,3.nn2n1223n,1nnnn nm,hhm，1例13 证明: C,C,C(h,m,n).,n,kkn，1k,0 m,hn-k[证明] 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是(1+x)的展Cn,k hm,hhm-hkkn-kk开式中x的系数。是(1+y)的展开式中y的系数。从而•就是(1+x)•(1+y)的展开式中CCCkkn,k m-hhxy的系数。 nn,,mhhnkkm-hh于是，就是展开式中xy的系数。 C,C(1，x)(1，y),,,nkk,0,0kk n，1n，1kkkkCx,Cy,,n，1n，1n，1n，1n(1，x),(1，y),nkkk,0k,0另一方面，== (1，x)(1，y),,(1，x),(1，y)x,y,0k kkn，1n，1x,ykkkm，1k-1k-2k-1m-hh•=(x+xy+„+y)，上式中，xy项的系数恰为。 CxCC,,n，1n，1n，1x,yk,0k,0 nm,hhm，1所以 C,C,C.,n,kkn，1k,0 12(概率问题的解法。 例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问:恰好有k件是次品的概率是多少, n[解] 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)(即所有的可 kkn-k能结果)。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数为•ab，Cn kknk,Cabn故所求的概率为p(A)= .na，b() 例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 [解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为 1kk223145-k(1-p)(k=0,1,2,„,5)，由题设，且0 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 下，甲获胜的可能性大, [解] (1)如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜:A—2:0(甲净胜二局)，A—2:1(前二12 1局甲一胜一负，第三局甲胜). p(A)=0.6×0.6=0.36,p(A)=×0.6×0.4×0.6=0.288. C212 因为A与A互斥，所以甲胜概率为p(A+A)=0.648. 1212 2(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜:B—3:0(甲净胜3局)，B—3:1(前3局甲2胜1 1负，第四局甲胜)，B—3:2(前四局各胜2局，第五局甲胜)。因为B，B，B互斥，所以甲胜概率为3122 223222p(B+B+B)=p(B)+p(B)+p(B)=0.6+×0.6×0.4×0.6+×0.6×0.4×0.6=0.68256. CC12312334 由(1)，(2)可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。 例17 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2;B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求:(1)取出3张卡片都写0的概率;(2)取出的3张卡片数字之积是4的概率;(3)取出的3张卡片数字之积的数学期望。 1211112C,C，C,C,CC,C412231214[解](1);(2);(3)记ξ为取出的3张卡p,,p,,12122163C,CC,C6767 片的数字之积，则ξ的分布为 ξ 0 2 4 8 37241p 42636342 3724132所以 E,,0，，2，，4，，8，,.4263634263 三、基础训练题 1(三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。 2(在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 2，3，„，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。 3(用1， 4(10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。 5(以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 10006(今天是星期二，再过10天是星期_________。 10037(由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。 (3x，2) 8(如果凸n边形(n?4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。 9(袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球(不放回)，第k(1?k?a+b)次取到黑球的概率为_________。 10(一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，„，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。 11(某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。 12(马路上有编号为1，2，3，„，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。 13(a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。 iiiinm14(已知i,m,n是正整数，且1(1+n). nA,mAmn n15.一项“过关游戏” 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 :在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2，则算过关。问:(1)某人在这项游戏中最多能过几关,(2)他连过前三关的概率是多少,(注:骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体) 四、高考水平训练题 1(若n?{1,2,„,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。 22(从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3(四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。 4(三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。 5(一条铁路原有m个车站(含起点，终点)，新增加n个车站(n>1)，客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。 n,,16(将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数,x，,,,42x,, 是整数的项有_________个。 7(从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。 58(二项式(x-2)的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。 9(有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒,(颠倒后相同的算同一种) 10(在1，2，„，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。 111(投掷一次骰子，出现点数1，2，3，„，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率6 为_________。 12(某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m(m?n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。 13(某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷),(粮食单产总产量=) 耕地面积 五、联赛一试水平训练题 1(若0 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。 7(如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a?b,b?c,c?d, d?a;且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数的个数为_________。 abcd 8(如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a,a,a,„,123若a=2005，则a=_________。 nn 21n,nk,1k,9(求值:=_________。 (,1),kC1k,2n 110(投掷一次骰子，出现点数1，2，„，6的概率均为，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为6 _________。 11(将编号为1，2，„，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求S达到最小值的放法的概率(注:如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法)。 12(甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(01为固定的正整数;(3)存在h,1?h?k-1，使得?m+1. j,jh+100h,1h00 SSS11nm124.设,其中S，S，„，S都是正整数且S