一类符号模式矩阵蕴含稳定性的刻划

一类符号模式矩阵蕴含稳定性的刻划 一类符号模式矩阵蕴含稳定性的刻划 2009年8月 第15卷第3期 安庆师范学院(自然科学版) JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScienceEdition) Aug,2009 VOI.15NO3 一 类符号模式矩阵蕴含稳定性的刻划 陈候炎 (湛江师范学院基础教育学院,广东湛江524300) 摘要:蕴含稳定的符号模式的刻划问题至今尚未找到有效的解决方法.本文用组合的方法,讨论并给出一类特 殊符号模式矩阵蕴含稳定的刻划. 关键词:矩阵;符号模式矩阵}蕴含稳定性 中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1007—4260(2009)03—0025--02 0引言 一 个实数的符号定义为 若n>0; 若n<0; 若口一0. 符号模式矩阵是指取自集合{1,一1,0)的矩阵.对于给定的实矩阵A:=:(口),由口的符号signa为 元素所组成的符号模式矩阵(signa),称为A的符号模式,记为signA.称Q(A)一{B—Eb]?M(R) , Isignb,一signa?Vi,J一1,2,…,)为由A所决定的定性矩阵类,记为Q(A). 设B是一个阶实矩阵,称B是稳定的,若B的所有特征值都具有负实部.设A为n阶方阵,若对于 任意B?Q(A),B都是稳定的,则称A是符号稳定的.若存在B?Q(A),使B是稳定的,则称A是蕴含 稳定的. 设A一(口),B一()都是阶符号模式矩阵,如果当b?0时一b即B是把A的某些非零 元用零代替后所得符号模式矩阵,则称B是A的子模式. 对于符号矩阵的符号稳定问题已经得到很好的刻划_1],但对于蕴含稳定的符号模式的刻划问题至 今尚未找到有效的解决方法r2]. 本文将讨论以下一类特殊符号模式矩阵的蕴含稳定性. A== 其中,口?0,bj?0,q?0,i一1,2,…,;J一1,2,…,一1. 1几个引理 引理1[3设B是阶符号模式矩阵A的子模式,若B蕴含稳定,则A也蕴含稳定.一个对角元全非 零的对角符号模式矩阵称为一个符号差矩阵.对于一个,z阶符号模式矩阵A一(.),若n?0当且仅当 口?0,则称A是组合对称的.进一步,当A一(口)是组合对称时,若对任意i?,有口n?0,则称A 是对称符号模式. * 收稿日期:2009—03—24 基金项目:湛师基教院科研基金(200439),湛师基教院教学名师专项基金资助. 作者简介:陈候炎,男,广东湛江人,湛江师范学院基础教育学院高级讲师,硕士. 1 1 一O,????,,???L 一 口 n g ooo, o0o, 一一一 . 一一一 .如吼,0O ,Oo mo—oo ? 26?安庆师范学院(自然科学版)2009年 引理2对任意阶符号差矩阵s,形如(1)的矩阵A蕴含稳定,当且仅当sAs蕴含稳定. 证明当s是符号差矩阵时,若B?Q(A),则sBs?Q(SAS),显然,B和sBs具有相同的特征多 项式和特征值,故A蕴含稳定当且仅当sAs蕴含稳定. 引理3"设A是阶实矩阵,若A的任意忌阶顺序主子式A[{1,2,…,愚}]满足条件: signdetA[{1,2,…,是)]一(--1)(一1,2,…,n) 则存在一个对角元全正的实对角矩阵D,使得DA是稳定矩阵. 引理4[5]设B是一个愚阶蕴含稳定的符号模式矩阵,Bz是一个z阶对角元全负的符号差矩阵,则 rB1B] 如下(+z)阶符号模式矩阵A—l一l必蕴含稳定.LB 42 引理5设B.,B,…,B分别是s个足,忌z,…,愚阶蕴含稳定的符号模式矩阵,则如下(+愚+… +)阶符号模式矩阵必蕴含稳定A= 证明显然,N-号模式矩阵.B=diag(B,B,…,B)是蕴含稳定的,由引理1知,A也蕴含稳定. 2主要结论 定理1设A是形如(1)且对角线元全负的阶对称模式矩阵,则A蕴含稳定. 证明显然,符号模式矩阵B—diag(一1,一1,…,一1)是蕴含稳定的,再由引理1知,A也蕴含稳 定. 推论1设B是一个阶蕴含稳定的符号模式矩阵,B是一个z阶对角元全负的对称模式矩阵,则 rB1B] 如下+阶符号模式矩阵A===lB:BJ必蕴含稳定. 证明由引理4和定理1不难得到证明. 推论2对角元全负的符号模式矩阵必蕴含稳定. 证明是显而易见的. 定理2设'A是形如(1)的矩阵,且满足以下条件(1)n—一1;(2)a.一1,i一2,3,…,; (3)sign(bC)一一1,i一1,2,…,n一1,则A蕴含稳定. 证明对于形如(1)且满足3个条件的矩阵A,则a一一1;a一1,i一2,3,…,;sign(bC)一一1, i一1,2,…,一1.由引理2,不妨令b一1,i一1,2,…,一1.取B一(6)?Q(A),令b11一一1,b一 1,i一2,3,…,;b一一2,b+1—1,i一1,2,…,一1,其余元素为0,则detBE{1,2,…,愚)]一det~[{1, 2,…,忌一1)]+2detB[{1,2,…,愚一2}],detB[{1)]一一1,detB[{1,2}]一1.易见signdetB[{1,2,…, 忌)]一(一1),一1,2,…,,由引理3,存在对角元全正的对角矩阵D,使得DB稳定,而加?Q(A),所 以A是蕴含稳定的. 定理3设A是形如(1)的符号模式矩阵,且满足以下条件:(1)a一一1;(2)sign(a~+1bC) 一一1, i一1,2,…,一1,则A蕴含稳定. 证明情形1若口一一1,i一1,2,…,n,则由推论1,A蕴含稳定. 情形2若A的主对角元不全为负,不难沿主对角线把A进行分块为: 其中,B(一1,2,…,s)是这样的符号矩阵——主对角元属于且只属于下列两种情形 之一: r_1* I*一1 (i)I I** * * ??? 一 1 (ii) —— 1*… *1…* 显然,无论属于哪一种情形,B(一1,2,…,s)都是蕴含稳定的,由引理5可知A蕴含稳 定. (下转第29页) *** —...............,............. L AA?B 一 , = A 第3期章军,崔顺:N一环的强正则性?29? 参考文献: [1]吴俊,殷晓斌.N一环Von,Neumann正则性[J].数学研究与评论,2001,21(2):261--272. [2]张东东.右内射的推广[D1.浙江师范大学硕士学位论文,2001. [33章聚乐,胡卫群.每个本质左理想是幂等的MERT环[J1.数学年刊,1994,15A(2):204—207. [4]杜先能,章聚乐.MERT右V一环是V0n—Neumann正则环[J].科学通报,1994,39(17):1629. Es]张芳.GP一内射环与V_on—Neumann强正则环[J].南昌大学:理科版,2005,29(1):32—34. [6]李刘文,肖光世.GP—V一环与SF环的正则性01.成都信息工程学院,2007,22(6):776—779. [73赵良.关于广义拟duo一环与广义MELT(MERT)一环[J].西北师范大学,2005,41(1):16—18,24. [81ZHAOYu—e,DUXian--neng.OnQuasiinjectiveModules[J~.大学数学,2005,21(3):38—4l_ StrongRegularityofN—rings ZHANGJun,CUIShun (CollegeofMathematicsandComputerScience,AnhuiNormalUniversity,Wuhu241000,C hina) Abstract:LetRbearing.Inthispapertwemainlyprovethefollowingequivalentpropositions: (1)Risastrongly regularring;(2)Risasemieommuative,generalizedMERT,rightGP—V—ring;(3)RisaN一,generalizedMERT, rightGP—V—ring;(4)RisaN一,reducedrightpm一(GP一)iniectivering;(5)RisaN--,rightnonsingularright 一 (GP一)iniectivering;(6)RisaN一,semiprimitiverightpm一(GP 一)injectivering;(7)RisaN一,semiprimeright pm一(GP,)injectivering;(8)RisaN一,regularright铆一(6P,)injeetivering. Keywords:N—ring,加,injectivering,GP—injectivering,GP—V—ring (上接第26页) 参考文献: [11JeffriesC,KleeV,VanDenDriesseheP.Whenisamatrixsignstable?[J].Can.J.Math. [2]高玉斌.星符号模式的嵌套蕴含稳定性[J].华北工学院,2003(24):399--402. [3]CRJohnsonandTASummers.Thepotentiallystabletreesignpatternsfordimensions l989(126):1—13. ,1977(29):315—326 lessthanfive[J].LinearAlbgebraAppl, [43CSBallantine.Stabilizationbyadiagonalmatrix[J1.Proc.Amer.Math.Soc.,1970(25):729—734 [51康玉林,陶煌.一类符号模式矩阵的蕴含稳定性[I1.电力,2002(17):166—179. CharacterizationofPotentialStabilityofaClassofSignPatternMatrixes CHENHou..yan (BasicEducationcollegeofZha~iangNormalUniversity,Zhanjiang524300,China) Abstract:Nobodyfindsaneffectivesolutiontocharacterigethepotentialstabilityofsignpatternmatrixes.Inthispa- per,wediscussandcharacterigepotentialstabilityofoneclassofsignpatternmatricesbythemethodofcombinatorial mathematics. Keywords:matrix,signpatternmatrix,potentialstability