高中数学教学设计与反思

高中数学教学设计与反思 我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场～ 老师们都知道，素质教育要落实在课堂上，课堂是我们实行数学新课程的主战场，做好教学设计是我们整个高中数学新课程推进的一个关键点。那么，怎样才能做好数学的教学设计呢,我们问过一些老师，大家感觉有些疑惑，比如说有的老师们认为:教学设计是不是就是备备课，写好一个 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 、做一个课件，是不是这样,我们想听听来自江苏的老师怎么看这个问题, 罗强:我来谈谈自己对教学设计理论的学习和实践过程中的一些体会。以前我们在教学实践中往往把教学设计变成一种简单的教案设计，但实际上这只是一种经验型的教学设计，没有上升为科学型的教学设计。其实，国际上对教学设计的研究已经进行多年，提出了许多思想、理论、案例，教学设计已经成为一个独立的研究领域。 教学设计理论的发展基本上经历了两个阶段:第一个阶段是突出以“教的传递策略”为中心来进行教学设计的传统教学设计理论，它更接近 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学，遵循设计的 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 和程序，强调目标递进和按部就班的系统操作过程，其特点是注重目标细化，注重分层要求，注重教学内容各要素的协调。就好像我们要造一幢房子，先要把这幢房子的图纸设计出来，然后再设计一个施工的蓝图，教学就是按照这样的设计来进行实施的一个过程。 第二个阶段是突出以“学的组织方式”为中心来进行教学设计的现代教学设计理论，它的基础是信息加工理论与建构主义的学习理论，现代教学设计理论强调依据学习任务类型(如认知、情感与心理动作等)来选择教学策略，强调以问题为中心，营造一个能激活学生原有知识经验，有利于新知识建构的学习环境。其特点是问题与环境，强调创设情境，提出问题，营造问题解决的环境，突出学生的自主学习和自主探究。 按照新的教学设计的理论，我们应该以学为中心来进行教学设计，简单的说就是——为学习而设计教学～打个比喻，就是说我们教师好比是导游，带着学生去一个新的景点旅游，那么在这个过程中间，教学设计就是设计这么一个导游图，让学生在参观各个景点的过程中，经历学习这些知识的一种过程。 按照为学习而设计教学的理念，我觉得在教学设计时要考虑三条线索，这样实际上也就构成了教学设计的一种三维结构。第一条线索就是一种数学知识线索。因为教师进行的是学科教学;第二个线索是学生的认知线索。因为学习的主体是学生;第三个线索就是教师的教学组织线索，因为教学过程是通过教师的组织来实现的。比如第一条线索——数学知识，我觉得数学知识实际有三个形态:一是自然形态，它既存在于客观世界中间，实际上也存在于学生的头脑中间;二是学术形态，它是作为数学学科的一种知识体系而存在。那么，我们的教学就是要在数学的自然形态和学术形态的中间架一座桥梁，这座桥梁就是数学的教育形态。因此，我觉得教学设计的本质就是设计好数学的教育形态，教学设计的过程实际上就是构建数学教育形态的一个过程。 通过对教学设计理论的学习，并在实践中反思和总结，我的体会很深。有一位美国学者兰达曾经说过:教学设计是使天才能够做到的事一般人也能去做。我想对教学设计理论的学习是一个大家都要努力的目标。 张思明:刚才罗强老师从理论上分析了什么是教学设计,教学设计应该关注哪些问题,下面我们请刘华老师帮我们分析一下:在你们实验区和老师接触的实践中，你感觉到老师们在教学设计中存在着哪些主要问题, 刘华:我想解剖一个由职初教师，就是刚刚工作的青年教师所提供的一个教学案例。 我先简单介绍一下他的教学设计。这是高一函数单调性的一节起始课，在教学设计中，这个职初教师首先明确了这节课的三维目标，然后他提出了两个生活中的情境，一个情境是生活中的气温图;第二个情境是股票的价格走势图，然后引入新课。接着把函数单调性的概念介绍给学生，紧接着进入了例题讲解阶段，最后是有两个思考题。 我觉得这个教学设计大致存在这样四点比较普遍的问题: 第一个问题就是这位教师在确定课程目标的时候，比较机械地套用了新课程的理念，按照“知识技能，方法与过程，情感、态度、价值观”这样的三维目标来叙述他的本节课目标。在这些目标中，知识与技能的目标还是比较实在的，但“过程与方法”的目标以及“情感、态度、价值观”的目标就比较空洞，流于形式。其实，这位老师对教学目标并没有做深入的分析，这样的教学目标只是一个标签而已，这是第一个问题。 第二个问题是问题情境的设计。好的情境应当是兼顾生活化与数学化，股票的价格走势图这个情境离学生的生活太远，其中还包含了许多股票方面的专门知识，对函数单调性这个数学概念的反映也不够准确，作为本课的情境，不太恰当。 第三个问题就是在情境到数学概念的产生过程中，应当让学生充分体验或参与数学化的探索过程，从而建构起函数单调性这一概念。我们看到在这位教师的设计当中，他忽略了学生活动，尤其是学生思维活动这样一个环节，而是直接把概念抛给了学生。我们认为学生在数学学习中，“过程”相对来说比仅仅接受概念这个“结果”更为重要。 最后一个问题就是我们发现有很多老师认为数学教学设计主要就是习题的设计，这位教师本节课的例题、习题量非常多，而且对这些习题的要求他存在着一步到位的倾向，尤其是他最后抛出来的含字母的函数单调性的探索这个问题，我们觉得在新授课当中这个习题的要求太高了。我觉得老师们在教学设计中主要存在这样几点问题。 张思明:刘华老师谈了一个单调性的案例，对一个新教师的案例做了一个分析，分析出了我们老师在教学设计中常常出现的一些问题。那么面对这样一些问题，我们应该怎么办,我们就以这个案例为出发点，请罗强老师对函数单调性这个课题做了一个分析和再创造的工作，在这个工作中我们可以看到如何通过教师自己的再学习、再认识，设计出一个更好、更适用于学生的教学设计。我们来看一下罗强老师的说课录像。 罗强老师的说课:各位老师大家好，我向大家汇报一下我对函数单调性的教学设计。 首先谈一下我对教学设计的认识。我觉得教学设计的根本目的是创设一个有效的教学系统，这样的教学系统不是随意出现的而是教师精心创设的，没有有效的教学设计就不可能保证教学的效果和质量。教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。 教学设计的首要任务就是明确教学目标，实际上教学目标是教学设计的灵魂和统帅，将指引后续教学设计的方向，决定后续教学设计的具体工作。在制定教学目标的时候，我觉得要把握以下几点: 第一，把握教学要求，不求一步到位。函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段:第一个阶段是用运算的性质研究单调性，知道它的变化趋势;第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢。那么高一我们是处在第一个阶段。 第二，明确知识目标，落实隐性目标。知识目标往往就是教学的显性目标，确定知识目标的关键在于分清主次轻重，把握好教学要求。根据课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面:一是理解函数单调性的概念;二是掌握判断函数单调性的方法;三是会用定义证明一些简单函数在某个区间上的单调性。另外这节课的隐性目标我觉得也很重要，因为函数单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观特征到自然语言描述再到数学符号的描述的进化过程，反映了数学的理性思维和理性精神。对高一学生来讲它是一个很有价值的数学教育载体和契机。因此这节课的隐性目标应该包括让学生体验数学知识的发生发展过程，学会数学概念符号化的建构过程。 根据刚才的分析，我把教学流程分成了三个阶段:第一个阶段是进行函数单调性概念的数学化过程;第二个阶段是从不同的角度帮助学生深入理解函数单调性的概念;第三个阶段是让学生学会判断，并用函数单调性的定义证明函数的单调性。 第一阶段的教学流程分成三个教学环节。第一，问题情境;第二，温故知新;第三，建构概念。具体如下: 先是创设问题情境。由老师和学生一起举出生活中描绘上升或者下降的变化规律的成语。老师可以启发一下，先说一个“蒸蒸日上”，然后和学生一起举出比如“每况愈下”，“波澜起伏”这样三种描绘不同变化的成语。然后请学生根据上述成语，给出一个函数，并在平面直角坐标系中绘制相应的函数图象。这样设计的意图是让学生结合生活体验用朴素的生活语言描绘变化规律，体会如何将文字语言转化为图形语言。 接下来是温故知新。在刚才学生绘制出的三个函数图象的基础上，我请学生观察它们变化的趋势。在刚才学生绘制的三个函数图象的基础上，再请学生用初中的语言来叙述什么叫图象呈逐渐上升的趋势，也就是“函数值随着 的增大而增大”。这样设计的意图是让学生对照绘制的函数图象，用自然语言描述函数的变化规律，重温初中函数单调性的描述定义 张思明:刚才我们看到了时骏老师的说课，下面我们来听一听嘉宾对这个说课的分析。 罗强:我还是要强调教学设计一定要注意为学习而设计教学。还是拿我刚才的这个比喻，就是教师带学生去旅游。既然是带学生去旅游，首先就要考虑我要带学生到什么地方去,然后需要考虑我怎么才能够带学生到达这个地方,然后我要确定学生是不是真的到达了这个地方,还要注意的是，作为教学的一种延 伸，我觉得还应该让学生有兴趣、有能力继续他自己的旅程。我觉得这是我们教学设计要做的主要工作。 张思明:通过以上几个案例，我想老师们对于如何做教学设计有了一个初步的认识。怎样做好教学设计呢,我们也想听一听在教育指导部门的老师的一些想法，我们特别采访了江苏省教研室的董林伟主任，我们来听一听董主任关于教学设计的思考和认识。 董主任:关于设计这两个词大家应该都非常的熟悉。当人们要从事一项有目的的活动的时候，事先都要有一些设想，要进行一些规划，要进行一些设计。作为我们教学工作者来说，在开始我们的教学活动之前，我们的老师都必须做一项非常重要的工作，那就是教学设计。今天我要谈的就是关于教学设计的话题。 我想就三个方面来谈谈我的一些基本想法。第一，我想先谈谈什么叫教学设计,第二，谈谈我们在教学设计过程中应该来设计一些什么,第三，在设计的过程当中我们要注意哪几点,下面我想简要的把这三个方面跟大家做一个交流。 一、关于什么叫教学设计,所谓的教学设计就是用系统的方法对各种课程资源进行有机的整合，对教学过程中相互联系的各个部分作出整体安排的一种构想。它是一种构想，是一种整体的安排，是我们教师为将来进行的教学勾画的一些图景，它反映了我们的教师对自己未来教学的一种认识和期望。如果通俗一点来说，那么所谓的教学设计可以这样来理解，就是:你要把学生带到哪里去,你怎样把学生带到那里去,你这样做能把学生带到那里去吗, 二、在教学设计过程当中我们应该关注些什么，就是说设计一些什么, 首先，我们必须明确我们的教学目标，教学目标是我们教学根本的指向与核心的任务，是教学设计的关键。教学的目标是教学中师生所预期达到的一种教学效果和标准，因此，明确教学目标就是要明确你要把学生带到哪里去。在确定教学目标的时候，我们要关注以下的几点:第一，整体性。就是要注意这部分内容在整个高中阶段数学教学中的联系，以达到教学的一种连贯性，要正确处理好我们的近期的目标跟远期目标的相互关系。第二，在我们明确目标的时候，要关注它的全面性。新课程对数学教学的目标提出了新的一种要求，三维目标在关注知识结果的同时，更注重对过程目标的关注和对学习者——学生的关注，更关注学生获取数学知识的过程以及在学习中的经历、感受和体验。因此，教师在设计数学教学目标时，应特别注意关注新课程所提出的过程性目标。第三，我们要关注目标的现实性。确定教学目标时，应当注意它与所授课任务的实质性联系，以避免目标空洞、无法落实。我们在设计教学目标时，常见的一种状况是目标过分的大，过分的空洞，那么在落实过程中，就难以达到预设的目标。 其次，我们在教学设计中要非常关注学生，要了解学生。我想，以下几个方面，至少老师在教学设计过程中应该心中有数。 第一，在数学方面学生以前做过什么,他在数学活动或者是在数学实验方面，曾经做过什么,这里我们实际上要关注的是学生的活动经验。 第二，不同的学生在思维方式上会有什么不同。实际上就是要在教学中关注我所授课的学生的特点，关注我班学生的构成，班级当中不同群体的学生在思维方面有些什么样的不同。 第三，要初步确定课堂的组织形式，就是说我这一堂课是整个班级一起学习，还是将学生分成若干个组来活动，甚至于是一种个体性的活动，包括开展一些个体性的实验活动，包括自主学习的一种活动方式。组织形式上还要关注这堂 课需要利用什么模型,是否需要做适当的课件,或者准备一些相关的硬件设施。这也是我们在确定课堂组织形式是所必须要关注的。 第四，要勾勒教学的一种顺序。这个顺序当中主要包括这样几点:第一点，应当怎样提出主题，通俗一点讲就是问题情境的创设。关于问题情境的创设，我们在相关的专题中也都提到它的重要性和一些要求。我们在勾勒教学顺序的时候，首先要关注的是怎样提出主题，这个主题应该是跟学生接近的，又要能够引起他的兴趣，又要围绕着我们的教学主题的，而且能够使得学生迅速的进入学习活动中。第二点，就是要关注是否需要复习以前的相关知识。一堂课的教学它往往不是独立的，而是有前后联系的，因此需要考虑我在这堂课教学中是否需要复习相关的知识,第三点，当学生对材料产生争论的时候，你准备提出怎样的探索性问题。当我们提出问题以后学生可能会产生什么样的一种思考，可能会产生一种什么样的争论,我们要了解这些争论的思维的背景，需要进行正确的引导，那么你就必须要设计好一些问题串，来引导学生围绕主题展开探索。第四点，我们在设计教学程序的过程中要关注一下我们使用的材料，我们的课本提出了什么样的观点，使用什么样课外的材料来帮助我们的教学。第五点，要根据学生对主题的掌握程度，准备几个可以供选择的，课堂当中要自主完成的练习，或者是课后要完成家庭作业。这些是勾勒我们整个教学流程的一些关键程序。 三、教学设计中我们应该注意的方面。教学设计永远只是教学过程的一种预期，实际的教学活动则永远是一个谜。我们老师都有经验，同样的一个课题，同一个老师的备课，他在不同班的授课过程中都会产生不同的教学流程、教学效果。因为我们所面对的学生是不同的，是在变化的，我们的教学生成是变化的，只有当这堂课教学完成了，我们才能知道这堂课最后的结果。所以前面的教学设计只是一种预期，我们的教学设计就是要关注这样的一种变化。 因此，教学设计首先要注意它的整体性，就是说我们的教学设计不是一种片断，是一种整体的设计，它不是写在我们纸上的一种文本，而是我们教师对自己和学生所持的一种整体性的目标。其次，要注意它的可变性，没有一件事情是丝毫不差地按照 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 进行的。学生的思维可能还停留在你认为根本不重要的问题上，他们还会以你几乎不能想象的方式来理解某些概念。当活动过程受到影响时，你必须放弃你原来的教学计划，运用你对学生已有的知识的了解和更宏观的数学教学目标，去指导你的教学行动，也就是说要产生一些生成的问题。第三，要注意它创造性。我们的教师很大程度上会依赖于教材或教学参考书，以确保他们的数学教学内容符合一个内部连贯的发展框架。这种依赖有一定的好处，它能够使得我们的教学设计能够围绕着我们课程的设计来进行，但是同时也存在一些问题，就是说毕竟教材是我们课程的一种呈现，跟教学的呈现还是有着本质差别的。我们的教学设计应该是一种流动的过程，应该适合我们的学生，就像设计师设计的服装要符合你所设计的群体的特点和要求，如果考虑到个体，就要符合他的气质，符合他的整体形象。我们的教学设计也是这样，我想每个人都应该有个人设计的一种思考和魅力。 刚才谈到这几点仅供我们老师做一种参考。 完整的说课资料请看拓展阅读材料:4(关于教学设计的一些认识，江苏省中小学教研室，董林伟。 张思明:各位老师，我们这一讲把教学设计中存在的问题通过几个案例给大家做了一个初步的展示。我想教学设计中的问题是一个教学实践过程中产生的问 题，我们每一个老师都有自己的设计理念，都有自己设计成功或者不如意甚至失败的地方。我们希望研讨是一个互动的过程，我们真诚的期待着老师们把您们在教学设计中遇到的问题和成功的经验寄给我们，我们一起来研讨。那么这一讲就到这里，谢谢老师们的参与～ 张思明:各位老师，大家好～欢迎大家参加高中数学新课程远程研修～我们这一个系列讲座是围绕着高中数学的新课程的教学设计展开的。 我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场～ 从上一讲我们已经了解到了教学设计是什么,教学设计关注的问题有哪些,我们这一讲就比较具体的来进行进一步的讨论，我们讨论的主题是如何进行教学活动的设计，我们希望深入到课堂的角度里。 我们首先来看几个案例，我们想从这些案例里，看一看课堂活动设计里有哪些要点。我们先来观摩两节“直线与平面平行”的课堂教学片断，并听一听上课老师自己做的分析和点评。 苏州市第五中学黄骁健老师的课堂实录片段:T——教师，S——学生。 T:今天这节课我们来研究一下直线和平面的位置关系有多少种, 首先我们来看这样一个问题，这是一个足球门的图片，请大家观察一下组成足球门的每根柱子和地面之间的位置关系有哪些,只需要直观的感知一下有几种, S:有垂直，平行，还有相交。 T:一条直线和一个平面的位置关系，有且只有以下三种:直线在平面内;直线和平面相交以及直线和平面平行。 在这三种位置关系里，直线在平面内那么直线和平面有无数个公共点。而直线和平面相交，直线和平面平行这两种位置关系，我们把它统一的称作为直线在平面外。 直线在平面外的符号的记法大家想想应该记作什么, S:直线在平面内，是 。 T:那么在平面内外呢, S:不包含。 T:对，记作: 。 接下来我们还是回到足球门这个问题上，刚才大家说了在这个足球门里面，AD和地面是平行关系。那么在造足球门的时候我如何去判断造完以后门放在这个足球场上，上面这个门框就和地面平行的呢, 也就是说我如何去判断一条直线和一个平面平行呢, 为了研究这个问题，我们把足球门抽象一下，抽象成在一个长方体内 。在这个长方体里面，大家应该很直观的看到A′B′和下底面是平行关系。 那么它们为什么是平行的呢,我们从直线和平面平行的定义出发，它的定义是什么,是线面没有公共点。那么我们怎么说明它们是没有公共点的呢, 请同学们看图，从这张图上我们看到:直线A′B′和谁没有公共点, S:AB。 T:因为A′B′和AB是平行的。而下底面可以看成是由AB这条直线平移所构成的，在平移过程当中的每条直线与A′B′都没有公共点，因此直线A′B′就与下底面没有公共点了。 现在请大家来归纳一下，如何判断直线和平面平行, S:直线和平面的一条边平行且不在平面内，则直线和平面平行。 T:我们调整一下这句话，就是说:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。 和 这两条直线平行，那么 就和平从图形上来叙述的话，(看幻灯片)只要说 面 平行。我们简单一点来说:就是由线线平行这个条件，可以得到线面平行的结论。但是这两条线要分清楚，一条是在平面外的，一条是在平面内的。 „„ 完整的上课录像请查看拓展资源。 黄骁健老师的说课:我说课的课题是《直线与平面的位置关系》(第一课时)。本节课是高中数学新课程必修二中的内容。我的说课分四部分进行: (1)教材分析目标定位。首先，从新老教材的对比上，我们可以看到，新教材有非常明显的变化。老教材是一次完成教学，而新教材中文科在高一完成立体几何教学后就已经结束了;理科则是分两次完成，一次是在必修二当中，一次是在选修系列2中。其次，新教材强调:直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算是探索和认识空间图形及其性质的主要方法。在高一阶段立体几何的学习中更加注重直观感知，操作确认，并适度进行思辨论证。再次，本小节在教材当中前后联系非常紧密，线面位置关系的分类和它之前的线线位置关系以及之后的面面的位置关系的分类标准都是一致的，都是从有没有公共点，有多少个公共点出发进行分类。线面位置关系的研究顺序也和之后的面面位置关系的研究顺序一致，都是先进行分类，然后讨论两种特殊的位置关系:平行和垂直。因此本小节在教材当中是起到了一个承上启下的作用。 所以本节课我的目标定位是:第一，能够直观感知直线与平面的位置关系并会用符号语言表示;第二，能通过直观感知、操作确认，归纳并理解线面平行的判定定理并能运用它证明一些简单的问题。第三，能够通过直观感知、操作确认、思辨论证，归纳并证明线面平行的性质定理并能运用它证明一些简单命题。 (2)创设问题情境。我认为问题情境应该能够引起学生的学习兴趣，并且能够反映本节课的中心内容，而且本节课的教学也应该围绕着这个问题展开。因此本节课我设计了这样一个问题情境:就是有关足球门的例子，用它来引入直线和平面的位置关系，并且引入直线和平面平行的判定定理。 (3)本节课的问题串设计。在第一部分直线和平面的位置关系上，首先是问这样一个问题:观察组成足球门的每根柱子与地面的位置关系;接着抛出第二个问题:直线和平面可能有哪几种位置关系;最后要求学生不看图从直线和平面公共点个数来划分，归纳出直线和平面的位置关系应该有怎样几种。这三个问题由直观到抽象，引导学生归纳得到线面的三种位置关系。第二在直线和平面平行的判定定理的教学当中，还是从足球门的问题情境出发，问在足球门的图片当中如何保持球门的门框和地面是平行关系;接着抽象到长方体模型当中，询问这样两个子问题:首先是在直线AB的平移过程当中询问学生是否每一个位置都和直线A′B′平行;接下来一个子问题就是询问他们直线A′B′和平面AC是否有公共点。那么通过这样两个子问题，以问题的形式引导学生自己归纳得出判定定理。接下来在线面平行的性质定理的教学当中，我问了这样几个问题:第一，如果直线和平面平行那么这条直线是否和这个平面任意一条直线平行;第二，如果直线和平面平行那么这条直线和平面内多少条直线平行;第三，在平面当中怎样找出和已知直线平行的直线。通过这三个问题引出线面平行的性 质定理，同时让学生辨析了这样几个概念，就是无数条直线和任意一条直线和所有直线的区别。 (4)教学模具的运用。运用教学模具在立体几何的教学当中是非常普遍的，因为运用教学模具讲解非常直观能够使学生容易理解。但是教学模具并不一定非要是教学模型，比如说长方体、正方体或者棱柱、棱锥、棱台等模型。身边的各个具体的事物都可以用来作为模具。我在本节课当中讲解思考练习二，辨析命题“过直线外一点有无数个平面与这条直线平行”是否成立的时候，我利用教室的门作为模具演示开关门的过程，在这个过程当中让学生发现教室的门框与门在转动过程当中每一个所在平面都是平行的，从而判断出该命题的真假。设计这样一个演示过程我还有另外的一个想法，就是这时候课上了大概有一半了，可能有学生的注意力有所分散，通过这个演示可以再次提高学生的兴奋点，继续吸引学生的注意力。同时，我希望通过这样慢慢的渗透能够使得学生学会观察身边的各种事物从中发现数学的奥妙。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:1(“直线与平面位置关系”教学案例，苏州市第五中学，黄骁健。 苏州市吴县中学王新民老师的课堂实录片段:T——教师，S——学生。 T:同学们，前面我们刚刚学过空间两条直线的位置关系，请问空间两条直线的位置关系有哪些, S:平行，相交或者异面。 T:非常棒，请坐下。请问这三种位置关系从公共点的角度来判断，两条直线平行公共点有多少个, S:如果两条直线平行那么这两条直线没有公共点;两条直线是异面直线那么它们也没有公共点;当两条直线相交的时候它们有一个公共点。 T:回答得非常棒～同学们，今天我们就是从公共点的角度来研究直线与平面的位置关系。请大家以笔代直线，以桌面代平面来比划一下直线跟平面公共点的情况。好，我请个同学来讲一讲，这位女同学。 S:(拿笔比画演示)„„ T:她刚才讲得非常好。(演示)直线与平面没有公共点;直线跟平面只有唯一的公共点;还有整条直线在平面上。前面我们在公理一中已经讲到，如果说一条直线上有两个点在平面内，那么这条直线就在平面内。我们给出三个定义:第一种情况，如果直线跟平面有无数个公共点就称直线在平面内;如果说只有一个公共点我们称直线跟平面相交;如果说没有公共点就称直线与平面平行。它们的记号依次是:如果线面平行，我们模仿两条直线平行的写法 ，读作直线a平行平面α;相交怎么表示呢,直线a交平面α于点A， ;表示直线a在平面α内， ;相对于直线在平面内，直线a与平面α相交以及平行这两种统称直线a在平面α外,它的记号: . 这就是今天给大家抛出的直线与平面的三种位置关系. 那么我们今天首先来研究直线跟平面平行这样一种特殊的位置关系.同学们，我们现在已经知道直线跟平面平行它的定义是没有公共点.那么，接下来就要判断直线跟平面是不是平行,定义当然是一种重要的方法，除这之外到底有没有其他办法,我们先来看一个做法:直线 跟 现在重合在一块，都在平面α里面，我现在把这条直线 放在平面α内，保持 ， 平行，往上移动从面内移到面外，这里面具备哪些条件, S: 跟 平行， 在α内， 不在α内。我们猜想一下。 T:我们猜想一下 跟α的位置关系是什么, S:平行。 T:同学们的猜想完全正确。直线 在平面α外，直线 在平面α内， ， 为两条平行直线，这三个条件，我们能推出跟平面α平行。 a „„ 完整的上课录像请查看拓展资源。 王新民老师的说课:今天我说课的课题是《直线与平面的位置关系》，它是高中数学新课程必修二中的内容。 点、直线与平面是立体几何的三个基本对象。直线与平面的位置关系是立体几何的重点与难点。根据新教材的教学目标和教学内容，教师存在的两大难点: 第一个难点，课时减少、容量增加。旧教材中直线与平面平行的判定和性质安排了三课时，而新教材中的相关内容仅安排了一课时，原教材中的练习三在新教材中变成了例题三，还增加了一个思考题。因此本节课相比原教材而言，课时数是原来的三分之一，而教学内容比原来反而增多了。与原教材相比，新教材对直线与平面平行的判定定理的证明虽然不做要求，但教学时要通过观察动手或多媒体演示等等手段让学生感知直线与平面中一条直线平行可以得到线面平行。虽然对定理证明的要求降低了，但实践能力要求增加了。新教材对例题习题的推理要求并未降低，教学时间显得更为紧迫。 教学中，直线与平面平行的判定是一个难点，学生比较难理解。在新教材中它的证明不作要求，但是让学生体验这个定理的演示过程显得非常重要，在这个过程中，让学生体会到线和平面没有公共点，由此导出判定定理。 第二个难点，性质定理内容的生成难以下手。由于性质定理的引入不太自然，要求又比较高，学生不太容易理解，因此我在此处设计了大量的问题，通过问题串来解决线面平行的性质定理的引入。等例题一结束以后，我是这样设问的:EF跟平面BCD是平行的，那么EF除了跟BD平行以外，还有没有其他直线和EF平行,学生不难发现三角形BCD的中位线等一系列平行直线。我继续发问:直线EF与平面BCD中的直线是不是都平行,同学也很容易得到BC跟EF是不平行的。那么EF与平面BCD中的直线除了平行还有什么其他关系,显然是异面的。那么EF与平面BCD中的直线除了平行异面之外有没有其他可能,事实上只有两种:要么异面要么平行。我继续追问:线面平行线跟平面内的直线怎样前提下才能保证线线平行,这就导出来线面平行的性质定理。通过这样的设问学生很自然的就得到了它的证明。 讲完性质定理之后，教材给出了例题二。例题二是一个长方体木块，要经过平面AC内一点和棱BC将木块锯开，应该怎样画线,当性质定理和判定定理得以11 充分解决以后，由于担心学生的直观理解还不够，因此我在教学过程中带了小木块给每个同学，让他们自己刻画、自己操作，最后同学基本上都能比较自然的画出该画的线。应该说线画好本题已经解决，由于本节课的课时比较紧，内容比较多，经过反复推敲，例题二跟例题三其本质是一样的，例题三要求三个平面两两相交，交于三条直线，其中两条线平行，那么第三条线一定平行。我就抓住例题二这样的结论，把上面看成其中一个面，右边看成第二个面，现在的截面看成第三个面，其本质就是三个平面两两相交，其中满足BC跟BC平行，1那么把它锯开就得到了例三所要的。例题三就通过例题二的充分分析，两者通过巧妙的整合完成了例题三所提出的要求，最后给出严格的证明。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:2(“直线与平面平行”的教学案例，苏州市吴县中学，王新民。 张思明:两位老师给我们提供了研究数学教学活动设计的很好的案例，下面我们听听罗强老师和刘华老师对“直线与平面平行”这个案例的分析。 罗强:好，我们就以“直线与平面平行”这堂课，来探讨数学教学活动的设计。“直线与平面平行”这堂课，我觉得是新教材“立体几何初步”中非常典型的一堂课，这堂课的典型性，主要体现在它反映了研究空间元素位置关系的一个全流程。我们研究空间元素位置关系，首先要先建构位置关系，通过建构了位置关系之后，得到了位置关系的一些定义，然后把其中的第一种位置关系线面平行拿出来，对线面平行进行研究，研究它的判定定理以及它的性质定理。因此这是一个完整的研究空间元素位置关系的一节课。 我觉得它的典型性还体现在就是我们在教学设计的过程中间，一定要从整体把握和单元设计的角度来进行设计。我们现在新课程的立体几何分成两块，一块是必修二，叫立体几何初步;然后选修2-1是空间向量与立体几何。我们现在教的“直线与平面平行”是立体几何初步中的一个内容。因此，我觉得在本节课的教学设计中，一定要突出初步这个关键词，把握好新教材对于立体几何这样一种分段教学、螺旋上升的要求。从单元设计的角度来看，就是说我们现在研究的直线与平面平行的位置关系，实际上就是一个立体几何中间研究空间元素与元素位置关系的一个缩影，这样一种课堂教学的流程应该可以移植到研究其他比如说面与面的位置关系，线与线的位置关系中。所以，我觉得这堂课还是非常典型的一堂课。 刘华:我觉得这堂课的教学活动也是非常典型的，这个典型性首先反映在要让学生独立地面对问题。比如，这节课我们总共要提出三个主导问题:一个是直线和平面可能有几种位置关系,我们如何用公共点的数量来进行分类,这是第一个问题，通过这个问题，教师是希望指导学生建构直线和平面位置关系的几种情况，从而得出定义，也为我们进一步地研究提供一个基础。第二个主导问题是我们在研究直线和平面平行的判定的时候需要提出:如何判定线面平行,我们可能会在解决这个问题的过程当中需要学生主动地参与问题解决的这样一个过程。从而使得他们能够自主地建构线面平行的这个判定定理。第三个主导的问题是如果直线和平面已经平行了，那么这条直线是否和这个平面内的任意一条直线都平行,当然学生在解决问题的过程当中通过自己的理性思考，通过自己的这种思辨的过程，能够认识到直线并非和平面内的任意直线都平行。这样，我们的子问题就可以接踵而来，比如说可以问:那么这条直线是不是能够和这个平面内的一条直线平行呢,和哪条直线平行呢,和这个平面内平行的直线之间有什么样的关系呢,这样，我们可以从关系的角度能够逐层地展开我们的教学活动，因此说这堂课的一个典型性是学生需要独立地面对问题。 其次，这堂课的教学需要强调学生要主动参与问题解决的一个过程，从而使得我们数学的教学过程成为学生主动进行意义建构的一个过程，我想这也是这堂课教学中典型性的一个体现。我觉得这堂课的教学活动设置的流程非常清楚，这个流程就是从位置关系到定义到判定到性质到应用，这个流程在接下来研究其他位置关系的时候也是这样的，具有一种全息性。 罗强:我觉得在这堂课的教学设计中间一定要突出初步这个关键词，《课程标准》提出立体几何初步的教学应该突出直观感知、操作确认、思辨论证和度量 计算，这样一种要求跟教材的设计次序是吻合的。那么在这堂课里，我觉得教师在教学活动设计中应该突出让学生直观感知，在直观感知的基础上进行理性思维。王新民老师和黄骁健这两位老师在教学中间都借用了门这个道具，展示了门打开过程中门和门框的位置关系，这就充分借助了我们身边的实物让学生来感知。再比如说黄骁健老师和王新民老师都使用了多媒体课件，让学生体会直线与平面判定定理的合理性。所以我觉得在立体几何教学中，我们一定要突出让学生通过实物，通过多媒体课件来进行直观感知，在直观感知的基础上进行理性思维。 再比如例题二，应该怎样画线把木块切割开来,这个问题本身就包含了对前面知识和后面知识一种前后联系，所以这个问题，虽然它放在这个部分侧重研究的是线面平行这种关系，但实际上，它还包含了研究线线位置关系以及其他的内容，它最后也可以看作是面面平行的一个性质定理。所以我们在教这个内容的过程中间，要更多地从整体上来理解这个内容，为后续的教学打下伏笔，为前面的教学做一个延伸。 刘华:打个比方，比如说我们教师可能看作是泥水匠，你在砌墙的时候知道这块砖头可能不是很规则，但是你需要知道它放在什么地方，然后我们才能够砌出一个完整的、比较漂亮的建筑出来。 罗强:这个比喻很好，就是说我们教师在教的时候，实际上从行为上来讲是砌砖，但是从整体上来看我们是在砌一幢楼，这幢楼的形象要在脑海里有一个比较深刻的认识。 张思明:大家看过了这个两个案例以后，也听了两位老师的点评，我想大家会有一定的感受，下面，我们想就教学设计来采访一下江苏省教研室的李善良老师，听一听李善良老师对教学设计的想法。 李善良:每套教材都集中了大量的智慧和经验，教师在进行教学时，要对教材的编写意图进行深入的研究，这样才能进行有效的教学设计。下面我从三个方面简要的说明一下，如何从教材设计到教学设计: 第一，研究整体意图，理清教学流程。 (1)熟悉教材的整体结构。在研究教材的整体设计意图时，首先要熟悉整套教材的结构体系安排，这样才能找到同一个具体内容的定位，而且站在整体角度来设计具体一节课才能更加清晰到位。例如，苏教版高中数学实验教材在整体设计时就充分考虑注意整体贯通相互联系，教材的编写时从整体出发，按知识发展、背景问题、思想方法三个纬度，将全书模块章节做整体设计，实现整体贯通。教师在进行教学时只有从整体上把握，才能找到某一具体内容地位作用，也才能进行合理的教学设计。 (2)理解内容的组织方式。教材内容的组织方式对于课堂教学设计有着直接的启发示范作用，在进行教学设计时要认真研究教材的内容组织方式，这样才能把教材的设计转化为教学的设计。例如，苏教版教材的内容组织方式主要为从问题情境出发提出问题，引导学生进行积极的数学活动，在活动过程中进行一一建构，进而由学生提出数学理论，有了数学理论之后通过例题、练习、习题等加强数学运用，在整个内容学完之后进行回顾反思，进而升华。在教学时只有充分关注到教材的设计流程，才能有效的设计好教学的流程。 (3)注意教材的弹性要求。为了使每个学生都能获得最佳发展，教材在设计时都要考虑到不同学生的不同需求。在教学设计时应充分研究教材的层次设计，考虑适合于所有学生的教学设计。例如，苏教版数学实验教材的必修课程，主 要从基础性、兴趣性、层次性三个方面考虑，整套教材设计为一个核心、多个层次、多种选择。以基本教学要求为核心，通过这个载体，学生可以获得全方位的发展，学生学好核心内容后根据需要有多种选择，具体设计为教科书中的引言、正文、练习、习题中的感受理解部分、阅读材料、探究案例、实习作用、本章回顾等内容，构成一个完整的体系。正文是教科书的核心，体现了高中数学教学要求，是所有学生应该掌握的基本内容，编写时力图使所有学生都能理解。考虑到广大同学的不同需求，教科书提供了较大的选择空间，主要是设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、习题中的思考运用、探究拓展等，以激发学生探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，学生可以自主选择一些内容进行思考与探究。 第二，研究教材编写特点，精琢教学细节。 在进行教学设计时，要充分研究教材的设计特点，力图使每个细节都能充分体现教材的设计特点。例如，苏教版高中数学教材，采取以问题为主线的方式进行编写，这样对于促进学生的主动探究、积极思维是十分有益的，通过提出问题、解决问题、反思升华的过程，促进学生思维的发展。 教材为学生的主动学习留有一定的空间，为教师的创新教学也留有一定的空间，在研究教材时必须充分抓住这些潜在的设计特点，根据教材设计的思路，教师在设计数学活动时要善于创设问题情境、引导学生提出问题，引导学生探究发现、建立数学理论，引导学生自我建构数学。在进行数学问题情境设计时，要注意问题情境设计要有利于学生提出问题，而不是过分强调生活化的实际情境，没有问题的情境、人为的情境都是我们不提倡的。数学活动主要是在教师引导下学生的积极思维活动，包括再创造、再发现等活动，不能把活动简单理解为工业化的操作活动、小组活动，在教学设计时更反对没有问题的各种各样的活动。在数学运用设计时应注意到数学运用是一个有机协调的整体，例题、练习、习题、实习作业等等应整体设计不能随意进行。此外，回顾反思是非常重要的，在进行教学时我们必须注重回顾反思的设计。 第三，研究不同教材，突显教学特色。每套教材编写都有自己的理念、思想、特色，这些理念、思想、特色又都是借助具体的内容设计来体现的。而教材不是百科全书，在选材时都是极为精炼典型的，教材选用的材料往往具有示范性，它未必是最好的素材，但是可以启发我们以此为示范去进一步选择设计适合于我们课堂的内容。在进行教学设计时为了能更好的把握教材的设计意图，教师可以选择不同的教材进行比较，由此发现对同一内容不同编写者的想法，从而获得启发，进而以教材的编写素材为示范，进一步去选择合理的素材，这样形成适合于自己班级的教学设计，逐步形成教师自我的教学特色。 „„ 完整的资料请看拓展阅读材料:3(从教材设计到教学设计，江苏省中小学教研室，李善良。 张思明:好～李善良老师给我们讲了一些他的思考，我们现在想就以下几个问题跟嘉宾进行讨论。在数学教学活动的设计中，老师们非常关注这样一些问题，就是数学课需要设计哪些活动,如何提高这些活动的价值,第二个问题就是如何设计好问题串，或者说问题呈现的方式和顺序,我想听听嘉宾们对这个问题的分析和想法。 罗强:我觉得从操作层面上来讲，教学设计实际上就是问题的设计。我们知道学生在学习数学的过程中间，从某种程度上来讲应该说是再现了数学发展的过程。为什么说某种程度呢,因为学生不可能完全重现数学的发展过程。 我举一个事例，我以前的一个学生，他现在在新加坡学习，有一次在跟我聊天的过程中间，他谈到，说他有一次在新加坡看到个电视片后感到非常的震撼，他用了“震撼”这两个字。我说你看到一个什么电视片，他说片子讲的是一个加拿大的小学老师，这个老师教考古，他怎么教呢,他先买了一块废地，然后每年夏天就带自己以前毕业的学生到这块空地，把一些文物，当然是现代的物品，还有一些动物的尸骨之类的埋到地下。到了开学的时候，他就带他现在的学生到这个现场进行一些考古的活动，在这样一个考古活动中进行知识的传授教学。我觉得加拿大这位老师的做法应该说非常符合学生的认识规律，实际上，数学教学设计的过程中，我觉得要从三个维度出发来进行问题的设计:一个是从数学知识本身这个维度，要注意我们提出的问题能否生长出我们所要学的这些知识;第二个就是从学生认知规律这个维度;第三个就是要从组织教学的这个维度。 那么怎样的问题才是比较好的问题,我觉得对数学课来讲，一个好的问题需要有这么几个特征:第一个特征就是初始性。就是说一个问题提出以后，能够像一个胚胎一样，逐步的在这个胚胎的基础上生长出我们所要学习的数学知识这棵大树;第二个就是它要有一种情境性。因为这个知识对学生来说是第一次学习，从学生这样一种年龄特点来讲，他需要一种生动活泼的方式进行学习，所以我觉得需要有情境;第三，我觉得需要有一种全息性。就是说这个问题提出以后，它的研究过程能够代表一种数学研究的过程;第四个是结构性。一个好的问题要有一个良好的结构，我们所学的知识都不是孤立的，一个好的问题就像一个支架一样，有很多附着点，能够从这些附着点出发连接不同的其他的数学知识，使得学生在学习中能够得到一个比较完整的数学认知结构。 刘华:我觉得高中数学课程的教学设计，尤其是在学生活动这方面的设计，和初中略有不同。因为高中生的认知能力从心理学来说，他们已经能够接受比较抽象的从理论到理论的这种演绎体系。所以高中生在数学课堂上的数学活动大都是思维活动，就像刚才罗老师已经提出的问题的解决过程就是学生思维活动的过程，也就是数学课堂上学生自主建构数学，完善数学知识体系的过程。 举一个例子，我们在函数单调性的教学过程当中，因为函数单调性学生在初中已经有接触了，当初我们的表述方式叫做随着x的增加y随之增加，老师在教学中很容易提出这样一个问题:“什么叫单调递增,”学生会回答:随着x的增加y随之增加，这叫单调递增。那么有没有考虑到理性思维的渗透呢,我可以反过来提出问题，我说你们把这句话反过来说一下随着x的减少y怎么样呢，y减少。当然这个提问题的方式我觉得有很多种，如果说你一直让学生只是回答是不是,对不对,会不会,我觉得这样的问题恐怕就像刚才罗老师所说的不是一个好的问题。虽然一节课可能提出了十七八个乃至更多的问题，甚至可以叫很多学生起来回答问题，但是对于学生的思维活动来说没有真正能够起到一个推进的作用。如果你能够让学生自主的表述问题、研究问题、最终解决问题，我觉得这样整个数学课堂的教学设计才能够更加符合数学认知的规律和特点。 王尚志:我同意刚才二位的分析，没有问题你创造什么,因此需要有问题。我们现在倡导创新，所谓创新我想在中学阶段就是需要有问题意识，我想用问题 来引导我们的数学教学设计是一个重要的想法，我们可以通过言传身教不断地帮助学生形成问题意识。 我也同意二位的分析，问题是有好有坏的，我觉得在这个方面是我们老师创造的空间。按照罗老师说的三个维度:数学的维度、学生的维度、教学的维度，怎样才能设计出好的问题，这是对于我们老师的一个挑战。我想这个也涉及到我们如何创造性的使用教材，教材上一定有问题，但是这个问题是不是适合于我的学生，我们可以思考，适合，就可以拿来用;需要调整，我们就做调整;需要变化，我们做变化。我想创造始终是教学设计的一个基点，我觉得这也给我们老师的发展提供了一个广阔的空间，所以我觉得刚才二位老师的分析值得我们参加研修的老师思考，是不是可以结合你们自己的思考，我们一起来交流这方面的看法。 张思明:好～刚才三位老师对课堂教学活动设计提出了自己的看法，我们也看到了课堂活动设计的关键是找出一串能够引导学生不断深入思考的问题串。那么对问题串的这种设计的要点刚才罗老师、刘老师和王老师都做了分析，我想这个应该成为大家进一步思考的出发点。 这次我们这个专题留给大家的思考题有这样一些: 1( 结合您的教学实践，给出您的一个成功的单元教学设计; 2( 请您提出一个教学设计中遇到的难题; 3( 请您提出一个教学设计难度较大的案例; 4( 结合您的教学实践，给出您的一个成功的情境创设的问题串设计; 5( 请您完成一个平面与平面平行的教学设计，当然可以参考前面的案例，我们可以做的比它更好; 6( 请您就如何提高数学课堂教学的有效性发表意见。 张思明:各位老师，大家好～欢迎大家参加高中数学新课程远程研修～我们这一个系列讲座是围绕着高中数学的新课程的教学设计展开的。 我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场～ 前两讲我们都在结合教学设计进行一些交流，上一讲我们介绍了教学活动的设计，这一讲我们将围绕几种不同课型的具体的教学设计来进行一些分析和点评。 张思明:我想先问问刘老师，您在基层第一线，作为一个基层的老师，每天都跟上课打交道，您认为中学数学课堂教学中，出现频率最高的课型有哪些, 刘华:从上课操作这个角度来说，我觉得中学数学课的课型大致可以有讲授数学概念的概念课、讲授数学方法的方法课、一个单元或者章节的复习课、针对试卷习题的讲评课，我觉得主要有这样一些课型。 张思明:老师们都很关心对于这些具体课型，我们在进行教学设计的时候，应该注意哪些环节, 为了使我们的讨论更加形象，我们先来看一些具体的教学设计的案例。我们先就数学概念课的教学设计来看两个案例。他们是苏州市吴中区苏苑中学的金曦东老师提供的“平均变化率”的案例，还有一个是苏州市吴中区苏苑中学殷容仪老师提供的“数列”的案例。我们一起来看这两个案例。 金曦东老师的说课:我是苏州市吴中区苏苑高级中学的金曦东，我说课的课题是《平均变化率》。“平均变化率”是新课程选修教材“导数及其应用”一章 中的起始教学内容，《课程标准》对导数这一章教学的整体定位是:通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率——导数，体会导数的思想及其内涵。 本节内容作为导数概念的第一节课，其具体目标为:通过对一些生活实例的分析，构建平均变化率这个数学模型，并加以简单应用;帮助学生直观感知导数的背景、思想和作用。 根据课程标准的要求，本节课的目标定位如下: 第一，通过对一些实例直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率。第二，渗透以直代曲的思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。第三，通过本节课的学习，让学生领悟数学研究的一般方法，体会数学概念如何从背景到数学化再到具体应用这样一个全过程。 其次，我想就问题情境的设计谈一些体会。教师教学的有效性，首先应体现在能否调动学生的学习积极性，促进学生对知识的主动建构。因此教学设计的关键在于科学地、艺术地处理教材内容，唤起学生强烈的求知欲。教材中通过引言中的一则案例提出问题，用怎样的数学模型来刻划变量变化的快与慢，这样的数学模型有哪些运用,意图是在此基础上，提出平均变化率的概念。教学时是抛开教材中的案例另辟蹊径来构建概念，还是在教材基础上，着力创设最近发展区，让学生知识迁移，主动构建平均变化率的概念呢,我发现，教学中对如何量化曲线的陡峭程度的处理是一个难点，如何从学生熟悉的背景出发，挖掘出以直代曲的思想方法，从而构建平均变化率这个数学模型来解决有关问题，使得平均变化率概念的引入显得流畅自然，这是我在教学设计中考虑的第一个问题。我采用的办法是从学生熟悉的、亲身感受的生活经验入手，将其数学化，让学生初步体会用已学的直线斜率知识来刻划山路的陡峭程度，引导学生联想类比。采用以直代曲的思想方法来量化气温曲线的陡峭程度，从而水到渠成的构建了平均变化率这个数学概念。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:1(“平均变化率”的教学案例，苏州市吴中区苏苑高级中学，金曦东。 殷容仪老师的说课:我说课的课题是《数列》，它是新教材必修五的教学内容，是一堂概念教学课。在中学数学概念的教学中，有些概念可以通过与生活实际的直接联系而获得，如圆的定义，其特点是情境性好。但也有很多数学概念并不能以此途径获得，他们往往只能用语言对其作出界定，学生需要理解这些语言的内涵和外延，才能获得其确切的含义。高中数学教材中的数列概念就是这样的一个概念。对于这类数学概念的教学，我认为大致应该有概念的引入、概念的辨析、概念的深化和概念的巩固这样四个阶段。 在数列概念的引入阶段，鉴于本节课是数列的第一堂课，学生第一次接触数列，因此从整个章节内容来考虑，先让学生见识各种各样的数列是非常必要的。这样可以为他们今后的学习打下基础。基于这种考虑，我在引入部分一共设计了五个数列。第一个例子用捐助失学儿童的背景，经过教师的引导生成一个常数数列;第二个例子通过统计中国参加六届奥运会所获得的金牌数生成一个数列;第三个例子用几何图形来生成一个数列;第四个例子通过一个代数式计算得到一个数列;第五个例子通过一个函数式得到一系列的函数值，由这些函数值生 成一个数列。在这里出现了等差数列、等比数列、常数数列、摆动数列还有无规律的数列等。 在上述数列中，有直接告知的数列、有间接生成的数列、有用表格给出的数列、有用通项公式计算的数列、也有通过函数及其图象可以计算的数列，这些都是为后面将要学习的数列表示埋下了伏笔。特别需要强调的是数列五的设计，也就是关于放射性物质的剩留量构成的数列，主要是为了后面数列与函数关系的学习作了铺垫。 在数列概念的辨析阶段，我用洗牌来说明数列的序，并把数列与数集概念加以区别，这样的方式直观生动易于被学生接受。在辨析三当中有这样一句话:在232数列1，0.84，0.84，0.83中。它的首项为1，第二项为0.84，第三项为0.84，那么它的第十项是多少,第n项呢,这个问题承上启下与前可以呼应，对后可以衔接，通过这个问题情境我们可以自然过渡到概念的升华阶段。 在数列概念的升华阶段，即数列与函数关系的研究。为什么我用了无穷数列1，230.84，0.84，0.83，„，作为研究对象呢,一方面是为了用好用透数列五，使教学内容层层推进环环相扣，另一方面也是为了顺应教材。教材上有这样一句*话:从函数观点看:数列可以看作是定义域为正整数集N(或者它有限子集 ,{1,2,3,„k})为定义域的函数，当自变量从小到大取值时，对应的一系列函数值。如果用有穷数列来研究，它的定义域是正整数集的有限子集，而书上讲定义域为正整数集在前，用有穷数列来处理感觉不太顺，于是就用了无穷数列1，230.84，0.84，0.84，„这个数列。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:2(“数列”的教学设计和教学反思，苏州市吴中区苏苑高级中学，殷容仪。 张思明:下面我们请苏州市新区一中的陈新老师就数学概念课的教学设计，给我们谈一谈他的思考是什么, 陈新:数学概念课的教学设计需要思考:概念教学一般可以分为哪几个阶段,各个阶段分别要侧重解决什么问题,如何解决这些问题, 我认为数学概念教学大致分三个阶段:一概念的引入、二概念的分析、三概念的应用。 概念的引入侧重引起学生的注意，激发学生的兴趣，体现概念的本质，蕴含概念发生的思维方法，做到先声夺人。引入的方式有很多，常见的有下面四种:一，数学故事引入数学概念;二，通过学生已有的知识和经验引入概念;三，动手做实验引入数学概念;四，通过实际问题引入数学概念。 这里我以动手做实验引入数学概念举一个直线的斜率的实例。我们可以请同学们在纸上画两个点A、B，再画出过点A与点B的直线及过点A的不同于AB的五条不同直线，画完后展示学生的作品，并且要求学生回答:同时过定点A与B，你能作几条不同的直线,从中能得到怎样的结论,当A点确定后过这点，如何作出五条不同的直线,在此基础上，让学生观察两幅陡缓不同的楼梯示意图，请他们选择一个上楼梯省力的楼梯，并说明理由。 进一步用几何画板演示制作好的楼梯示意图，使学生得出楼梯的斜面对应的直线，这条直线倾斜程度的度量方法是楼梯的高与楼梯的宽之比，进一步分析能知道，直线的斜率是反映直线倾斜程度的量，是直线任意两点纵坐标之差与横坐标之差的比值，它与直线上两点的位置无关，与直线的方向有关。一旦直线 方向确定了以后，其斜率也随之确定。这就是直线斜率概念的内涵。如果我们改变直线的方向，可以得到当直线与x轴垂直时，其斜率是不存在的;而当直线与x轴平行时斜率为零;当直线从左下方向向右上方向倾斜时，斜率为正;而当直线由左上方向向右下方倾斜时，斜率为负，这些是直线斜率概念的外延。 概念分析我们还要善于从逆向分析，通过反例来阐述。如对正棱锥概念的理解:我可以设立五个问题，前面三个问题是否定的，通过学生举反例来认识，必要时概念的分析更需咬文嚼字，只有这样才可以突出概念的本质。 再例如函数周期性概念，其定义是:对定义域中的任何一个值，存在某一常x 数，使得()=()成立。我们通过分析，可以得到下面一些性质或结Tfx+Tfx 论，如:(1)T是不等于0的常数，则T可以正可以负，是个非变数;(2)定义域中每一个x值都满足f(x+T)=f(x)，而不是某些x满足这个关系式;(3)当T乘以常数k的时候，只要k为非零整数，kT也为该函数的周期;(4)由定义可以推出函数的定义域是无界的。 概念的分析，必要时我们会适当应用多媒体动画，解决其抽象的问题。通过多媒体能把抽象问题具体化，给一个学生感性的认识。 在概念课的教学中，还要注意下面四个方面: 第一，要明确数学概念，不是简单的给出定义就行。因为在教师创设培养之下，学生要通过探索得出定义的本质，所以我们要尽力揭示数学的发生和应用的思维过程，同时通过这些过程，来培养学生探究精神。 第二，要恰当的引入感性材料，这个感性材料必须要适度与典型，不可以为了要引起学生的兴趣，提供与概念联系不大的材料。 第三，要从多方面入手去建构概念。 第四，概念分析设计应该正确预测学生对概念的理解的困难，把握学生对概念理解的层次，教师要恰当设计引导问题，合理选用分析方法，特别是多媒体的应用更要注意到恰当，不能喧宾夺主，切忌哗众取宠。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:3(数学概念课如何进行教学设计，苏州新区第一中学，陈新。 张思明:我们听了三位老师的介绍，对数学概念课的教学已经有了一些认识，也有了一些感受，下面我们也想听一听嘉宾们对数学概念课的教学设计有什么看法, 刘华:数学概念教学是数学教学当中的首道工序，学生对概念的理解和把握是否准确，将直接影响到后续数学学习的效果。我认为数学概念的表述应当要用精炼的语言，准确无歧义地反映概念的本质特征。比如，我们高中阶段一开始学习的集合，它的概念就要反映出集合本身能够精确描述事物属性的这样一个特性。高中阶段为什么先学集合，就是因为学完集合之后，我们就可以用集合的语言来描述很多的概念，从而使得我们能够无歧义地理解数学概念。再举一个例子，函数的单调性的概念是说:在区间上任意取两个值x，x，当 x4=AC。然后可以提出问题二:根据这个式子，你如果求出动点的轨迹方程,理由是什么, „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:4(以问题引领教学——对“轨迹方程”的教学反思，苏州市第五中学，袁富杰。 张思明:好，我们看了袁老师的说课以后，我们请嘉宾对方法课的教学谈一点想法。 罗强:我觉得数学方法课的主要任务就是要让学生掌握一种具体的数学方法，数学方法从认知心理学的角度来界定的话，属于程序性知识，但要掌握程序性知识，就不能脱离前面一个先学习陈述性知识的环节，也就是具体的方法是什么,在方法课的教学中，我觉得应该让学生对方法的产生的过程有一个切身的体验，其中第一个阶段我觉得可以用四个字来概括:举三反一。我们不能把方法作为一个抽象的数学知识直接告诉学生，而要让学生在具体问题的解决过程中来感受和自己提炼。举三反一说明学生不可能一次性完成这样一种认识，所以我们可以通过若干个问题，让学生来抽象出这么一个方法。第二个阶段我觉得就应该举一反三。这时候的这个“一”就是那个方法，反三的过程就是应用这个方法的过程，就是让学生在应用中熟练地掌握这种方法。 刘华:关于方法课的教学罗老师已经讲的很到位了，就是“举三反一”和“举一反三”的过程。有时候我们是在一节课当中完成的，但是也有可能是通过多次课来完成的。此外，方法课的教学我们尤其要注重学生习题的反馈，这个反馈可以是即时的反馈，也可以是我们通过习题甚至于通过测验的反馈，方法课最终的目标是以学生掌握了有关的技能作为评价衡量的标准。 王尚志:二位说的很好～关于方法课的界定，刚才两位老师都做了一个说明，我给他们补充的是方法是一个操作过程，但是这个操作过程的背后有数学的本质。我觉得在教给学生操作过程时，不应该忽视对于它所蕴含的数学本质的理解。 刘华:刚才王老师提到数学本质的问题，我举一个例子，在高中数学当中以方法命名的一个知识点叫做数学归纳法，这个知识点的教学中，我们首先应该让学生了解数学归纳法的来龙去脉，其次要强调的是规范化、结构化的一个思考模式，这实际上也是用数学归纳法解题的一种模式，学生必须规范使用这种模式，才能正确运用这个方法，所以我们在方法课的教学设计当中，还要考虑如何规范的运用方法。 王尚志:我想尽管课型有不同的形态，但是我们在做课型分析的时候，离不开罗老师在上一节课强调的三件事，一个是数学，一个是学生，一个是教学，这是思考这些问题的一个灵魂，把握住这个灵魂，就可以更好的界定我们对这些课程形式的一个理解。 张思明:刚才三位老师就方法课作了点评，下面我们再就复习课来看一个案例。这是苏州市新区实验中学张必华老师为我们提供的一节高三复习课的教学设计，我们来听一听张老师的说课。 张必华老师的说课:今天我将向各位介绍我所上的一堂高三数学复习课的教学实录与设计意图。这一堂课当时我是在我校高三(11)班上的，我校是江苏省首批四星级高中，高三(11)班是我校高三较好的班级之一。本堂课一开始我就将一个初始问题呈现给学生，同时我明确告诉学生，本堂课的研究课题是《含参数不等式恒成立问题》，并要求学生将该问题与已经研究过的含参数方程的有解性问题进行对比。 这一设计主要是基于这样考虑:我所选的这道例题，可以说基本概括了解决含参数不等式恒成立问题的基本方法。为什么仅选一道题呢,其目的在于力求以少胜多，达到举一反三的效果。考虑到学生的认知规律，让学生从熟悉的含参数方程的有解性问题的解法入手来思考，这样可以在类比中探究，培养学生的类比能力、探究精神和对数学的兴趣。 教学中，我组织学生从多角度探寻问题的解法，选择了四种基本方法呈现给全体同学，这个过程实际上是一个一题多解的训练过程。通过一题多解的训练，一方面用一个问题沟通了各部分知识间的联系，拓宽学生的解题思路;另一方面培养学生的发散思维能力。当然我们在具体的教学过程当中值得注意的是一题多解应把握一个度，同时要注意突出通性与通法。 接下来我引导学生对刚才的四种基本方法进行反思，寻找解题的规律，这个环节必须给学生充足的时间，并允许学生展开讨论，在讨论的基础上，我安排了四位同学代表发言，对各种解法进行点评，最后我对学生的点评做了这样一个小结。 通过这样的教学，学生对解决含参数不等式恒成立问题的四种解题方法有了一个基本的认识。当然在解决某一些具体问题时，还要根据题目特点，合理选择解题方法，对难度较大的问题，更要注意综合运用这些方法。这里我的设计意图是让学生反思，其目的在于教会学生总结解题方法，寻找解题规律，有利于提高学生对解题各种方法的理解与认识，培养学生的解题决策能力，最终让学生形成自身的能力。 学生对基本方法有了一个认识以后，我安排了课堂练习。通过练习，既起到了巩固基本方法的效果，又让学生学会选择方法，培养学生在解题过程中的优化意识。后面我又安排了一个变式训练，我一共呈现给学生四道变题。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:5(问题•求解•反思•拓广•提炼——高三复习课的一种教学模式，江苏省苏州实验中学，张必华。 张思明:在高三教学中除了复习课以外，试卷讲评课也是一个很重要的内容，对于讲评课的设计应该怎么思考,我们请苏州市第十中学吴锷老师来谈谈他这方面的体会。我们来看一段访谈的录像。 吴锷老师的访谈: 访谈者(以下简称访):今天我们很高兴的请到了苏州市第十中学的吴锷老师和大家一起来探讨一下试卷讲评课的教学。吴老师你好～ 吴锷(以下简称吴):你好～ 访:我们知道在数学教学中，试卷讲评课是一个重要的课型，你认为在我们的目前教学中，试卷讲评课存在哪些问题, 吴:目前我们试卷讲评课的现状大致是这样的:数学讲评课中，往往出现从试卷第一题开始一直讲到最后一题，形成教师讲学生听的形式单一的讲评方式。这样做既浪费时间，又使学生容易产生厌烦心理，未能体现学生为主体、教师为主导的作用。 访:请你说说看你在教学中间是如何进行试卷讲评课的教学的, 吴:好，下面我就来谈一下上好讲评课的一些想法和做法。上好讲评课首先要做到课前三要。所谓三要就是要及时、要统计、要备课。 要及时。就是习题或者试卷的讲评应放在测试后未上新课之前，原因是对教师来说刚阅完卷，对于学生存在的问题了如指掌。就学生而言，此时他们对试卷所考察的知识点是非常熟悉的，而这时候他们不仅急于知道分数，更急于知道正确的答案，求知欲极强。如果时间过长，逐渐淡忘，学生失去了兴趣和积极性，也就失去了主动性和学习的动力。 要统计。认真批改试卷这是上好试卷讲评课的一个前提，阅卷不是简单的打勾或打叉就完了，一方面要掌握学生在各个知识考点的得分失分情况以及典型错误，另外一方面还要按人按题统计学生的得分情况和出错人数，教师要在充分分析的基础上把出现的问题归类，找出失误的重点，分析出错的原因和知识的遗漏缺陷，进行有的放矢的讲评，不能不分主次平均用力面面俱到。 要备课。在统计的基础上要认真备好讲评课。要讲什么,哪些不需要讲?要讲重点讲什么?重点内容怎么讲?所有这些都要做到心中有数.教师只有对这些方面做到心中有数，在讲评时才能使学生的知识得以巩固、扩展和提高，使讲评成为一次知识的巩固、一次知识的更新、一次知识的收获的过程。 其次就是课堂三讲。所谓三讲就是要讲思路、讲方法;讲联系、讲拓展;讲反思、讲创新;讲题意、讲思路、讲方法。三讲的主要目的在于暴露教师的思维过程，它的最大的好处就是让学生了解解题的过程，学会审题、解题、辩题的技能。要学会解题首先要学会审题，学会审题就必须要明确其意，甚至是明白出题者深层次的用意。善于审题的人也善于辩题，所谓辩题指的是能辨别题目的优劣，好的题目表现在科学性、启发性、灵活性都比较出色。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:6(如何上好数学讲评课，苏州市第十中学，吴锷。 张思明:好，针对这两个案例，我想听听嘉宾对于上好这复习课、讲评课这两种课型的思考和认识。 罗强:我觉得到了高三阶段，这两种课型就显得尤为重要。那么这两种课型的目的是什么,目的就是要让学生将来在他的考试中，能够展现自己的学习成果。这样两种课型，它的主要形式是训练，训练的方式可以有多种多样，复习课更多的采用的是一种变式训练的方式，是要使得学生在原有的认知水平、认知能力的基础上，有一个比较大的突破。讲评课的目的是及时的反馈学生所存在的问题，校正他所存在的问题，也能够使他在原有基础上有一个飞跃。我觉得这两种课型有一个重要的原则就是:我们的教师的主导作用应该慢慢慢慢的向后退，因为最后我们要培养学生使得他们的能力能够超越我们教师的能力，在这个过程中，一个很重要的教育原则就是:教是为了不教。我觉得要注意这点。 刘华:我从技术层面上提一些看法。这两种课型更多的应当是从学生学这个角度出发来设计整个的教学过程。比如复习课，刚才罗老师说它是我们高三阶段很重要的一个课型，我想它还有一个作用，就是我们平时上课过程中，学生会反馈上来了学习过程中的一些问题，会有一些漏洞，我们靠什么样的课去解决它，我想就是复习课，所以复习课还有一个查漏补缺的作用。当然在查漏补缺之前，我们应当给学生一个知识体系的整体把握，可以是一个单元、一节甚至一章，都有一个整体性的把握。 另外，我们可以从学生的错误出发进行讲授，罗老师在其他场合也提到过，学生应该有一本错题记录本，对这个记录本上面的那些错题，我们可通过讲评课 把它纳入进来，可以使学生觉得我这样的做是有价值、有效果的，对他的学习是一种推进作用。 张思明:两位老师的课型分析，都有很多想法，我觉得大家都受到了很多启发。刚才，我们围绕几种课型的教学设计作了分析，老师们也许会问，怎样才能从更高层次、更高追求的角度把课上好,各种各样课型共同的、更本质的东西应该怎么把握,我们请王老师来做一个点评分析。 王尚志:我只是提供一点参考建议。 我的第一个建议就是我们要上好一节课，一定要把这一节课纳入到一个单元里头去，一个单元的课一定要纳入到一个学期的课里面去，一个学期的课一定要纳入整个数学课程里去。这样的一个意识，对于我们上好课我觉得是很重要的一件事情。刚才我们谈到了复习课和讲评课，复习课、讲评课常常不是一节课可以完成的任务。因此如何提高复习课和讲评课的效益，需要对这一次所做的复习课做一个整体的设计。首先就是这一次复习我要达到的一个基本目标是什么,我在实验区听课的时候，有一个感觉:老师比较容易把目标定的过大，面面俱到。我想复习课要有效益，要把目标定的更清晰一点，是我们可完成的目标，而不是定给别人看的。然后我要怎样去实现这个目标，需要通过几个环节,如果这样做，可能效率会高一点，所以整体的把握课程，应该渗透在我们每一个环节里头。 第二个建议呢，我还是要强化罗老师反复强调的这几个出发点。无论课是什么课，我们都不能离开这三个基本的维度:数学的维度、学生的维度和教学的维度。说到这里，我有一个具体的建议，就是我在听课的过程中，感到老师容易一下子就切入到教材，我希望老师在做教材分析之前，是不是还能考虑另外两个环节,就是第一个环节是对数学的认识，第二个环节要看看《标准》，当然也可以看看《考纲》。要了解《标准》有什么要求,《标准》为什么要做这个界定,再去考虑一下考试对这个内容有什么要求，这个要求落实在我这一节课里我将实现什么样的局部目标，然后我们再去分析教材，教材只是展示数学和《标准》要求的一种方式。因为现在我们教材多样化了，实际上给老师带来了一个非常大的方便，可以帮助老师有一个开阔的视野，不是单一的去处理某些知识点。我不是说教材不重要，非常重要～但是我们在分析教材之前，是不是可以把这个教材的要求在它的上位作一个思考。 我们的老师，特别是在第一遍教的时候，一定要考虑数学、考虑《标准》、考虑教材。如果你没有一遍认真地、完整地去考虑过这个问题，一下子直接切入教材，就可能带来局限。因为教材本身是个线性序，它是按时间去展开知识的过程，但是数学不是，教师不能在复习的时候，才去考虑这个问题，而是在做教学预设的时候，就要考虑这个问题，这样可能对于提高教学效率会有一定的帮助。我就提供这么两个参考性的建议:一个是整体的把握课程;一个是在我们深入教材之前，是不是做一个数学的思考，做一个对《标准》的分析，养成这种习惯是很重要的。 张思明:王老师给我们作了一个很好的归纳，让我们对于几种重要的课型设计有了一个初步的认识，我们希望老师们把你们在教学设计中的经验、感受和体会发给我们，使我们能够有一个更好的讨论的基础，非常希望能看到老师们的经验。 各位老师，大家好～欢迎大家继续参加我们的高中新课程远程研修～ 我先来介绍一下参加我们这次讲座的几位嘉宾，我身边这位是苏州五中的罗强校长，这边这位是苏州中学的刘华老师，那边那位是大家熟悉的首都师范大学数学系博士生导师王尚志教授。欢迎大家来到我们研讨的现场～ 前几讲我们都围绕着课程教学设计的各个环节进行了讨论，这一讲是教学设计的最后一个环节，我们将重点分析如何改进和完善我们的教学设计。为了把这个问题说得更仔细， 我们跟以前一样，先来看一下苏州市太仓高级中学偶伟国老师提供的教学案例。 偶伟国老师的说课:今天我结合课例《二分法求方程的近似解》来谈谈我教学的体会。这样体会可以用6个字来总结——感受?感悟?提升。 2004年底，我接受了苏州市教研室罗强老师的一个任务，要在新课程教材中寻找一个新增的内容来进行教学，于是就选定了这一课题。 “二分法求方程近似解”这个内容，当时我也是第一次接触，拿到这个课题之后，我的总设想是要通过这一节课体现新课程的理念。我的第一次教学设计于2005年1月在梁丰中学举行的苏州市新课程研讨会上进行了公开教学展示，随后，专家与同行提出了许多的宝贵的意见。在这个基础上我进行了修正，形成了第二次的教学设计，随后苏州大学鲍建生教授和罗强老师又到我们学校，通过视频案例的研究方式再一次进行了研究与讨论，使我对“二分法求方程近似解”这一内容的本质有了更加清晰的认识。在这个基础上，又形成了第三次教学设计，并于2005年2月在江苏省旴眙中学进行了公开教学，取得了相当的成功。 在这个成功的背后，更多的是在专家的引领下、在同伴的互助下，集思广益，形成了一个完善的课堂教学设计。下面我结合这节课来谈一些体会。 应该说当初第一次的教学设计，虽然也认真地研究了教材，也力图体现新课程的一些理念，例如，我尽量创造机会让学生进行自主学习、探索学习，尤其是在二分法方法的发现上，尽量让学生自己去探究。 第一次公开教学活动中，木渎中学的庄梅老师与我同题开课，听了她的课之后，对我的启发非常大，她没有过多地进行知识回顾，在二分法方法的归纳过程中，她的条理也非常清晰，并能注重数学分类思想的渗透。 在这节课后进行了交流评议，老师们提出课前对二次方程的根的回顾实际上没有必要，反而会限制学生的思路，好象硬要把学生引到老师事先预设的轨道上，教学过程显得比较牵强。同时，针对新教材倡导发展学生应用意识的要求，课上可以增加知识应用的环节。结合新课程提出的注重信息技术与数学课的整合的理念，教师们都认为应当增加一个知识拓展的环节，让老师用Excel现场进行操作。 在第二次教学设计当中，我采纳了大家的意见，删去了知识回顾的环节，在归纳总结时注意体现条理清晰，采用了分类讨论的思想进行方法归纳，同时也设计了知识拓展环节，现场利用Excel来帮助研究方程的近似解，还增加了一个供学生思考的应用题。第二次设计的教学就显得比较丰富，整体的效果也是不错的。 通过这样一次案例的研究，我觉得我的认识又有一个质的飞跃。我可以用这样几点来概括一下:第一，使我从更高的层次来领悟教材的意图;第二，专家们也提出，作为数学教学，要注重体现数学的价值，算法思想作为本课引出的一个重要的、新的数学思想方法应该积极、有效地进行渗透。 应该说这一点在原来的教学设计当中，自己的领悟还不是很深刻。 首先，在教学中要让学生感受到二分法虽然朴素，但是它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学当中要让学生感受“整体到局部”、“定性到定量”、“精确到近似”、“计算到技术”、“技法到算法”这些数学思想的发展过程。 其次，要更好的揭示教材的编写意图。二分法教学中，方法的建构、技术的运用、算法的渗透以及它们的同步发展过程，是这节课的隐性教学目标，在教学中它体现出一种螺旋式的上升:第一个阶段是从数到形，是为了更好的说明二分法的理论依据(根的存在性);第二个阶段是从形再到数，其中的形是包括从图象到数轴，再从数轴到表格。在这样的过程中的形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程。因此整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架当中:首先它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化是从整体到局部，去研究函数零点区间。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:1(感受?感悟?提升——“用二分法求方程的近似解”三次教学的体会，苏州市太仓高级中学，偶伟国。 张思明:好～通过这个视频我们看到了一种教研的新模式或者说是改进和提升教学设计的一种新模式，它的表现是“一个课例，两次反思，三次设计”。为什么设计这样一个过程,我们请嘉宾来谈谈认识和想法。 罗强:刚才偶老师说的二分法案例的研究过程我是组织者，也全程参与了。我觉得高中新课程实施为我们教师的成长提供了一个很好的契机，如何抓住这个契机，促使自己成长，我觉得需要我们在教研方式上有所突破。一个案例，两次反思，三次设计这样一种教研方式，可以使我们每个参与的老师打开自己思维的大门。 第一次教学观摩展示活动我们邀请了苏州大市所有的骨干教师一起参加的，那一次请了两个老师同题开课，在这个过程中就有了两种不同教学观念、教学习惯、教学方式的冲撞，在这种冲撞的过程中会形成的一种差异。在这个过程中，每个老师都有自我的反思，然后我们请偶老师在原有的基础上进行修改，完善以后再进行了第二次的教学设计。第二次教学设计，当时我们还邀请了苏州大学的鲍建生教授一起参加，使教学研究有了专家的专业引领。第三次我们请偶老师在全省的新课程研讨会上展示他的教学，当时新课程在江苏省还没有实施，偶老师率先把二分法这样一个新增内容在全省的高中教师面前做了一次非常成功的展示。 作为一个亲身参与者，我感觉到这样一种教研方式的优点，首先是打破了原有一种地域的限制，我们的视野充分地打开了，因为不同的教师、不同的思维方式都能积极参与到这样一种教学设计、对教材研究的过程中来。其次，教师也可以不断地突破自身认识的局限，就像偶老师刚才谈到的体会，他觉得这样一个过程对他以后的数学教学，都会有很大的帮助。 刘华:这个课例所反映出来的教研模式，我觉得不能把它简单的就是看作是公开表演前的练兵，因为我们看到有些公开课、包括评优课都是反复地练，练到最后教师只剩下表演的份儿，我觉得这不是我们这种教研活动所倡导的一个目标。 我们讲的是三次设计，而这个三次设计，是在第一次设计的基础上通过同伴互助、专业引领和自我反思不断提高的一个过程，最终形成的设计既是集体智慧 的结果，但更多的是这个教师在活动中自身素质提高、自身能力提高的一种展现，我觉得这可能是最重要的。 王尚志:我也很有感触～我觉得我们在新课程中强调过程，这个过程不仅是对学生的，对于教师来说也是一样的。通过“一个课例，两次反思，三次设计”这样的教研活动，我们关注的不是最后这个结果怎么样，而是在达到这个结果的过程中，全体的老师都得到不同程度的提升，我觉得这样的教研活动是我们应该追求的。 张思明:好～从刚才的这个课例中，我们看到了一种新的教研风格和教研模式。还有一种也是罗老师提倡的，叫“同题开课，同课异构”。让我们来看一下这种教研模式的一个案例，它是由苏州中学的刘华老师和苏州五中的赵莉老师就课题“两个基本计数原理”进行的同题开课。 下面我们来观看一下他们上课录像的片断: 苏州中学刘华老师的课堂实录片段:T——教师，S——学生。 T: 先看一个问题，掷一颗骰子出现点数小于3的概率是多少, S齐:. T: 好!怎么算的? 我请一位同学来回答。 S1:掷骰子一共有6种等可能的基本事件，然后小于3的有1和2(出现1或2点)，那么扔到1和2的概率就是。 T: 谢谢，请坐～我们知道，古典概型中，A事件发生概率的计算公式是P(A)= 。那么，现在我们的问题改为: m和n怎么计算, T: (我们发现)这个问题，本来是一个概率问题，现在发现它转化成一个计数的问题了，那么，如何计数呢,当然，这个问题很简单，遇到复杂的问题我们怎么样来计数呢,这就是我们今天要开始学习的新的一章——计数原理。 T: (见PPT)这是一则新闻，讲什么呢,苏州的汽车比较多，我们(苏州)现在的机动车总数是55.53万辆，至少说目前路比较挤，你们骑自行车要让着点。(问题是)什么意思呢,我们现在的牌照是什么样子的,苏EXXzzz„，苏E是地区代码，XX可以是数字或字母的组合，z是数字的组合。如果按此牌照方式编排，理论上苏州汽车数量总量是多少,这是个什么问题, T: (S;是计数问题)有人说要计算了，(学生中窃窃私语)有人已经算出来了吗,不着急。 T: 这里有张图，表示某城市的街道，西北角是同学的家，东南角是学校，那么现在的问题是:从家里经东西四条街南北五条街到学校，按照最短距离走的话，有几种不同的走法, T: (指着PPT)我们演示一下这是一种，它的图对应着这张图(PPT)。有没有其他的(最短路线,谁上来比划一下,请这位同学上来，在图上指出一条与原图不同的最短路线～请～ (S2上来指出了一条最短路线。) T: 这也是最短路线是不是,(继续问S2)好～你说他是怎么经过了怎么样一种方式走的最短路线, S2:(在最短路线中)他要么往东面走，要么往南面走，往东面走四格，往南面走三格(就能到了)。 T: 好，谢谢你～请坐～ T: 这个学生他往东(实际上就是往右)走四段，往南走三段就可以完成这件事，那么，一共要走几段,(停顿，让学生思考)一共要走七段是不是就走到学校了,那么大学能否算出有几种不同的走法, T: 这是一个什么样的问题, S齐:计数问题 T: 我们组合学中一开始先研究计数问题，来看书，书上说‘我们在社会生活的各个方面’，我还要再补充一句‘我们在数学中实际上也要涉及到计数的问题’。 T: 本章的问题就是利用怎样的模型刻画和解决计数问题。 „„ 完整的上课录像请查看拓展资源。 苏州市第五中学赵莉老师的课堂实录片段:T——教师，S——学生。 T: 春天来了，使很多人都产生了出游的想法，我也有这个计划，想从上海出发到青岛去旅游。那么大家知道，从上海到青岛可以选择坐火车，也可以选择坐汽车。好～那么我应该怎么来选择自己的出行，一共有多少种不同的方法呢, T: 大家注意了，这里面就涉及到一个计数问题，我把它抽象成一个简单的数学问题。我们一起来看一下。 T: 从甲地到乙地可以乘火车也可以乘汽车，若一天中火车有三列、汽车有两班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的做法,请大家考虑。 T: (结合板书)好～我们首先先用一张简单的图来把这个问题表述一下。这两个点代表甲乙两地，上面这三条线表示的是三列不同的火车，下面这两条表示的是两班不同的汽车。那么这个问题应该如何来解决, T: 好～(学生甲)～ S1:一共有5种。 T: 有五种对不对,那么这个5是怎么出来的,好那你考虑一下，从甲地到乙地，按照交通工具的不同，我们可以分为几类方式, S1:2类。 T:两类方式～你等一下，好～那么你告诉我:第一类方式乘火车有多少种不同方式,(S1:有3种)。好的～连下去～(S1:第二类有2种)。第二类就是乘汽车了，有2种不同的方法。那么从甲地到乙地共有多少种不同的方法,(S1:5种)，5种怎么连出来的,(S1:3+2)，3+2=5～非常好～请坐～ T:好～下面把这个问题我们来引申一下:我们说从甲地到乙地除了可以乘火车、汽车之外，还增加了一个交通工具——飞机，飞机有4架(班)，那么一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地有多少种不同的走法, S齐:9种。 T:9种对不对,那你是否能够模仿一下这个格式告诉我为什么是9种, T:那你告诉我有几类方式,(S2:三类方式)，第一类不变，3种，第二类也不变，2种，第三类有4种乘飞机了，那你告诉我从甲地到乙地共有多少种(不同的方法),(S2:9种)，9种怎么出来的,(S2:3+2+4)，3+2+4=9种办法。 T:那你再回答我的问题，我们说里面每类方式中的每种方法，能否单独实现从甲地到乙地的目的,(S2:可以)，可以的对不对,我们说里面的任何一种方法，都能够来完成这件事情，非常好～请坐～ „„ 完整的上课录像请查看拓展资源。 张思明:好～看完这两个教学实录以后，我们来听听两位老师对自己教学设计的一个说课。 刘华老师的说课:这节课的课题是“两个基本计数原理”，它是高中数学新课 -3第一章《计数原理》的起始课，以下是这节课的教学设程标准教科书选修2 计说明。 首先是本章的目标定位。以前的《数学教学大纲》将本章的教学重点放在排列和组合上，与《大纲》不同，《课程标准》强调的是计数原理，而将排列和组合作为基本计数原理的应用实例加以介绍。其次，本课的目标定位是通过实例，使学生自主建构分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并弄清他们的区别，使学生在面对一些简单计数问题时，能初步运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理加以分析和解决。 本节课的重点是使学生经历对实际问题进行方法建构的过程，从而掌握解决实际计数问题的流程:分析问题à构造方法à选择原理à解决问题。 本节课的难点是在具体问题解决中区别使用计数原理。 本课的教学流程是:问题情境à建构数学和学生活动à数学理论à数学运用à回顾反思。 问题情境分为本章引入与本课引入，在本章引入中，情境一是从古典概型中引入计数问题，设计思想是根据学生的最近发展区——学生已经学过了概率(古典概型)，他们知道在古典概型中，计算一个事件的概率可以用P(A)= 来计算，而由n和m的计算就可以引入计数的问题。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:3(“两个基本计数原理”教学设计思路及教学反思，苏州中学，刘华。 赵莉老师的说课:两个基本计数原理是新课程选修2-3中第一章的内容。我将从教材教法、教学过程、设计意图这三个方面来阐述我的设计思想。 第一，本节内容的地位作用。计数原理是数学中的一个重要的研究对象，本章所学的排列组合是组合数学的初步知识，这种以计数为特征的内容在中学数学中是较为独特的，它不仅影响广泛，是学习统计概率以及高等数学有关分支的准备知识，而且由于它的思想方法灵活独特，也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。 本节课讲的两个基本计数原理是本章的重点内容，是人类在大量的实践经验的基础上归纳出来的基本规律。它们不仅是推导排列数组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终。 从思想方法的角度看，两个原理一个是将问题进行分类处理，另一个是将问题进行分步处理，从而达到分解问题、解决问题的目的。因此对两个原理的理解掌握和运用，成为本章内容的一个关键。 第二，对本节内容作一个分析。分类计数原理和分步计数原理都是设计完成一件事的不同方法的总数，它们的区别在于分类计数原理是将办事方法分为若干类，每一类方法之间是相互独立的，用任一种方法都可以完成这件事情;而分 步计数原理是将办事方法分成若干步进行，各个步骤相互依存，必须是各个步骤都完成了，这件事情才完成。 因此，分辨清楚办事方法是分类还是分步，是科学使用两个原理的前提，也是本节课的一个难点。 „„ 完整的说课资料请看拓展阅读材料:4(“两个基本计数原理”教学案例，苏州市第五中学，赵莉。 张思明:听了两位老师的说课，当时现场的很多专家都发表了意见，这里面我们特别想给大家介绍一位来自江苏省苏州中学的特级教师——夏炎老师，他在现场为这次同题开课活动做了一个点评，让我们来看一下这个点评的录像。 夏炎:就数学课堂教学的设计来讲，最近我也在做一些思考，我认为课堂教学设计不外乎就是这样四个方面:一是问题的设计，二是过程的设计，三是活动的设计，四是语言的设计。 应当说每一个环节都决定了一节课的成败，特别就数学课来讲，我认为数学课应当有数学味，这说明数学同其他的学科有着它不同的地方。而数学味，从教学过程来讲，可能从这样三个方面来考虑:其一，问题的情境应当是有比较明确的数学背景和数学意义，应当是简洁明了的。目前，大家都普遍的重视问题情境的铺设和引入，但这个问题点到怎样为止,问题的意义、价值如何,问题本身有浅显的，也有一些有一定的深度。就这些方面来讲，可能还需要有更多的思考。 第二，从教学过程看，需要达到有效、清晰。数学作为一个思辨的过程，体现在严谨、合理这些方面。就数学课来讲，这个数学味还体现在核心内容——数学思想方法的渗透中，这也是数学作为一种理性文化的核心所在。 一节好的数学课，要把它归纳一下，可能可以用这样十个字:第一是“明白”，数学语言本身精当，因此在数学教学中，语言组织、分析讲解应当是明白、直白的;第二是要“厚重”;第三是“灵动”;第四个是“思辨”;第五个是“留白”。 接下来我结合今天的课来作一些阐述。前面一节刘华老师的课我其实只听了半节，下午赵莉老师的课听全了。我觉得这两位老师的课都上得非常成功，刚才许多老师都评点到位了。此外，我还有这样几点体会，就是他们的亮点或者说成功之处，第一是我认为他们在课堂上的问题教学的运用非常巧妙，也组织的非常好，既有大背景的问题，就是整个章节的问题，也有小课题的背景，就是今天讲的两个计数原理的背景。我觉得就一个章节来说，提出一个大背景，特别是提出一个需要学生长效思考的问题，还是有一定价值的。这样的问题其价值与功能，对所讲授的章节是非常有必要的，特别是对一些学有余力的学生，他可以在课后能够再更深入一步去思考。当然，作为课堂教学，我们更要注重的是这节课的教学需要，这节课的问题情境的创设。应当说这两位老师今天对问题的处理，都做到了前后呼应，也非常的直白明了，也达到了效果。 两位老师在课堂上建构主义思想的运用也用得非常好，我非常欣赏赵莉老师两个基本原理的引入，从情境到提炼成一个数学问题，再到归纳，最后再总结出两个基本原理。在黑板上面有板书的过程，尽管最后两个基本原理在PPT中都清晰地反映出来了，但是这个基本原理怎么来的，就是从一个最简单的情形，从两段到三段到四段，然后再从数字到字母等等，最终由学生归纳出来的这个 过程，其实也很好的体现了这种建构。知识的建构从认识论的角度来讲，就是这样一步步来的，所以有的时候呢，我们想还原这个建构过程，让学生自己来体验，自己来创造知识，这对学生学习积极性的调动还是非常有价值的。 第三，就是变式训练，今天我们也可以看到两位老师处理不同内容时的这种变式也做的非常好，比如说像刚才两个基本原理的教学，也是通过一系列的变式后才归纳出来的。在变式过程中，不仅仅是一种技巧的积累。最近我看到鲍建生教授出了本书，专门讲变式训练。变式训练也是我们中国数学教学的一个特色，通过几次数学大会的介绍，国外也认同我们这种数学教学的模式是一个成功经验。所以，像这种变式训练，它的价值如果从更广的意义上来讲，它主要就是把一种技巧训练，上升为一种对学生的思维训练。特别是对数学本身的一种功能的提升，上了一个层次。 当然就变式训练来讲，我想有的时候如果能够再有一些拓展，对一道题目做一下引申，可能对学生的发展价值更大。比如说，赵莉老师最后那一道涂色问题，她是从3种颜色，然后提出4种5种等等，是从颜色种类进行变式，其实我在想，还有两个方面加入作为思考题也好，或者作为有时间的话引申一步也是可以的，第一个呢就是图形的变化，而不仅仅是颜色数目的增减，比如像刚才蒋老师提到的把这个图形变成田字形，那情况就不一样了，不仅仅是一个乘法原理可以解决的了，而且还要考虑加法原理，因为对角线上两个格子，可能同色也可能不同色，这样的话呢，就可以把加法原理跟乘法原理通过一个简单问题，让学生结合起来体会一下——原来解决这个问题，不仅仅需要加法原理或者乘法原理，很多情况下可能还需要两者结合起来用。第二个呢就是方式方法上面的变式，因为现在是字母写了ABCD，那么学生一般来说可能就按照顺序ABCD或者有的时候是1234这个顺序进行涂色。如果没有这个顺序，刚才有的老师提出来了，比如说我填色可能是先填A再填D，或者先填A再填C，这里面是不是会有一些不同的想法，那可能就会多了或者少了，多的原因是什么，少的原因又是什么,通过这样一种训练，学生的思维层次可以进一步的提升。 第四，今天的课上，教学活动的有效性，尤其是有效的容量体现在三个方面:一是知识的容量，这是我们作为数学教师在备课、教学中应首先关注的;二是活动的容量，我也比较欣赏赵莉老师最后的那个“PK”，通过这样一种形式把课堂的训练搞活，使学生都参与进来，场面也非常的活跃，这样的设计也很成功;三是思维的容量。今天的课就这三个容量来讲，确实都达到了预期的目的，也都有非常理想的发展空间，学生在这个过程中，得到了非常好的训练。 张思明:好～在上面的案例里，我们看到改进和完善教学设计应该是学校抓教学的一个非常根本、非常重要的环节，我们希望把这种环节同校本教研结合起来。校本教研是一种帮助教师深入理解新课程，不断改进教学的一种重要的方式。我们下面来看一个集体备课活动，它是由苏州市第五中学数学组，就“等比数列的前n项和公式”开展的一次集体备课活动的录像。 苏州市第五中学数学组的集体备课的实录片段:(备课组一起进行了备课研讨，两位老师谈一谈备课的设想) 顾琦:这节课的课题是“等比数列的前n项和公式”的第一课，备课的时候我从五个方面:教材、我想达到的一个目标、整个过程、如何去教、是否达到我所预期目的来进行备课。 在教材分析方面，等比数列的前n项和是这一章中的一个主要内容，而且它和实际生活有着比较广泛的联系和应用，像我们现在的储蓄、分期付款等有关计 算、公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，这些都是学生今后在学习和工作中所必备的数学素养。从学生的认知角度来看，可以从等比数列、等差数列前n项和公式中形成特点方面进行类比，这是认知的有利因素，从认知的不利因素来看，这一节公式的推导和等差数列前项和的公式推导有着本质的不同，这对学生的思维定式是一个突破。另外n 对于=1这一个特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用过程中，更q 加容易出错。这一节的重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用，难点是 与1的关系。 公式的推导方法及公式运用中q 具体的情境创设方面，首先是引入了背景问题——存款买车，就是将存款看作一个等比数列，如2004年存了2万，2005年存了2.2万，2006年存了2.42万，然后发现这三年里每年存的钱比上一年都增长10%，实际上是提示学生，这是一个等比的增长幅度。按照这个规律到2008年底，可以买一辆多少价位的汽车,这个设计的目的是在引入课题的同时，激发学生的兴趣、调动学习的积极性，因此，故事情境内容生活气息浓一点，而且有实际的应用需要。 然后分析每年存的钱构成一个以2为首项1.1为公比的等比数列，所以我们可以把它看成是一个等比数列前n项求和的问题。我们把他所存的钱罗列出来，引导学生写出五年存款数，通过加法算出是12万多一点，这时学生的做法是把等比数列各项直接加起来。 接下来，对情境问题进行变式，比如买房子，让学生去算一算，如果我把这些钱按照这个规律存到2020年，是否可以去买一套70万左右的房子,那么这个 项中的项数由5项扩展到17项，使学生意识问题的提出，实际上就是把前nn 到，在很多实际情况中，把数字一个一个加起来求和不切实际。即通过把情境扩展到求S，让学生感受到必须要找一个更快捷的方法，即去寻找等比数列前17 n项的和的公式。 教学的关键是要花时间去营造知识形成过程，使学生突破学习障碍，通过繁难情境，激起学生的求知欲，让学生感觉到一个一个相加确实有困难，就必须寻找一个比较简单的计算等比数列前n项和的方法，使问题迎刃而解。 „„ 完整的录像请查看拓展资源。 张思明:大家看完这个录像以后不知道有什么感受,我们请嘉宾来做一个分析。 罗强:新课程的一个重要理念是要让每一个学生得到更好的发展，但是在新课程实践过程中，我们同时还有感受，就是我们的每个老师，也得到了更好的发展。当然这种发展需要一种新的教研机制。 我们苏州五中一贯非常重视在教研活动使每一个教师得到发展，刚才展示的就是我们的一个校本教研的活动方式，我觉得这样一种活动方式可以为我们接下来进入新课程的学校所借鉴和采纳。因为在这个过程中，我们觉得我们自己的收获非常地大，我们的每个老师也得到了实实在在的发展。 刘华:我来补充两句，我们以前谈到校本教研，大家想到的是什么呢,就是集体备课，认为把进度统一一下，把重点难点说一下，然后大家分头回家操作。有些学校甚至于提出来统一教案、统一进度、统一习题、统一例题——全部都统一，我觉得校本教研不应该是这样。作为教师来说，个体间的差异非常大，学生差异也非常大，就算是在同一个学校不可能全部都相同，而且每个教师的教学风格也都不一样，因此不应该强求“统一”。 在校本教研活动中我们强调的是同伴互助和专业引领，我认为应当让每一个教师在活动当中都有不同的收获，而不纯粹的是一个集体备课、统一进度这样一个过程。我认为从这一点上来看，校本教研的模式确实有需要加以改革的空间。 张思明:我个人感觉到的是校本教研要突出一个“研”字，要“研”什么,我个人感觉到因为新课程面临这么多新的内容，就跟我们做教学设计似的，最起码有三个维度要做。第一个我们要“研”教材，在教材之上的是要“研”数学内容。我们自己当老师也当了十几年甚至几十年的老师，但是在这个数学问题的这个研究上，我们个人感觉到，特别是老师有一种惰性或者是有一种害怕，当老师了以后，好象不太愿意再去触摸“研”这个东西了，就是脱离了对数学的研究，这样使我们对教材本身的数学内容的理解有局限。 第二个“研”就是要研究学生。我们教学对象是学生，我们的目标是要促进学生的发展，我们用什么手段、什么样的程序、什么样编排、什么样的情境能够激发学生对数学知识的理解和兴趣,这个也是需要教师研究的。我记得北京有一位老师叫薛文序老师，他是石油附中的特级教师，他的那个校本教研做得非常具体，例如，他就说学生是怎么理解的,他每天答疑时把学生叫来，提出问题然后学生回答，他能从学生回答的差异中，发现学生对知识理解的差异，比如说，他在“提公因式”这一教学环节设计了很多“台阶”让学生做，做完的以后问学生哪儿过不去，他研究发现学生只能有两种因素的差异是能迈过去，比如说字母相同、指数不同这是一种，然后这个指数相同、底数不同„„它的差异只要超过两种层次就过不去了，那么他的这种非常到位的教研就发现了对于这种程度的学生应该是小坡度，频率应该是每次不要超过两个层次，用这种方式来解决学生的认知困难，我觉得这就是非常到位的教研。 第三个“研”我觉得还是要从教的角度，就是说我再去把教材和数学内容和学生结合起来来找到自己“研”的突破点，就像前面老师做的这些设计一样。 张思明:好～我们看到了几位老师和专家对于完善和改进教学设计提出了很多很好的意见，我想这是我们每个老师都要从自己做起的事情，新课程给我们提供了一个非常好的平台，我们也希望老师从自己的日常教学出发、日积月累、一步一步地使自己的教学能够走向更高的水平。这样做不仅给自己带来了快乐，也给我们学生带来了更多的收益。 同样的，我们也希望每一个学校的教研室主任，每个学校的校长也要思考用什么样的方式给我们的老师创造更有益的教学研究的环境和氛围，用什么样的方式促进我们每个老师更好的发展，把我们的教学做得更有声有色。 我们这个专题就要进入尾声了，作为教学设计的专题，我们希望老师们一起思考如何更好地进行教学设计，寻找出一个好的教学设计或者说一个好的教学应该有那些特征, 从刚才的这些分析里我们能得到哪些启示,我们给大家留的思考题有这样一些: 1. 结合您的教学实践，请您从刚才我们提到的几种课型中，比如说概念、方法、复习、习题课中，选择一节课，来做一个您认为满意的教学设计。 2. 针对不同基础和思维水平的学生，在不同课型上的教学设计还应该注意什么, 3. 有人说，现在课堂教学真正的弊端在于教学不到位加教学越位，如何理解这句话,能否举出一些具体的事例, 4. 请您就不同课型如何使用现代信息技术,提供一个教学设计的案例。 5. 评价教学设计好坏有哪些维度,一节好课的特征有哪些,