时域有限差分法发展综述

时域有限差分法发展综述 潘忠 摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD 法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。 随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用 范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有 限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结 论。 关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析 A Summary of FDTD and Development at Home and Abroad Zhong Pan Abstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn. Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis 1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法 (Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD法 才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段，即 由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一， 是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell旋度 方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的 迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求 解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较 低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的 分析与 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂 量学、瞬态电磁场研究等多个领域。 经过了近四十年的发展，FDTD法在计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来，讨论FDTD法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。现就几个主要方面综述如下: 1 FDTD法在计算方法上的发展状况 1.1吸收边界条件 用FDTD分析电磁散射、辐射等开放或者半开放性质问题时,受计算机内存容量限制,不可能直接对无限的空间进行计算,因此必须在截断处设置适当的吸收边界条件,以便用有限网格空间模拟开放的无限空间.目前对吸收边界条件的比较系统和深入的研究,主要是沿着两个方向进行的,一是在边界上引入吸收 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 ,电磁波在无反射地进入吸收材料后被衰减掉,如PML。二是通过波动方程的因子分解获得单行波方程并取近似来建立吸收边界条件。 Mur吸收边界条件以实施方便简单、吸收效果较好而获得广泛应用。然而,在使用中注意到,一阶近似的Mur吸收边界条件虽简单易行,但直角坐标系下采 在角区域称作较大误差,且不易向三维推广,而二阶近似尽管精用Yee网格划分, 度较高,但编程复杂,且对三维情况还可能出现结果发散的现象。 [1]完全匹配层(PML)首先由Berenger提出。通过在FDTD区域截断边界处设置一种特殊介质层,该层介质的波阻抗与相邻介质的波阻抗完全匹配,因而入射波将无反射地穿过分界面而进入PML层。并且,由于PML层为有耗介质,进入PML层的投射波将迅速衰减,即使PML为有限厚度,它对于入射波仍有很好的吸收效 果。 廖氏吸收边界条件可以看作利用Newton后向差分多项式在时空对波函数进行外插的结果,是将边界上的场值用垂直于边界上采样点的场值来表达。其在网格外边界引起的反射比Mur二阶吸收边界条件要小一个数量级。 Tan于2001年提出的驻波-行波边界条件是在FDTD计算空间的边界设置理想导体,波到达边界将发生全发射,若边界是理想导电(磁)壁,则切向电(磁)场为零,切向磁(电)场是入射场的两倍,同时反射场将向回传播,在区域内部形成驻波,随着时间的推移驻波向内扩展,而在反射波未到过的区域场仍呈外行波状态.要将反射波滤除,只需在每个时间步迭代时将算出的边界磁场(对理想导电壁而言)[2]或边界电场对理想导磁壁而言除以二即可。 1.2激励源设置 FDTD法建模中,除了需要在足够的网格空间中模拟被研究的媒质外,合理进行激励源的建模也十分重要。因此,需要尽可能将源的特性与实际物理模型性质一致。根据激励源的能量来源不同,可以将激励源分为外激励源和内激励源。如果源的能量在计算区域外部,采用特定极化、给定方向的平面波形式作为激励源。而对于内激励源,这方面的研究较少。它主要由电压源或电流源产生。这些内部源一般采用理想源模拟,如普遍采用电流密度J,它是麦克斯韦方程中产生电磁场的主要激励源。由于电流源是个理想源,所以不一定是激励源的最合理模拟。 同样,采用理想电流源还是采用有限内阻的电压源都会影响被研究物体的近、远场特性。而且在大多数EMI/EMC问题中,被研究的激励源要比偶极子复杂得多,且辐射源的内部构造也将影响整个辐射特性。因此FDTD法中合理进行激励源建模很重要。需要根据具体的物理现象对激励源建模,从而根据FDTD方程得到最符[3]合实际的电磁特性预测。 1.3网格剖分技术 传统的FDTD法都是采用直角坐标系中均匀的巨型网格，差分格式所能模拟的最小尺度为一个网格，对于小于一个网格的尺寸，需要近似为一个网格，这样会给计算带来误差。当用它模拟不规则的边界时，就只好用阶梯折线来近似代替曲边.而这种近似只有在计算网格足够小的情况下才能获得高精度解，但是这又必然增加计算网格，这将大大增加计算机内存和计算时间。另外，对于电大尺寸散射体上的某些电小尺寸的局部(如小孔、窄缝、细线等)，经典的FDTD法很难[4]处理。一种改进的方法就是网格剖分技术。这些技术能在整个计算区域网格保持较大尺寸的同时，通过修正局部网格的差分格式来减小误差。这些网格剖分技术包括: (l)亚网格技术:Kasher和Yee提出亚网格技术。亚网格技术涉及细导线和窄缝的模拟，在不同的计算区域使用非均匀网格等。Holand和Simpson提出的细导线的模拟方法;Gillert和Hofand提出的窄缝的模拟技术;王秉中提出的增强细槽缝公式以及他对小孔祸合问题的数值模拟:Monorehio和Mittra提出的基于FDTD法和TDFEM相结合的亚网格技术非常引人注目。 (2)共形网格技术:Mei等提出共形网格技术。共形网格技术是在一些与被模拟物体表面共形的网格中使用环路积分来得到场分量方程的差分形式。Taflove从积分形式的Maxwell方程出发，提出了环路积分(CP)法，为任意形状的散射体、辐射体的模拟带来方便。 (3)在计算区域使用非均匀网格算法:Kunz和Simpson首先提出了局部网格细化技术，采用这种方法只需在需要细致模拟的部分使用细分网格，而其余部分则可用粗网格。Gao.B.Q等人发展了扩展网格技术。王加莹等人提出了处理复合导体边界的规则连接面的子域连接法，以时间的增加来换取计算空间。另外，还出现了三角形网格、六边形网格以及平面型广义网格。 (4)在提高计算效率方面还有PSTD方法，MRTD方法。 2 FDTD法在实际应用上的发展状况 2.1曲线坐标系中的FDTD 经典的时域有限差分法都是采用矩形网格，在直角坐标系中把麦克斯韦旋度方程转化为差分形式。在矩形网格构成的网格空间中模拟任何弯曲的边界，只能采用阶梯形近似的方法或环路积分法。若采用阶梯近似来拟合表面，则会产生两个问题: (l)阶梯表面可能激励表面波传播，引起附加数值色散。 (2)为了拟合曲率半径小的表面，则要减小网格尺寸，这就会增加计算内存和时间。使用环路积分法时，可能会因为在一些地方破坏了计算稳定性条件而导致计算失败。这两种方法都存在误差和稳定性方面的缺陷。一般来讲，只有在所选坐标系的坐标面与所模拟的电磁系统的表面相一致时，所选择的网格空间才能简便而精确的模拟其几何形体。由于麦克斯韦方程是矢量方程，它在任意坐标系中均成立，因此在任意坐标系中均可建立FDTD算法。圆柱坐标系、球坐标系、抛物线坐标系以及椭圆坐标系都属于正交坐标系，FDTD法在其中都有应用。为此，Holland(1983年)，Madsen(1988年)，Fuseo(1990年)等人对非正交曲线坐标系中的FDTD法进行了讨论。柱坐标系属于正交曲线坐标系，FDTD法在其中的应用较为常见。随着曲线坐标系中FDTD法应用的增多，人们提出了各种相应的吸收边界条件。 2.2表面阻抗边界条件(SIBC) 在FDTD法中，为了保证一定的计算精度和必要的相位信息，所有网格空间的步长与波长之比有一定的限度。在一般情况下要求空间步长不大于波长的十分之一。如果计算空间中包含高介电常数的媒质，由于波长比自由空间中短，使得网格空间步长也要相应变小，如果采用均匀网格空间，则计算时对内存的需求大大提高。如果介质所占空间内的场不必知道，则可用SIBC避免介质区域内场分布的计算。从而仍可采用自由空间的网格空间步长，这样可以大大节省存储空间和计算时间。自Maloney和Smith(1992年)以及Beggs等人在FDTD法中引入时域SIBC以来，SIBC在FDTD法分析实际电磁问题时得到了很多应用。 2.3适用于色散媒质和各向异性媒质的FDTD法 FDTD法最初主要应用于各向同性的非色散媒质。但在实际应用中，经常遇到色散媒质和各向异性媒质，因而研究适用于色散媒质和各向异性媒质的FDTD法具有极大的实用价值。要得到媒质色散特性的时域算法，关键是如何将媒质的频域参量连同相应的频域场分量变换为时域参量和场分量，以建立起FDTD迭代方程式。Luebbers等(l990年)提出一种卷积的递归算法，导出了适用于Debye色散模型的时域有限差分格式，在1992年又把这一方法发展为适用于N阶色散媒质的形式。由于媒质色散模型的建立与使用较为困难，所以适用于色散媒质的FDTD法还有待进一步发展。肖飞等从频率空间或者波数空间中实现对理想偏微分算子的逼近，构造一种新的具有低数值色散关系的最优时域有限差分方法。各向异性媒质在微波原件、微波电路及电磁波吸收材料等方面有广泛应用，因而较好的推动了各向异性媒质中FDTD法的研究。随着FOTD法研究的深入，适合各向异性媒质的吸收边界条件也在不断发展，如陈彬等人(l996年)将PML和MPML概念推广到各向异性媒质，杨利霞，葛德彪导出磁化色散介质中的磁感应强度B和磁场强度H在离散时域的色散关系，并将其具体应用于旋磁介质，得到了这种磁化色散介质的Pade时域有限差分方法的递推表达幻间，大大提高了FDTD法分[5]析时吸收边界条件的性能。 2.4交替隐式差分格式算法(ADI) Peaceman和Rachford提出了著名的交变隐式差分方向方法(简称ADI法)，这种方法的特点是所求得的解是无条件稳定的。为了摆脱FDTD法计算过程中Courant稳定性条件的限制，节约计算时间，日本的NAMIKI(1999年)将此方法应用于FDTD，提出了交替方向隐式FDTD(ADI-FDTD)。该方法采用求解微分方程的交替方向隐格式对FDTD法进行改造，使其能无条件稳定，从而极大地节约计算时间。ADI-FDTD提出后，F.zheng针对三维问题报道了一些数值结果，并研究了解的稳定性和数值色散。Liu和Gedney(2000年)很快提出了适合ADI-FDTD的[6]完全匹配层吸收边界条件。C.P.chen报道了ADI-FDTD法在VLSI互联线电磁特性模拟方面的应用。 2.5并行计算技术 由前面的分析可知，FDTD法对计算条件的要求较高，因而在处理电大尺寸空间中的电磁场问题时常常受到限制。采用并行FDTD算法是解决这一问题的有效途径之一。由于目前大规模并行计算机价格昂贵，用FDTD法计算时希望利用较为经济的高性能PC机，但PC机在CPU计算能力及内存容量方面有很大局限。利用网络并行计算技术将多台PC机联网工作，可实现使用现有的高性能PC机解决大内存的要求，且可大大缩短计算时间。目前，并行FDTD计算涉及MPP、阵列机、工作站集群系统。并行计算技术在网络并行计算及区域分割并行FDTD算[7]法等方面己取得不少进展。在目前高性能计算机系统中，最广泛使用的一种 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是MPI，它己成为一种并行程序的标准。MPI的理念是需要将问题的并行求解算法转化为特定的适合并行计算模型的并行算法。 2.6减少场量存储的FDTD算法(R-FDTD) FDTD法对计算机内存的要求较高，因而在处理大尺寸空间中的电磁场问题时常常受限。采用并行FDTD算法是解决这一问题的有效途径之一，但由于目前大规模并行计算机价格昂贵。为尽量减少FDTD法计算过程中对电磁场量的存储，从而降低对计算机内存的要求，Kondylis等人于2001年发表的文章中提出了[8]R-FDTD算法。这种算法只需在每个时间部计算磁场(或电场)分量的过程中，某个电场(或磁场)分量只要在很小的局部区域进行计算并存储，而该分量在其他区域的值是通过分量间的空间关系式导出的，无需存储，该算法可将计算区域内电磁场量的存储减少约三分之一。但其应用仅限于在无耗媒质中和直角坐标系的情形。余同彬等人于2003年从FDTD形式的麦克斯韦旋度方程出发，得出了适用于直角坐标系中有耗媒质中的R-FDTD算法，并提出了柱坐标系中的R-FDTD算法，拓展了R-FDTD算法的使用范围。 2.7旋转对称时域有限差分法(BOR-FDTD) 旋转对称时域有限差分法(BOR-FDTD)是专门用于分析旋转对称结构问题的时域有限差分法。该方法将电磁场展开成方位角的傅立叶级数(角谱)，然后对级数中的每一项采用时域有限差分法进行计算，从而将三维问题转换成二维问题进行处理。与传统的频域方法相比BOR-FDTD具有的优势主要表现在以下几个方面: (l)提高运算速度。将三维问题转换成二维问题进行，大大减小了对计算机 内存的要求，使原本无法在PC机上计算的问题转化为可在PC机上计算的问题。若用于计算封闭的导体问题，由于导体内部电磁场为零，可采用分区算法，进一步减小内存和计算量。 (2)通过一次时域计算，就可以获得目标的宽频带信息。 (3)可以方便的处理复杂边界和电磁介质。由于在达到同样的计算精度的情况下，该方法的计算量较少，因此同样的计算量，可以处理更复杂、更精细的问 如果将时域有限差分题。而且该方法，可以处理大尺寸问题和薄介质涂层问题; 法中减少计算成本，提高计算效率的诸多方法应用其中，则可进一步提高计算效率，便于处理更加复杂的实际问题。如:T.G.Jurgens把BOR-FDTD方法应用到粒子加速器的设计中;D.W.Prather等人对平面波以对称轴方向入射情况下，采用二维PML吸收边界条件，应用BOR-FDTD分析光学器件的衍射问题BOR-FDTD [9]在辐射天线、微带天线和导波、谐振腔、电缆、电线的分析计算中均得到应用。 3 FDTD法和其他算法的混合运用 为了提高FDTD解决复杂问题的能力，充分利用其他数值算法的长处，发展了多种混合算法。解决电磁场问题有许多种方法，如:经典的解析法、有限元法、FDTD法、矩量法等。每一种算法均有自己的优点，因此，我们可以充分利用其他算法的优点，克服本身算法的不足。如:将频域的矩量法和FDTD法结合构成的一种算法，这种算法的优点是:计算内部场时不需引入Green函数，并且该方法可以处理结构尺寸比波长大而耦合口径可与波长比拟的问题.近几年发展迅速的[10]半解析数值方法也是一个典型，它研究解析与数值结合方法的数学基础和基本原理，研究所应用的解析解与解析函数如何与离散化过程相结合，建立适合上机计算的运算格式，它可达到分析简便、节约资源、计算迅速、结果准确的效果。 4 FDTD法的进一步发展 总之，时域有限差分法经过了四十年的发展，现在己日趋成熟并被广泛应用。目前FDTD法的主要发展方向是提高计算精度，增加模拟复杂结构的能力，减少计算机内存和计算时间，并不断扩大其应用范围。 参考文献 [1] J.P Berenger. 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