全国初中数学竞赛辅导(初三分册)-基础篇-第二讲 无理方程的解法-教学考试网
内容
全国初中数学竞赛辅导(初三分册)-基础篇-第二讲 无理方程的解法
第二讲 无理方程的解法 未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种(解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题
方法
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(常用的方法有:乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等(本讲将通过例题来说明这些方法的运用(例1 解方程 解 移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
x2，3x28,0，
所以 x1,4，x2,7(经检验知，x2,7为增根，所以原方程的根为x,4(说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根(例2 解方程
方公式将方程的左端配方(将原方程变形为
所以
两边平方得
3x2，x,96x，x2，
两边平方得
3x2，x,x2，6x，9，
例3 解方程
即
所以
移项得
例4 解方程 解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的(将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以 x,1，y,2，z,3(经检验，x,1，y,2，z,3是原方程的根(例5 解方程
所以
将?两边平方、并利用?得
x2y2，2xy8,0，
(xy，4)(xy2),0(
xy,2( ?
例6 解方程 解 观察到题中两个根号的平方差是13，即
???便得
由?，?得
例7 解方程 分析与解 注意到(2x21)(x23x2),(2x2，2x，3)(x2x，2)(
设
则
u2v2,w2t2， ?
u，v,w，t( ?
因为u，v,w，t,0无解，所以???得uv,wt( ? ?，?得u,w，即
解得x,2(经检验，x,2是原方程的根(例8 解方程 整理得 y31,(1y)2，
即 (y1)(y2，2),0(
解得y,1，即x,1(经检验知，x,1是原方程的根(
整理得 y32y2，3y,0(
解得y,0，从而x,1(例9 解方程 边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程(根据合分比定理得
两边平方得
再用合分比定理得
化简得x2,4a2(解得x,?2a(经检验，x,?2a是原方程的根( 练习二1(填空: 2(解方程 3(解方程 4(解方程 5(解方程 6(解关于x的方程
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