指数函数与对数函数的图像及其性质
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学员编号: 年 级:高三 课时数:
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课
题
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指数函数与对数函数的图像及其性质 授课时间: 备课时间:
有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质 教学目标 掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。
综合运用指数函数的图像与性质解决问题 重点、难点 综合运用对数函数的图像与性质解决问题。
考点及考试要求
教学
内容
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讲解新课:
根式
n,nx,a(n,1,n,N)axann1、如果，那么称为的次实数方根;式子叫做根式，其中叫做根指数，a叫做被开方数
a(a,0),,,nnnn,a(a,0).aa,2、方根的性质:当n为奇数时，=a.当n为偶数时，=|a|= 2(分数指数幂
11mmm,nnmmnnnaaa(1)分数指数幂的意义:a=，a==(a,0，m、n都是正整数，n,1). (2)有理数指数幂的性质:
rsr，srsrsrrra,a,a;(a),a;(ab),ab(a,0,b,0,r,R,s,Q)
二、指数函数的图像及性质的应用
yyy=a
a> x?指数函数的定义:一般地，函数y=a(a,0且a?1)叫做指数函数. ?指数函数的图像
y=a x x 1( )
(0,a,1)1
x x OO1
?底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称.
?指数函数的性质:
定义域:R;
值域:(0，，?);过点(0，1);即x=0时，y=1.
当a,1时，在R上是增函数;
当0,a,1时，在R上是减函数.
画指数函数y=ax(a,0且a?1)的图像时，应该抓住两点:一是过定点(0，1)，二是x轴是其渐近线
f(x)y,a(2)利用复合函数的单调性判断形如的函数的单调性:
f(x)y,ay,f(x)a,1若，则的单调增(减)区间，就是的单调增(减)区间;
f(x)y,ay,f(x)0,a,1若，则的单调增(减)区间，就是的单调减(增)区间; 2. 指数函数的图像与性质
(?) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 x(1)y=a， x(2)y=b， x(3)y=c，( x4)y=d
0,c,d,1,a,b则
yy在轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,
y即无论在轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
x,xy,ay,a(a,0,a,1)y(?) 指数函数的图像与的图象关于轴对称 3.指数型的方程和不等式的解法
f(x)f(x)f(x)a,b,a,b,a,b(?)形如的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等
方法
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;
2xx2xxa，Ba，C,0(,0)a，Ba，C,0(?)形如或的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等
式求解。
?热点考点题型探析
题型1. 指数幂的运算
12,7200.2563433，,，，，，,1.5()82(23)()63[例1] (湛江市09届统考)计算:
[新题导练]
369963a,a(a,0)(高州中学09届月考)经化简后，的结果是 1.
36a,,a,2.
题型2:利用函数的单调性求函数的值域
12x，xx,2x,x4[例2] 已知2?()，求函数y=2,2的值域.
12[例3]、 已知函数,,,，，(1)求函数的定义域、值域;(2)求函数的单调区间。 yx()34x2
x35，a,,xfx()64,例4、已知关于x的方程有负根。(1)求实数a的值的集合M;(2)若函数,,,432a，,,
的定义域恰为M，求f(x)的值域。
[新题导练]
xy,a,1(a,0且a,1)y,2a4((金山中学09届月考)若直线与函数的图象有两个公共点，则a
的取值范围是_______.
x，1ya,,2a5((广东恩城中学09年模拟)不论为何正实数,函数的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________
fxxaxb()()(),,,ab,6((广东广雅中学09届月考)已知函数(其中)的图象如下面右图所
xgxab(),，示，则函数的图象是( )
A( B( C( D(
xfxgxe()(),,fxgx(),()f(3)R7((08年安徽改编)若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则、g(0)f(2)、的大小关系为
题型7. 与指数函数有关的含参数问题
xx[例6] 要使函数y=1+2+4a在x?(,?，1,上y,0恒成立，求a的取值范围.
[新题导练]
1xf(x),2,tx2f(2t)，mf(t),0t,[1,2]m28((2008上海) 已知函数,若对于恒成立，求实数的取
[5,),，,值范围 ;
xx1，2，4,a3f(x),lg(a,R)a,,x,(,,,1)f(x)349(设,如果当时有意义,求a的取值范围. ;
210、若关于x的方程,4?(5,|x+1|),m=0有实根，求m的取值范围。 51,，x，，
ax()2fx,,xyfx,()211.(广州六校09届联考)已知函数, 将的图象向右平移两个单位, 得到
ygx,()的图象.
ygx,()(1) 求函数的解析式;
yhx,()ygx,()y,1yhx,()(2) 若函数与函数的图象关于直线对称, 求函数的解析式;
对数及对数函数
?知识梳理
对数的概念 b如果a=N(a,0，a?1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logN=b ab,a=NlogN=b(a,0，a?1，N,0). a
二、对数的运算性质
M
Nlog(MN)=logM+logN. log=logM,logN. aaaaaa
nlogM=nlogM.(M,0，N,0，a,0，a?1) aa
三、对数换底
公式
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:
logNa
logbalogN=(a,0，a?1，b,0，b?1，N,0). b
利用换底公式推导下面的结论
n1nlogb,(1)logb,logb; (2)( maaalogamb
logNnaloga,n对数恒等式:?a,N; (2)( a
四、对数函数的图像及性质
yy
?函数y=logax(a,0，a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下 logy= x a>
1a( )
x x OOlogy= x a1
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示
[名师指引] 对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运算可能要综合其他知识交汇命题
[新题导练]
11loglog,54451((高州中学09届月考)的结果是
xx,xlog41,344，2((中山市09届月考)若，求的值(
loglog4mn，,33m，n((广东吴川市09届月考)如果，那么的最小值是( ); 3
43 A(4;B(;C(9;D(18
考点2对数函数的图像及性质
题型1:求复合函数值域及单调区间
123[例3] 已知f(x)=log,3,(x,1),，求f(x)的值域及单调区间. [解题思路]通过研究函数f(x)的单调性
[新题导练]
,xfxaaa,,,(0,1)，，4((东皖高级中学09届月考)若函数是定义域为R的增函数，
fxx,，log1，，，，a则函数的图象大致是 ( )
ymx,，logmnR,,n5((09年山东济宁)设，函数的图象如图2，则有
mn,,,0,01mn,,0,1A(;B(
mn,,,0,01mn,,0,1C(;D(
补充例题:
22f(x),lg[(a,1)x，(a，1)x，1]例1(已知函数
f(x)aR(1)若的定义域为，求实数的取值范围;
f(x)aR(2)若的值域为，求实数的取值范围;
mn23loglogmn,例2(已知实数满足,给出下列关系式? ? ? 23,mn,mn,01,,,nm23
其中可能成立的有
(A个 B(个 C(个 D(个 1203课堂练习:
2log(3，22),lg5，lg2,lg50,____________(2,1)1((1);(2)_____________
2223loga2a,()(a,0)332(已知，则=
，，，，，，，，,,fxx,Rfx，2,fxx,0,13((广州市2010届高三年级第一学期中段考)若偶函数满足且
，，fx,logx，，fx,x,3时,则方程的根的个数是( )
A. 2个;B. 4个;C. 3个;D. 多于4个
loglogxy，33Axy(,)236xy，,224((潮州金山中学2010届高三检测)若点在第一象限且在上移动，则( )
A(最大值为1;B(最小值为1;C(最大值为2;D(没有最大、小值 5((深圳翠园、宝安中学09届联考)下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:
x3 5 8 9 15
a，c2a,b3,3a,3c4a,2b3a,b，c，1 lgx
lg 请将错误的一个改正为
log1x,2fx,，，fxfx，,21xxlog1x，，，，，121226((重庆南开中学2010届模拟)函数，若(其中、均大于,)，则
fxx，，12的最小值为 ( )
0.11.3abc,,,log0.3,2,0.2abc,,27((执信中学09届月考)已知，则的大小关系是( )
abc,,cab,,acb,,bca,,A( B( C( D(
,13xeaxbxcx,,,,(1)ln2lnln，，，，8.(四会中学09年月考)若，则( )
accaaccabbbbA(<<;B(<<;C(<<;D( <<
P,log3Q,log2R,log(log2)9.设，，，则( )2323
,( ,( ,( ,( RQP,,PRQ,,QRP,,RPQ,,
(31)4,1axax,，,,a10((北京卷)已知是上的减函数，那么的取值范围是( )(,),,，,fx(),,log,1xx,a,
1111(A) (B) (C) (D) (0,1)[,1)(0,)[,)73732yxax,,，log(35)11(已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 . [1,),，,12
fxx()log(1),，a12((全国)若定义在区间内的函数满足fx()0,，则的 ,1,001，，2a
111,，,,(0,)0,,，,(0,，,)取值范围是 ( ) A.B.C.D.,,,,222,，,,
?课后作业:
(二) 专题测试与练习:
一. 选择题
xxa,b,1, a,b,(0, ，,)1. 设且, 则a、b的大小关系是 ( ) x,0
A. B. C. D. b,a,1a,b,11,b,a1,a,b
2. 如果, 那么下列不等式中正确的是 ( ) 0,a,1
1132(1，a)32(1,a),(1,a)log(1，a)(1,a),(1，a)(1,a),1A. B. ，1 C. D. (1,a)
x3. 已知x是方程的一个根, 是方程的一个根, 那么的值 xx，xx，lgx,3x，10,31212
是 ( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
logloglogx,logloglogy,logloglogz,0,4. 则的值为 ( ) x，y，z234342423
A. 50 B. 58 C. 89 D. 111
,xlogxy,a5. 当时, 在同一坐标系中, 函数与的图象是图中的 ( ) y,a,1a
12xf(4,x)6. 若函数f(x)与g(x),的图象关于直线对称, 则的单调递增区间是( ) ( )y,x2
A. (,2, 2] B. [0, ，,) C. [0, 2) D. (,,, 0]
二. 填空题
x,xx,x7. 已知, 则 . 2，2,58，8,
logx，28. 若函数的反函数定义域为(3, ，,), 则此函数的定义域为 . y,2
log(3,ax)9. 已知在[0, 2]上是x的减函数, 则a的取值范围是 . y,a
axa(a,0, a,1)10.f(x),[1, 2]函数在上的最大值比最小值大, 则a的值为 . 2
三. 解答题
log(1,x)log(1，x)11. 设, 试比较||与||的大小. 0,x,1 aa
,1xf(x)g(x),log(3x，1)12. 已知函数的反函数为, . f(x),,124,1xf(x),g(x)(1) 若，求的取值范围D;
1,1x,H(x)(2) 设函数H(x),g(x),f(x)，当D时, 求函数的值域. 2
3loga，logx,logy,313. 已知常数, 变数x、y有关系. a,1xax
t(1)若, 试以a、t表示y ; ( t,0 )x,a
(2)若t在内变化时, y有最小值8, 求此时a和x的值各为多少? [1, ，,)
指数函数和对数函数解答 一. 选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B C A C
二. 填空题
313(1, );或.(2, ，,);7. 110 ; 8. 9. 10. 222
三. 解答题
11. , ？0,x,1,0,1,x,1,1,x，1,2
21x1,(1，x),,0, ？,(1，x) 1,x1,x1,x
1lg|log(1,x)|lg(1,x)a1,x,log(1,x)log(1，x)？, || , |,| ,1,||||. aa|log(1，x)|lg(1，x)lg(1，x)a
xx1,？y,2,1？2,y,1即x,log(y，1)？f(x),log(x，1)(x,,1)12. (1) 22
11,，，？fx,g(x)？log(x，1),log(3x，1)？log(x，1),log(3x，1) 24222
2,(x，1),3x，1
,？x，1,0 ,
,3x，1,0,
？0,x,1？D,{x|0,x,1}
13x，13x，121H(x),logx,[0, 1](2) , ？,3,,[1, 2]？H(x),[0, ] 22x，1x，1x，12
31tt13. (1) ？x,a,？3loga，loga,logy,3,，t,logy,3. ttaaaatt
22t,3t，3. ？logy,t,3t，3,y,a(t,0)a
332,，(t)324y,a(2) ？t,,[1, ，,)2
3334y,8,a,8,2,a,16时, ？t,min2
3
2 x,16,64.
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