关于函数平移
关于函数平移、伸缩问题的技巧
,云霄常山中学 王杨霞,
在高中数学中~函数是一个很重要~占很大一部分比例~且研究比较深入的内容~主要涉及的范围有:?、一次函数,?、y=kx+b(k0),
k2yk,,(0)二次函数,?、反比例函数,?、正弦函yaxbxca,,,,(0)x
yx,cosyx,tan数~余弦函数, 余切函数,?、指数函数yx,sin
x,,?、对数函数,?、幂函数。yaaa,,,(01)且yx,yxaa,,,log(01)且a
对于这些基础函数其图像及性质~同学们可以做到很熟练~但对于它们的演变式~却往往就非常模糊。例如:对于函数~学yx,,,log(3)22生们看到会觉得很陌生~甚至认为是根本没有学过的函数~对此问题往往便束手无策。倘若我们对此函数的图像及性质很清晰~我们的问题就很好解决了。
我们在
初中
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阶段就学习过一次函数y=kx+b(k0),的平移~同学们都能很熟练地记得一句口诀——“上加下减~左加右减”。但实际上~他们并未真正理解~只是死记硬背下来罢了~所以往往遇到平移的问题
yx,,32yx,3很容易混淆。例如~如果我提问:函数是由怎样平移得到的,同学们会在脑海里回忆口诀:“上加下减”~于是会回答:“是由yx,3向上平移2个单位得到的。”那么如果我换种方式提问:“函数
yx,3y-2=3x是由怎样平移得到的,”同学们还是同样地记得口诀:“上
yx,3加下减”~于是一大部分同学会回答:“是由向下平移2个单位得到的。”一部分同学也想这样回答~却不敢出声~没有把握,这部分同
学属于比较会积极思考的类型。他们发现~很明显~与yx,,32y-2=3x显然是两个相同的函数~可以给出的答案却完全不同。关于函数平移的问题~学生往往总体分了这样的两类:?、一大部分为死记硬背的,?、一部分为掌握很含糊的。“上加下减~左加右减”他们只是肤浅地记住了口诀~一旦函数形式发生点变化~到底是向上还是向下平移~是向左还是向右平移很含糊~很容易犯错。
我个人在教学过程中总结了一套很容易操作而且一定不会出错的技巧~以下是我基于几种常见的函数类型进行展开来介绍这种方法技巧。
,1,、一次函数y=kx+b(k0),
如何平移,例: yx,3,,,,,(2)3yx,,(1)(2)
我们将左边的“”与右边的“”视为整体等价~令它们都y(2)y,(1)(2)
等于0~则 =0~ =2~我们移的是y~而y轴方向是纵向的~故为yy12
yx,3上、下移动~从02~故为向上平移2个单位。所以我们得出结论“,
向上平移2个单位得到y-2=3x”。
2 ,2,、二次函数, yaxbxca,,,,(0)
如何平移,22 例: ,,,,,yx,2yx,,2(1)(3)(4)
左边的“”与右边的“”视为整体等价~令它们都等于x(1)x,(3)(4)
0~则=0~ =-1~我们移的是x~而x轴方向是横向的~故为左右xx12
2平移~从0 -1~故为向左平移1个单位。所以我们得出结论“yx,2,
2向左平移1个单位得到”。 yx,,2(1)
kyk,,(0) ,3,、反比例函数 x
44如何平移, 例: ,,,,,y,y,(3)x,x(5)(6)
左边的“”与右边的“”视为整体等价~令它们都等于x(3)x,(5)(6)
0~有人这时一定会提出质疑:分母可以为0吗,作为分母当然不能为0~但我们要的只是“如何平移”的结论~这些分析过程只是在草稿纸上操作的一项技巧罢了~所以对于它的分母能不能取0没有研究的必要。同样地~很容易得到=0~=-3。移的是x~故为横向平移~从0 xx12
4y, -3~故为向左平移3个单位。所以我们得出结论“向左平移3,x
4y,个单位得到”。 x,3
x(4)、指数函数 yaaa,,,(01)且
xx如何平移,例: y,2,,,,,y,,23
如何平移,xx我们先将问题转化为“” ~再将“”,,,,,yy,2(3)2y,,(5)(5)(6)
和“”视为整体等价~令它们都等于0~则=0~ =-3~我们yy(3)y,12(6)
x移的是y~故为y轴方向上纵向移动~从0 -3~所以可得出结论“y,2,
x向左平移3个单位得到“”。 y,,23
,5,、对数函数 yxaa,,,log(01)且a
如何平移,例: y=logxy=log(x-3)+2,,,,,22
结合前面几个例子~很容易得出此问题的分析步骤:先将问题转
如何平移,化为“ ”将“”与“”y=logx(x-3),,,,,(y-2)=log(x-3)x(9)2(7)(8)(10)2(8)(7)视为整体等价~令它们都等于0~则=0~=3~在x轴上从03~故xx,12
向右平移3个单位~同样地~再将“”与“”视为整体等价~y(y-2)(9)(10)
令它们都等于0~有=0~ =2~在y轴上从02~故向上平移2个yy,12
单位。综合起来~结论是“先向右平移3个单位~再向上平移2个单位。”
在数学教材《必修4》中三角函数占了很大比例~第一章对
的图像平移作了重点研究~学生们往往都把它视为难点~y=Asin(x+),,
更是琢磨不清。三角函数除了平移外~还会涉及到横、纵向伸缩的问题。
,6,、三角函数yx,sin
如何平移, 例:yx,sin3 yx,,sin(3), ,,,,,
这个问题一提出~同学们应用口诀“上加下减~左加右减”~他们往往得出的结论是“向左平移个单位”。此题与前面不同的是x带,
有系数3~所以要注意我们移的是“x”~而不是“3x”~故应先将问题
,如何平移,yx,,sin3()变为: 。我们要将x的系数先提出yx,sin3,,,,,(12)(11)3
,()x,来~再将左边的“”与右边的“”视为整体等价~令它们x(12)(11)3
,,,x,,,都等于0~则~~在x轴上从0~故为向左平移个x,0,21333
,yx,sin3单位。所以对于这道例题结论应该是“向左平移个单位得到3yx,,sin(3),”。
,,如何平移,yx,,sin()yx,,sin((2))例: ,,,,,(14)(13)33
将左边的“”与右边的“”视为整体等价~令它们都等x(2)x(14)(13)
于1~则=1~=1/2~故横坐标缩短为原来的1/2倍。有人一定会质xx12
疑:为什么前面都令它们整体等于0~而此处却令它们为1呢,x系数
变了~一定是发生了横向伸缩变化~我们需要知道的结论是变成原来
的几倍~倘若令它们整体为0~=0~=0~就没有什么意义了。 xx12
,,如何平移,yx,,sin()yx,,3sin()例: ,,,,,44
我们先将问题转化为:
y,,如何平移,yx,,sin()()sin(),,x“ ”。再将左边的“”与右,,,,,y(15)(16)(15)434
y()边的“”视为整体等价~y的系数变了~是发生了纵向伸缩变化~(16)3
,yx,,sin()故令它们都等于1~ =1~ =3~所以结论是“纵坐标伸yy124
,yx,,3sin()长到原来的3倍得到”。 4
yx,cos掌握了正弦函数~三角函数中的另外两种余弦函数~正切yx,tan函数的变换就与此类似了。
综合以上所有例题~我所总结的技巧大概分两个步骤: 1、 将函数结构变形成同种结构式。
2、 整体等价法。若是平移问题~令等价部分都等于0~从结果
得到向左向右~还是向上向下平移,若是伸缩问题~令等价部分
都等于1~从结果得到伸长或缩短为原来得几倍。 相信学生们掌握了以上技巧~对于高中阶段所有平移、伸缩的问题就会成为一个简单且不易出错的问题了。
2011年8月30日