高三数学理科等比数列和等差数列例题解析 人教版

高三数学理科等比数列和等差数列例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解析 人教版 高三数学理科等比数列和等差数列例题解析一. 本周教学内容: 等比数列和等差数列 二. 重点、难点: 1. 等差数列 *(1)定义: a,a，dn,Nn，1n (2)关键量: a,d1 (3)通项公式: a,a，(n,1)da,a，(n,m)dn1nm 11(4)前项和: nS,na，n(n,1)d,(a，a),nn11n22(5)? 若 ? a，a,a，am，n,p，qmnpq ? 成等差数列 {pa，q}n ? ，成等差数列 {S,S}k,Nk,1kn(k,1)n an ? 成等比数列 ,,(0,，,), a，b ? 任意两数有等差中项 a,b22. 等比数列 an，1(1)定义: ,q(q,0)an (2)关键量:， qa1 n,1(3)通项: a,aqn1 ,1naq,1,n,(4)前项和: Sn(1,)aq,n1,1q,1,q, (5)若，则a,a,a,a m，n,p，qmnpq 成等比数列 {pa}(p,0)n S,S,S,S,S成等比数列 n2nn3n2n ，且成等差数列 a,0{loga}(a,0a,1)nan 用心 爱心 专心 122号编辑 1 (6)任意同号实数，有等比中项 a,b,ab 【典型例题】 [例1] 等差数列中，，，，求 {a}S,35a,11ad,2nnn1 ,11,，(,1),2aan,n1,5n,7n,,,解: 或 ,,1,,aa,3,,1S,35,na，n(n,1),211,,n1,2, [例2] 等差数列中，，，则 {a}S,pS,qS,k3kn2k 解:成等差数列， S,S,S,S,S2(S,S),S，S,Sk2kk3k2k2kkk3k2k ? S,3(q,p)3k [例3] 等差数列共项，所有项之和，其中奇数项和为，求 ， {a}a,2k，1323171k,nk，1 1aak(，),(，1)12k1，S171奇2解: ,,1S323,171偶aak(，),22k2 k，1171? ,,k,8k152 ,8ka，aS,11717? ? a,,,19,9a,192179, Sa5n，2nn[例4] 等差数列，前项和为S，，且，求 {a}{b}Tn,lim,nnnnn,,T3n，2bnn 1(a，a),(2n,1)12n,1aa，aS10n,3n12n,12n,12解: ,,,,1bb，bT6n,1n12n,12n,1(b，b)(2n,1)12n,12 a105n? lim,,n,,b63n aa(n1)dd，,n111 limlim,,n,,n,,bb(n1)dd，,122n 用心 爱心 专心 122号编辑 2 11nan(n1)dd，,111Sd22n1 limlim,,,n,,n,,11Td2nnbn(n1)dd，,12222 [例5] 数列，，(1)，求的最大值。(2)S{a}S,21S,24S,a，a，？，a6n12nnn3 ，求的公式。 T,|a|，|a|，？，|a|Tn12nn 21,3a，3d,9a,,11解: ,,,24,6a，15dd,,2,1, ， ， a,11,2na,0a,0n,5n,6nnn ? 最大值为 SS,25n5 2 T,,n，10n(n,5)n 2 T,S,(S,S),n,10n，50(n,6)nn55 2,nnn,，10,5,T, ,n2,nnn,10，50,6, nn[例6] 数列，若数列成等比数列，求 C,2，3{C,pC}pn，1nn aa*n，1n，2解:， n,N,aann，1 2 [C,pC],[C,pC][C,pC]n，1nnn,1n，2n，1 nn2n,1n,1n，1n，1? [2(2,p)，3(3,p)],[2(2,p)，3(3,p)][2(2,p)，3(3,p)] nnn,1n，1n,1n，1 2,2(2,p),3(3,p),2(2,p),3(3,p)，3(3,p),2(2,p) 1? (2,p)(3,p),06 ? 或 p,2p,3 [例7] 等比数列{a}，a,0，q,1，求证a，a,a，a,a，a,？ n1n2n,13n,2n n,1n,2解: (a，a),(a，a),a，aq,aq,aq1n2n,11111 用心 爱心 专心 122号编辑 3 n,2n,1 ,a[1,q,q，q]1 n,2 * ,a(1,q)(1,q)1 ， ， 0,q,1q,1*,0*,0 ? a，a,a，a,a，a,？1n2n,13n,2 [例8] 等差数列，等比数列，，，，求，。 {a}{b}a，a,bb,b,aaba,b,1243243nn11nn 2解: a，a,b,2a,bb,b,a,b,a2433324333 112? ? ? b,0a,a，2d2b,bb,a,331333324 3113n3,a1(n1)? ? d,,,,,,n888 22 ? q,,b,bq312 22n,1n,1? 或 b,()b,(,)nn22 [例9] 等比数列，，，，，中最大项是{a}q,0S,80S,6560a,a,？aa,02n4nn1122n54，求。 S3n 解:(1) ? 不合题意 q,1S,80S,65602n4n 2n,aqq(1,),80(1,),1(2) q,1,4n,aqq(1,),6560(1,),1 2n2n? ? q,11，q,82q,81 2n,1中最大 ? a,a,？aaaq,542n122n1 a542,1,,a,2,,1q813? ,n,2,,q,3,,aq(1,81),80(1,)1, 6a(1,q)61S,S,,3,1? n361,q 用心 爱心 专心 122号编辑 4 2[例10] 等比数列，，前项和，数列满足，S{a}q,1a,a{b}a,b,1n1724nnnnn ，求使的的最小值。 T,b，b，？，bS,Tnn12nnn 162239解:首项，公比为 qS,Ta(aq),aq,aq,1nn1111 11q1(1,)(1,)nnna(1,q)aaqq111即 ,,11,qq,11,q nq(q1),,n2n,1n,1902 a(1q)aq,1q,qn,19,0n,20,,11nq *[例11] 等比数列首项公比均为，，若a,(0,1),(1,，,){a}b,algaa(n,N)nnnn ，求的范围。 b,b,b,？a123 n,1n*n*解: a,a,a,a(n,N)b,alga,n,alga(n,N)nnnn *对一切成立 b,bn,Nnn，1 nn，1即， ,nlga,(n，1)a,lga,lga(na，a,n),0nalga,(n，1)a,lga n1*a,(0,1),a,,1,(1) n,Nn，1n，1 1111,最小值为 ? a,(0,)n，122 nn*a,(1,，,),a,(2) lim,1n,Nn,,n，1n，1 1综上所述 a,(0,),(1,，,)2 (答题时间:40分钟) 一. 选择题 cab1. 设，，2,12，那么数列是( ) a,b,c2,32,6 A. 等差非等比数列 B. 等比非等差数列 C. 既是等差又是等比数列 D. 既非等差数列又非等比数列 2. 在等差数列{a}中，已知a,n，a,m(m,n)，则a的值为( ) mnnm，n 22A. B. C. D. m,nmn0 用心 爱心 专心 122号编辑 5 3. 已知为各项都大于零的等比数列，公比，则( ) a,a,？,aq,1128 A. B. a，a,a，aa，a,a，a18451845 C. D. 与的大小关系不能由已知确定 a，a,a，aa，aa，a15484518 a，a134. 若等差数列的公差，且成等比数列，则等于( ) {a}a,a,ad,0137na，a24 325A. B. C. D. 1436 ，5. 若A是的等差中项，是的等比中项，则( ) G(G,0)a,ba,b(a,b,R) A. B. C. D. ab,AGab,AGab,AGab,AG6. 若为一个递减等比数列，公比为，则该数列的首项和公比一定为( ) {a}qaqn1 A. ， B. ， q,00,q,1a,0a,011 C. ， D. ，或， q,10,q,1q,1a,0a,0a,0111 17. 随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低，2003年价格为81003元的计算机到2018年时的价格应为( ) A. 900元 B. 2200元 C. 2400元 D. 3600元 4224228. 正数的乘积是与的一个等比中项，则的( ) a,baba，abb，abab 1111A. 最大值是 B. 最小值是 C. 最大值是 D. 最小值是 4422 二. 解答题 m，n1. 等差数列中，， ，求证。 {a}S,pS,q(m,n)S,(p,q)mnnm，nm,n 222. 两个方程，的四个根可组成以,2为公比的等比数列，求x,px,1,0x,qx,1,0 22。 p，q [参考答案] 一. 1. A 2. B 3. A 4. A 5. B 6. D 7. C 8. C 二. 用心 爱心 专心 122号编辑 6 1,S,ma，mm,d(1)m1,,21. 解: ,1,S,na，n(n,1)dn1,2, d p,q,(m,n)a，[m(m,1),n(n,1)]12 d p,q,m,n[a，(m，n,1)]12 1 S,(m，n)a，(m，n)(m，n,1)dm，n12 dm，n ,(m，n)[a，(m，n,1),(p,q)12m,n 2. 解:设四个根为 a,,2a,4a,,8a 12依题意 ? a,(,8a),(,2a),4a,,1a,8p,,7ap,2a,,利用根与系数的关系或 ,,q,2aq,,7a,, 532222249453 p，q,a，a,a,8 用心 爱心 专心 122号编辑 7 用心 爱心 专心 122号编辑 8