三角形内心的性质及其应用
一．基础知识
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：
性质1：设I为ΔABC的内心，则I到ΔABC三边的距离相等；反之亦然。
性质2：设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
性质3：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I在BC、AC、AB上射影分别为D、E、F；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则⑴S ΔABC = p r ; ⑵
；
⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ⑷ abcr = p·AI·BI·CI .
性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为ΔABC的∠A平分线AD（D在ΔABC的外接圆上）上的点，且DI = DB，则I为ΔABC的内心。
性质5：设I为ΔABC的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ∠A的平分线交BC于K ，交ΔABC的外接圆于D，则
性质6：过ΔABC内心I任作一直线，分别交AB、AC于P及Q两点，则
或
性质7：设ΔABC的内心为I，ΔABC内一点P在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，当P与I重合时，和式
的值最小。
性质8：设I1为ΔABC的内心，R为ΔABC的外接圆的半径，则
二、综合应用：
例1．如图，D是ΔABC的内心，E是ΔABD的内心，F是ΔBDE的内心。若∠BDE的
度数为整数，求∠BFE的最小度数。
例2．如图，设点M是ΔABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点。求证：AE等于切圆半径r.
例3．如图，设P为ΔABC内一点，∠APB-∠ACB = ∠APC-∠ABC .又设D、E分别是
ΔAPB及ΔAPC的内心，证明：AP、BD、CE交于一点。（第33届IMO第2
题
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）
例4．如图，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R、r, 其外心、内心分别为O、I，若IO = d, 则d2 = R2 – 2Rr.
例5．如图，设ΔABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B = 60 ° , ∠A<∠C, ∠A的外角平分线交圆O于E，证明：⑴IO = AE；⑵2R
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