汽车机械基础2

第 2章 材料力学基础 教学提示：材料力学是研究物体强度、刚度和稳定性的科学。本章重点介绍构件在载 荷作用下发生的基本变形的特点及其强度 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 计算方法。 教学目标：要求学生了解各种变形的载荷特点和变形特点；掌握 4 种基本变形的内力 分析、应力分析和强度计算方法；重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、弯曲变形的强度计算方 法；了解各种基本变形的变形分析和简单的计算方法；了解简单的组合变形强度计算。 2.1 拉伸与压缩 拉伸和压缩是杆件基本变形中最简单的一种，也是构件中最常发生的变形形式。如发 动机中的连杆在工作中发生压缩变形，缸盖螺栓在工作中发生拉伸变形等。 2.1.1 拉伸和压缩的概念 如图 2.1 所示的三角架中，AB 杆和 AC 杆都是在外力作用下发生了伸长或缩短变形， 这种在外力作用下发生伸长或缩短的变形称为拉伸或压缩。我们把外力沿轴线方向作用， 构件只发生轴线方向的伸长或缩短的变形称做轴向拉伸或轴向压缩。 图 2.1 三角架中杆件受力情况 杆件轴向拉伸与压缩时的受力简图如图 2.2 所示。 (a) 轴向拉伸 (b) 轴向压缩 图 2.2 杆件受力简图 第 2章 材料力学基础 ·53· ·53· 2.1.2 拉伸与压缩时应力分析 1. 内力和截面法 内力和截面法介绍如下。 (1) 内力的概念。拉(压)杆在外力作用下产生变形，内部材料微粒之间的相对位置发生 了改变，其相互作用力也发生了改变。这种由外力引起的杆件内部相互作用力的改变量， 称为内力。 作用在杆件上的载荷和约束力是外力，而杆件的内力是由于外力的作用在杆件内部各 部分间产生的相互抵抗力。它不是杆件内部固有的力，连续作用于杆件截面上，且随着外 力的增减而变化。当内力超过某极限值时，构件就会丧失正常的工作能力，甚至发生破坏。 可见，内力是解决强度问题必须进行分析计算的物理量。 (2) 截面法。分析内力的形式和求内力的大小，一般采用截面法，如图 2.3 所示。 (a) (b) 图 2.3 截面法示意图 截面法是将杆件用假想的截面在要求内力的截面处截开，任取一部分作为研究对象， 根据平衡情况确定该截面上内力的形式，并应用静力学平衡方程求出内力的大小和方向。 截面法解决问题的步骤如下。 ① 假想沿所要求内力的截面处将杆件分成两部分。 ② 任取其中一部分作为研究对象，画出受力图，并用内力代替另一部分。 ③ 列平衡方程，求解内力。 【例 2-1】 如图 2.4 所示，在零件上钻孔时，钻床的心轴受到的轴向反力为 F=15kN， 试求钻床立柱上 M—N 截面上的内力。 解：① 用假想截面把钻床在 M—N 处截开。 ② 取钻床上部为研究对象，画出受力图。(由于截面上的内力要与外力 F 平衡，因此 必须有一个垂直于截面的力和一个作用于截面垂直方向的力偶才能平衡。可用内力 FN和 M 代替下半部分。对钻床上部的作用。) ③ 列平衡方程： N0 0yF F F∑ = − = 0 0oM Fe M∑ = − = 求得：FN=F=15kN，M=Fe=15×0.4=6(kN·m) F 与 M 的方向如图 2.4 所示。 同样也可以取下半部分作为研究对象，得到的结论是相同的。 汽车机械基础 ·54· ·54· (a) (b) (c) 图 2.4 钻床受力情况分析 (3) 轴力、轴力图。如图 2.5 所示，轴向拉伸或压缩时横截面上的内力也沿着杆件轴线 方向，被称为轴力。轴力等于截面一侧所有外力的代数和。对于受力较复杂的杆件各个横 截面上的轴力是不相等的，我们通常用轴力图来表示轴力沿杆件轴线方向的变化情况，借 助于轴力图可以确定杆件上最大轴力的大小、方向及其作用截面的位置。 图 2.5 轴力、轴力图 绘制轴力图的方法是：建立 FN—x 坐标系，x 轴平行于杆件轴线，表示截面的位置。 FN 轴垂直于轴线，表示轴力的大小。我们规定杆件受拉时的轴力为正，受压时的轴力为负。 即：拉为正，压为负。正的轴力画在 x 轴的上方，负的轴力画在 x 轴的下方。 第 2章 材料力学基础 ·55· ·55· 【例 2-2】 如图 2.6 所示的等截面直杆，受轴向力 F1=15kN，F2=10kN 的作用。试求 出杆件 1—1、2—2 截面的轴力，并画出轴力图。 图 2.6 等截面直杆受力图 解：(1) 外力分析。先解除约束，画杆件的受力图，如图 2.7 所示。 图 2.7 杆件的受力图 R 1 2 R 1 2 ( ) 0, 0 15 10 5kN F X F F F F F F ∑ = − + = = − = − = (2) 内力分析。外力 FR，F1，F2 将杆件分为 AB 段和 BC 段，在 AB 段，用 1—1 截面 将杆件截分为两段，取左段为研究对象，右段对截面的作用力用 FN1 来代替。假定内力 FN1 为正，列平衡方程。 ( ) 0F X = ， N1 R 0F F+ = 可得： N1 R 5kNF F= − = − 同理可得：FN2=10kN。 (3) 建立 N—x 坐标系，画轴力图，如图 2.8 所示。 图 2.8 轴力图 2. 截面上的应力 关于截面上的应力介绍如下。 汽车机械基础 ·56· ·56· (1) 应力的概念。在分析内力时我们把截面上的内力作为一个力来分析，其实内力不 是一个集中力或集中力偶，而是截面上各点的力的合成效果。我们把截面上各点的力称为 应力，应力就是截面上某一点处内力分布的集度。 一个截面上的应力可以有两个分量，垂直于截面的称为正应力。用σ 来表示。与截面 相切的称为切应力，用τ 表示。 如图 2.9 所示，截面上 K 点Δ A 的面积上内力的合力为Δ F，则应力就是 p。p 有两个 分量σ 和τ 。 (a) (b) 图 2.9 截面上的内力 0 dlim dA F Fp A AΔ → Δ= =Δ (2.1) 应力的单位是帕(Pa)，通常还用兆帕(MPa)或吉帕(GPa)。 1MPa=106Pa，1G Pa=109Pa (2) 轴向拉伸与压缩时杆件横截面上的应力。实验表明，等截面直杆在承受轴向拉伸 或压缩载荷时，如图 2.10 所示，杆件各纵向纤维发生的轴向变形是均匀一致的，且都发生 了沿轴线方向的伸长或缩短，可见轴向拉压时横截面上只有正应力。 图 2.10 拉伸变形情况 根据材料均匀连续性假设和平面假设：受载前为平面的横截面变形后仍为平面。变形 后横截面沿轴线方向发生了平行移动，各点移动的距离都相同，可见轴向拉压变形杆件横 截面上各点的正应力都相同，也就是说轴向拉压时横截面上的应力是均匀分布的。 设杆件横截面上的轴力为 FN，面积为 A，由于正应力在截面上均匀分布，故有 NA Fσ = 第 2章 材料力学基础 ·57· ·57· 由此可得 NF A σ = (2.2) 式中，σ ——横截面上的正应力，单位为 MPa； FN ——横截面上的轴力，单位为 N； A ——横截面的面积，单位为 mm2。 此即为计算拉、压杆横截面上正应力的表达式。通常规定：拉应力为正，压应力为负。 2.1.3 拉伸与压缩变形 1．绝对变形 如图 2.11 所示，设施加载荷前杆件的原长为 L，横向尺寸为 b。变形后，由于杆件变 形，长度变为 L1，横向尺寸变为 b1。 图 2.11 杆件变形 杆件变形后和变形前的长度之差，称为“纵向绝对变形”，用Δ L 表示： Δ L=L1－L 杆件的横向尺寸在变形前后的差值，称为“横向绝对变形”用Δ b 表示： Δ b= b1－b 在同样大小的力作用下，不同长度的杆件，其绝对变形量是不一样的，就是说绝对变 形不能准确地反映杆件的变形程度。为此常以单位长度的变形量来度量杆件的变形程度， 这就需要引入相对变形的概念。 2. 相对变形 相对变形(ε )是单位长度的变形量。把杆件沿轴线方向单位长度的伸长量称为杆件的轴 向相对变形或轴向线应变。它只是个比值，无单位。拉伸时ε ＞0，压缩时ε ＜0 L L ε Δ= 把杆件单位长度的横向变形量称为横向正应变，用ε ′ 来表示： b b ε Δ′ = 杆件横向伸长时纵向则缩短；反之纵向缩短时横向则伸长。因此ε 和ε ′ 具有相反的正、 负号。实践表明在弹性范围内加载时纵向应变与横向应变间满足以下关系： ε με′ = − 其中，μ 称为横向变形系数，也称做泊松比。它是与材料有关的一个弹性常数，为无 量纲量。 汽车机械基础 ·58· ·58· 3．胡克定律 拉伸或压缩实验表明，大多数工程材料制成的杆件，在弹性变形范围内，其纵向绝对 变形Δ L 与轴力 FN、杆件长度 L 成正比，而与横截面积 A 成反比。 N /L F L AΔ ∝ 。此外 LΔ 还与杆件的材料有关，引入与材料有关的比例常数 E，得： NF LL EA Δ = (2.3) 此式称为胡克定律。式中常数 E 与材料有关，表示材料抵抗拉压变形的能力，称为材 料的弹性模量，其单位是 GPa。 从式(2.3)中可以看出，在长度和受力相同的情况下，EA 越大，杆件的变形就越小，说 明 EA 表示了杆件抵抗拉压变形能力的大小，称为杆的抗拉、压刚度。 利用 N /F Aσ = 和 /L Lε = Δ 可以得到： Eσ ε= (2.4) 式(2.4)表明在弹性限度内，应力与应变成正比。这是胡克定律的另一种形式，利用该 式可以通过已知的应力求出应变，也可通过测量出应变求应力。 【例 2-3】 构件如图 2.12 所示，已知：F1=10kN，F2=30kN，AAB=ABC=500mm2， ACD=200mm2，E=200GPa。试求：①各段杆横截面上的内力和应力；②杆的总变形量。 图 2.12 构件 解：(1) 画杆的受力图，求约束力，如图 2.13 所示。 F1-F-F2=0 解得 F=F1-F2=10kN-30kN=-20kN (2) 求各段的轴力，画轴力图，如图 2.14 所示。 图 2.13 受力图 图 2.14 轴力图 AB 段轴力为：FNAB =-20kN BC、CD 段的轴力为：FNBC =FNCD =-30kN (3) 求各段的应力。 AB 段： 第 2章 材料力学基础 ·59· ·59· N 20 000 40(MPa) 500 AB AB F A σ −= = = − (负号表示压应力) BC 段： N 30 000 60(MPa) 500 BC BC BC F A σ −= = = − (负号表示压应力) CD 段： N 30 000 150(MPa) 200 CD CD CD F A σ −= = = (负号表示压应力) (4) 计算杆件的变形量： N N N100 100 100 0.125(mm)AB BC CDAB BC CD AB BC CD F F FL L L L EA EA EA × × ×Δ = Δ + Δ + Δ = + + = 2.1.4 拉伸(压缩)时的强度计算 1．许用应力与安全系数 任何工程材料能承受的应力都是有一定限度的，使材料丧失正常工作能力的应力称为 极限应力。一般认为，塑性材料的极限应力是其屈服极限 sσ ；脆性材料的极限应力是其强 度极限 bσ 。 由于杆件承受的载荷难以精确估计，以及材料质地的不均匀性，计算方法的近似和杆 件在工作时的腐蚀与磨损等，要求材料具有一定的强度储备。所以在工程计算中允许材料 承受的最大应力，称为许用应力，用[σ ]表示，其值是将极限应力除以大于 1 的安全系数。 常温、静载条件下，塑性材料拉伸和压缩时的屈服极限基本相同，故拉、压许用应力 也相同。 [ ] s sn σσ = 脆性材料拉伸和压缩时的强度极限一般不同，故许用应力分为许用拉应力[ lσ ]与许用 压应力[ yσ ] [ ] bll bn σσ = [ ] byy bn σσ = 式中，ns 称为屈服安全系数；nb 称为断裂安全系数，安全系数的大小直接影响杆件的 工作情况，若 n 值取得过小，许用应力过大，材料接近于极限应力，杆件工作的安全性差； 若 n 值取得过大，材料的利用率太低，造成浪费，为此在确定安全系数 n 时要兼顾安全性 与经济性两个方面。一般的机械，采取经验选取：塑性材料 ns=1.2～2.2；脆性材料 nb=2～3。 2．强度条件 为了保证杆件能安全正常的工作，在外力作用下杆件内产生的最大工作应力不超过材 料的许用应力，即 [ ]Nmax FAσ σ= ≤ (2.5) 汽车机械基础 ·60· ·60· 式(2.5)是拉伸或压缩时的强度条件。根据强度条件可解决以下三个方面的问题。 (1) 校核强度。已知构件的截面尺寸、材料的许用应力和载荷应用公式(2.5)检验构件是 否满足强度条件，从而判断构件是否能够安全可靠地工作。 (2) 设计截面。若已知构件所承受的载荷和材料的许用应力，可按公式(2.5)确定截面尺 寸，即 A≥ N[ ]F σ 。 (3) 确定许可载荷。若已知构件的截面尺寸和许用应力，可由公式(2.5)计算出构件所能 承受的最大轴力 FNmax，即 N max AF σ≤[ ] 。从而可以确定此构件的许可载荷。 【例 2-4】 某铣床工作台进给油缸如图 2.15 所示，缸内工作油压 p＝2MPa，油缸内径 D＝75mm，活塞杆直径 d＝18mm，已知活塞杆材料的许用应力[ ]σ ＝50MPa，试求校核活 塞杆的强度。 图 2.15 进给油缸 解：(1) 求活塞的轴力： 2 2 2 2 N 1 ( ) 2 (75 18 ) 8 322.57(N)4 4 F pA p D dπ π= = − = × − = (2) 按强度条件校核： N 2 8 322.57 32.6(MPa) 18 4 F A σ = = =π × 又∵ [ ] 50MPaσ = [ ]σ σ≤ ∴ [ ]σ σ< 可见，活塞杆的强度足够。 2.2 剪切与挤压 2.2.1 剪切及其实用计算 1．剪切的概念 在工程实际中，常会有构件受到两组大小相等、方向相反且彼此非常接近的力作用， 这时构件会在两组力间的截面处发生相对错动变形，这种变形称为剪切变形，如图 2.16 所 示。剪切变形的受力特点是外力大小相等，方向相反，作用线相距很近。变形特点是沿与 外力的方向平行的截面发生相对错动。产生相对错动的截面称为剪切面，剪切面总是平行 于外力作用线，且在两个反向外力作用线之间。 第 2章 材料力学基础 ·61· ·61· 图 2.16 剪切过程 剪切变形大多发生在工程结构和机械零件的联接件上，例如，联接两个零件的销、铆 钉、键和螺栓等，都是一些常见的受剪零件。在外力作用下，沿剪切面发生剪切变形，当 外力过大时，沿剪切面将连接件剪断。为此，必须进行剪切强度计算。 如图 2.17 所示就是铆钉剪切过程图。 图 2.17 铆钉剪切过程 2. 剪切应力 构件受到剪切力的作用时，在它的剪切面上会产生沿截面作用的抵抗剪切变形的内力， 这个内力称为剪力，用 FQ表示。剪力 FQ的大小可用截面法求得如图 2.18 所示，单位是牛 (N)或千牛(kN)。 单位面积上剪力的大小称为剪应力，用τ 表示，单位是帕(Pa)或兆帕(MPa)。剪应力在 剪切面上分布规律较复杂。工程上常采用以实验、经验为基础的“实用计算法”。“实用 计算法”假设剪应力τ 均匀分布在剪切面上。 设剪切面的面积为 A，剪力为 FQ，则剪切面上的平均剪应力为 汽车机械基础 ·62· ·62· Q m F A τ = (2.6) 图 2.18 求剪力 FQ 式中， mτ ——平均切应力，单位为 MPa； FQ ——作用于截面上的剪力，单位为 N； A ——剪切面面积，单位为 mm2。 3．剪切实用计算 为了保证剪切变形构件工作时安全可靠，剪切强度条件为 [ ]Qm F A τ τ= ≤ (2.7) 式(2.7)中的许用剪切应力[ ]τ ，可从有关手册中查得，也可按下列近似的经验公式确定： 对于塑性材料，则有：[ ]τ =(0.6～0.8)[ ]σ 对于脆性材料，则有：[ ]τ =(0.8～1.0)[ ]σ 式中， [ ]σ 为材料的许用拉应力。 2.2.2 挤压及其实用计算 1．挤压的概念 一般情况下，杆件发生剪切变形的同时，往往还伴随着挤压变形。挤压变形是两杆件 在相互传递压力的接触面上，由于局部受较大的压力，而出现塑性变形的现象——压陷、 起皱，如图 2.19 所示。这种现象称为挤压破坏。作用于接触面间的压力，称为挤压力，用 符号 Fjy表示。杆件上发生挤压变形的表面称为挤压面。挤压面是两杆件的接触面，一般是 垂直于外力的作用线。如图 2.19 所示钢板上的铆钉孔，由于挤压产生显著的局部塑性变形， 原来的圆孔被挤压成扁圆孔。 2．挤压应力 由挤压力引起的应力称为挤压应力，用 jyσ 表示。设挤压力为 Fjy，挤压面积为 Ajy。则 挤压应力计算公式为 jy jy jy F A σ = (2.8) 式中， jyσ ——平均挤应力，单位为 MPa； 第 2章 材料力学基础 ·63· ·63· jyF ——受压处的挤压力，单位为 N； jyA ——挤压面积，单位为 mm2。 图 2.19 挤压 3. 挤压实用计算 计算挤压应力同样采用“实用计算”的方法，即认为挤压应力在挤压面上是均匀分布 的。由此得挤压的强度条件为： [ ]jyjy jy jy F A σ σ= ≤ (2.9) 式中， jyF ——受压处的挤压力，单位为 N； jyA ——挤压面积，单位为 mm2。 有效挤压面积是实际挤压面在垂直于挤压力的平面上的投影面积。对于键[如图 2.20(a) 所示]，其挤压面积为一平面，故有效挤压面积即为实际挤压面积。对于螺栓[如图 2.20(b) 所示]、铆钉等，实际挤压面为半圆柱面，有效挤压面积为图 2.20(c)中所示的在轴截面上的 投影面积。根据理论分析，在半圆柱挤压面上，挤压应力的实际分布情况如图 2.20(b)所示， 最大挤压应力在半圆弧的中点处。采用有效挤压面积算得的结果与理论分析所得的最大挤 压应力值相近。 (a) (b) (c) 图 2.20 有效挤压面积 [ ]jyσ 表示材料的许用挤压应力，其值由试验而定，设计时可查有关手册。 根据实验所积累的数据，对于塑性较好的低碳钢材料一般取[ ]jyσ =(1.7～2.0)[ ]σ ；对于 脆性材料一般取[ ]jyσ =(0.9-1.5)[ ]σ 。 如果互相挤压的材料不同，应对许用挤压应力低的材料进行挤压强度计算。 汽车机械基础 ·64· ·64· 【例2-5】 试校核图 2.21所示带式输送机传动系统中从动齿轮与轴的平键联接的强度。 已知轴头的直径 d＝48mm，A 型平键的尺寸为 b＝14mm，h＝9mm，L＝45mm，传递的转 矩 T＝181 481N·mm，键的许用切应力[τ ]＝60MPa，许用挤压应力[ jyσ ]＝130MPa。 图 2.21 键联接 解：(1) 以键和轴为研究对象，求键所受的力 ( ) 2 2 181 4810 0 7 561.7( ) 2 48O d TM F F T F N d ×= × − = = = =∑ , , 键联接的破坏可能是键沿 m—m 截面的剪切破坏及键与键槽工作面间的挤压破坏。用 截面法可求得剪力和挤压力为 FQ＝Fjy＝F＝7 561.7N。 (2) 校核键的强度 由于键的两个圆头与轮毂上的键槽并不接触，所以 A 型键的有效工作长度为 l=L－b， 故键的剪切面积为 A＝bl=b(L-b)，挤压面积为 ( ) 2 2jy h L bhLA −= = 　　 ( ) [ ] 7 561.7 14.7MPa 14 45 14 QF A τ τ= = =× − ≤ ( ) 7 561.7 54.2MPa 4.5 45 14 jy jy jy jy F A σ σ⎡ ⎤= = = ⎣ ⎦× − ≤ 键的剪切和挤压强度均满足要求。 2.3 圆轴的扭转 2.3.1 圆轴扭转的概念 在工程实际及日常生活中，我们常遇到发生扭转 变形的构件。如图 2.22 所示为电机传动中的传动轴， 其受力特点是：载荷是一对力偶，力偶作用面均与直 杆的轴线垂直，但方向相反，因而产生的变形形式相 同，各横截面绕杆轴线发生相对转动，这种变形称为 扭转变形。 在生产中，像丝锥、钻头等，工作时都主要产生 扭转变形。 图 2.22 传动轴扭转 第 2章 材料力学基础 ·65· ·65· 2.3.2 圆轴扭转外力偶矩、扭矩 1．外力偶矩的计算 计算轴的扭转内力，首先要知道轴上所受的外力偶矩。当已知轴的转速和传递的功率 时外力偶矩可按理论力学中的公式计算 M=9550 P n (2.10) 式中，M——外力偶矩，N·m； P——轴传递的功率，kW； n——轴的转速，r／min。 当功率 P 用马力时，外力偶的计算公式为 M=7024 P n (2.11) 2．圆轴横截面上的内力 (1) 扭矩圆轴发生扭转变形时，横截面上将有内力产生，求内力的方法仍然是截面法。 如图 2.23 所示圆轴，在其两端垂直轴线的平面内作用着一对方向相反、力偶矩均为 M 的力 偶，要求任意截面上的内力。首先用假想截面将构件截开，如图 2.23(b)、(c)所示，取其任 一段研究。由力偶系的平衡条件可知，为了与外力偶平衡，截面上内力系合成的结果应是 一力偶，且力偶的作用面与横截面重合。此力偶矩称为扭矩，常用符号 T 表示。扭矩 T 的 大小，可根据力偶的平衡条件求得。若取左段为研究对象[如图 2.23(b)所示]，由 (a) (b) (c) 图 2.23 圆轴横截面上的内力 ∑M=0，T-M=0，即 T=M 若取右段研究，如图 2.23(c)所示，亦可求得同样数值的扭矩，但两者转向相反，因为 它们是作用与反作用的关系。因此，扭转时任意截面上扭矩的大小可由下式确定： T=截面一侧(左或右)所有外力偶矩的代数和。 (2) 扭矩图。当轴上作用几个外力偶时，各截面上的扭矩是不同的。各截面上的扭矩 可以用扭矩图来表示。扭矩图是表示圆轴各截面上扭矩大小的简单图形。用横轴表示截面 的位置，用纵轴表示扭矩，正的扭矩画在横轴上方，负的扭矩画在横轴下方，就可得到扭 矩图。 汽车机械基础 ·66· ·66· 【例 2-6】 如图 2.24 所示，转速 n=300r/min，主动轮 A 输入功率 PA=22.1kW，从动轮 B、C 输出功率分别为 PB=14.8kW，PC=7.3kW。作该轴的扭矩图。 图 2.24 扭矩的正负规定 解：(1) 求外力偶矩： 22.19 550 9 550 703(N m) 300 14.89 550 9 550 471(N m) 300 7.39 550 9 550 232(N m) 300 A A B B C C PM n PM n PM n = = × = ⋅ = = × = ⋅ = = × = ⋅ (2) 求各截面上的扭矩，画扭矩图。 T1=-MC=-232N·m，T2=MB=471N·m。 其扭矩图如图 2.25 所示。 图 2.25 扭矩图 2.3.3 横截面上的应力 为了研究圆轴扭转变形的规律和横截面上应力的分布情况，首先让我们观察圆轴的扭 转试验。 取一等截面圆轴，图 2.26 所示，在其表面画一组平行于轴线的纵向线和代表横截面边 缘的圆周线，形成许多矩形。然后在垂直于轴线的平面内施加力偶 M，使轴产生扭转变形。 由此可以得到圆轴表面的变形情况。 (1) 各圆周线绕轴线发生了相对转动，但形状、大小及相互之间的距离均无变化。 第 2章 材料力学基础 ·67· ·67· 图 2.26 圆轴扭转试验 (2) 所有纵向线倾斜了同一微小角度φ ，原来的矩形均变为平行四边形，但纵向线仍近 似为直线。 根据观察到的变形现象，我们可做如下假设：圆轴横截面变形后仍保持为平面，其形 状、大小不变，半径仍保持为直线；相邻两横截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面 假设。 按照平面假设，圆轴扭转变形时的特点为：各横截面像刚性圆盘似地绕轴线发生相对 转动，且截面之间的距离不变。圆轴扭转变形时，截面上只有扭转切应力而无正应力。扭 转切应力的分布规律为：截面上某点的扭转应力的大小与该点至圆心的距离成正比。圆心 处扭转应力为零，圆周上扭转应力最大，如图 2.27 所示。 图 2.27 圆轴扭转应力 圆轴扭转时最大扭转应力为 max R p T I τ = (2.12) 式中， maxτ ——横截面上最大扭转应力，Pa； T ——横截面上的扭矩，N·m； R ——圆轴的半径，m； Ip ——横截面的极惯性矩，它表示截面尺寸的几何性质，它的大小与截面形状和尺寸 有关，单位是 m4。 令 Ip/R=Wp，则 max p T W τ = (2.13) 式 2.13 为圆轴扭转时横截面上最大扭转切应力的计算公式。Wp 表示横截面抵抗扭转能 力的量，称为抗扭截面系数，单位是 m3。 汽车机械基础 ·68· ·68· 在工程上轴的横截面通常采用实心或空心圆截面两种形状。它们的极惯性矩 Ip 及抗扭 截面系数 Wp分别介绍如下。 (1) 实心圆轴。 极惯性矩为 4 40.1 32p DI Dπ= ≈ 抗扭截面系数为 3 30.2 16 p p I DW D R π= = ≈ 式中，D——轴的直径。 (2) 空心圆轴。 极惯性矩为 44 4 4 4 41 (1 ) 0.1 (1 ) 32 32p D d DI D D α α⎡ ⎤π π⎛ ⎞= − = − ≈ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 抗扭截面系数为 ( ) ( )3 4 3 41 0.2 116p DW Dα απ= − ≈ − 式中， d D α = ； D ——轴的外径； d ——轴的内径。 2.3.4 扭转的强度计算 为了保证圆轴在扭转时安全可靠，必须使危险截面上的最大扭转切应力 maxτ 不超过材 料的许用扭转切应力，即 max max [ ] p T W τ τ= ≤ (2.14) 式(2.14)便是圆轴扭转时的强度条件。 式中， maxT ——危险截面上的扭矩； Wp——截面的抗扭截面系数； [ ]τ ——许用扭转切应力，由实验测定，设计时可查手册。在静载荷时可采用如下近似 关系。 塑性材料：[ ]τ =(0.5～0.6)[ ]σ 脆性材料：[ ]τ =(0.8～1.0)[ ]σ 式中， [ ]σ 表示材料的许用拉应力。 【例 2-7】 如图 2.28 所示，某一传动轴所传递的功率 P=80kW，其转速 n=582r/min， 直径 d=55mm，材料的许用切应力[ ]τ =100MPa，试校核该轴的强度。 解：(1)计算外力偶矩 第 2章 材料力学基础 ·69· ·69· 6 6 809.55 10 9.55 10 1312 700(N mm) 582e PM n = × = × = ⋅ 图 2.28 某传动轴 (2) 计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作用，由截面法得： T=Me=1 312 700N·mm (3) 校核强度 [ ]max 31312 700 =39.5(MPa)0.2 55p T W τ τ= = × ≤ 可见，轴的强度满足要求。 2.3.5 扭转的刚度计算 1．扭转变形 扭转变形时横截面绕轴线发生了相对转动，如图 2.26 所示，把截面间相对转过的角度 称为扭转角，用φ 表示，根据剪切胡克定律和变形的几何条件，可以推导出扭转变形的扭 转角计算公式为 d d p T x GI φ = (2.15) 对一段长为 L 的等截面圆轴，如果在该段上扭矩相同，则可得： p TL GI φ = (2.16) 式(2.16)就是计算扭转角的基本公式，当各段的扭矩或极惯性矩不同时可以分段计算再求代 数和。φ 的单位是弧度(rad)。 从式中可以看出，GIp 越大，变形就越小，可见 GIp 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力， 称为抗扭刚度。 2．扭转的刚度计算 对于扭转变形的零件，有时过大的扭转变形会影响传动性能和精度，为此要进行扭转 刚度的计算。扭转角是总变形量，与长度有关，不能确切地表示轴的变形程度。为了表示 圆轴扭转的变形程度，引入了单位长度的变形量，即单位长度的扭转角，用θ 表示。则 d d p T x GI Φθ = = (2.17) 这就是单位长度的扭转角计算公式，θ 的单位是 rad/m，也可换算为度/米(°/m)。 180 p T GI θ = × π D (2.18) 为了保证扭转刚度，单位长度的最大扭转角不能超过许用值，即 汽车机械基础 ·70· ·70· max [ ]θ θ≤ (2.19) [ ]θ 为单位长度的许用扭转角。可从相关的手册中查得。 精密机械轴：[ ]θ =(0.25～0.5)°/m 一般传动轴：[ ]θ =(0.5～1.0)°/m 精度要求较低的轴：[ ]θ =(2～4)°/m 【例 2-8】 若【例 2-6】如图 2.25 所示轴的单位长度扭转角[ ]θ =2°/m，G=80GPa， LAB=LAC=500mm，dAB=2dAC=100mm，试校核该轴的刚度。 解：(1) 由【例 2-6】可知各段的扭矩 TAB=471 N·m；TAC=232 N·m (2) 计算各段的极惯性矩 4 7 40.1 100 1 10 (mm )pABI = × = × 4 6 40.1 50 6.25 10 (mm )pACI = × = × (3) 求 maxθ 校核刚度 3 4 3 7 3 4 3 6 180 471 10 180 0.034 10 ( / m) 3.1480 10 10 180 232 10 180 0.026 10 ( / m) 3.1480 10 6.25 10 AB AB pAB AC AC pAC T GI M GI θ θ − − ×= × = × = ×π × × ×= × = × = ×π × × × D D D D D D maxθ = 40.034 10−× ℃/m≤ [ ]θ 可见，该轴刚度足够。 2.4 平 面 弯 曲 2.4.1 梁弯曲的概念 1．平面弯曲的概念 在日常生活和工程实际中，发生弯曲变形的构件是经常遇到的，如图 2.29 所示，龙门 吊车的横梁 AB 在载荷和自重的作用下变弯；水罐在两支座中间受重力和自重作用发生微 小弯曲。这些构件具有相同的受力特点——外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的 作用，而发生相同形式的变形——轴线由直线弯为曲线，这种变形称为弯曲。把以弯曲变 形为主的构件称为梁。 (a) (b) 图 2.29 弯曲变形的构件 第 2章 材料力学基础 ·71· ·71· 工程中常见的梁，其横截面往往具有对称轴，如图 2.30 所示，对称轴与梁的轴线构成 纵向对称面。若作用在梁上的外力都位于纵向对称面内，并且力的作用线垂直于梁的轴线， 则变形后的轴线将是平面曲线，并仍位于纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲。 图 2.30 横截面具有对称轴 2．梁的基本类型 梁的结构形式很多，按梁的支座形式可分为三种基本形式。 (1) 简支梁。梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图 2.31 所示。 图 2.31 简支梁 (2) 外伸梁。梁的支座形式与简支梁相同，梁的一端或两端伸出在支座以外，如图2.32(a) 所示； (3) 悬臂梁。梁的一端为固定端支座，而另一端为自由端，如图 2.32(b)所示。 (a) (b) 图 2.32 外伸梁、悬臂梁 汽车机械基础 ·72· ·72· 2.4.2 剪力和弯矩 1．梁的外力 作用于梁的载荷包括外载荷和支座反力两部分。作用在梁上的外载荷有三种形式，如 图 2.33 所示。 图 2.33 梁上作用载荷类型 (1) 集中力。当力的作用范围与梁的长度相比很小时，可简化为作用于一点的力，称 为集中力，其单位为牛顿(N)或千牛(kN)，如图 2.33 所示的 F。 (2) 集中力偶。当力偶作用的范围远远小于梁的长度时，可简化为作用于某一截面的 力偶，称为集中力偶，其单位为 N·m 或 kN·m，如图 2.33 所示的 M。 (3) 分布载荷。分布载荷是指载荷连续分布在梁的全部长度或部分长度上，其大小与 分布情况，用单位长度上的力 q 表示，称为载荷集度，如图 2.33 所示均布力 q，其单位为 N／m 或 kN／m。 一般作用于梁上的载荷是已知的，而支座反力可以通过平衡方程求得。 2. 剪力和弯矩 梁在外力作用下，横截面上将有内力产生。计算内力的方法仍然是截面法。下面以简 支梁为例，如图 2.33 所示。分析梁横截面上内力的简化结果。 设载荷 F 与支座反力 FA、FB均已知，是位于梁纵向对称 面内的平面平行力系。现运用截面法求任意截面 1—1 内力。 假想沿 1—1 截面将梁分为两段，如图 2.34 所示，由于整个 梁是平衡的，它的任一部分也应处于平衡状态。根据平衡条 件，1—1 截面必然存在两个内力分量。 (1) 剪力 FQ，其作用线平行于外力并通过截面形心(沿截 面作用)， Q AF F F= − 。 (2) 力偶矩 M，其力偶面垂直于横截面，称为弯矩， AM F x F a= × − × 。 通常梁的跨度比较大，剪力产生的剪应力对梁的影响很 小，一般不计。下面我们只研究弯矩的作用。 可以看出，某截面上的剪力等于此截面一侧所有外力的 图 2.34 第 2章 材料力学基础 ·73· ·73· 代数和。 同样，某截面上弯矩的大小等于所取研究对象上所有外力对该截面形心力矩的代数和。 梁上某截面的剪力正、负规定：使截面两侧发生左上右下相对错动的剪力为正，反之 为负，如图 2.35(a)所示。 梁上某截面弯矩的正、负规定，由该截面附近的变形情况确定。若梁在该截面附近弯 成上凹下凸，如图 2.35(b)所示，则弯矩力为正；反之则为负。 (a) (b) 图 2.35 剪力、弯矩正、负规定 也可直接规定外力的正、负号来求代数和，根据代数和的正、负号确定剪力和弯矩的 正、负号。 计算剪力时通常规定：外力左上右下为正，左下右上为负。即取截面左侧计算剪力时 向上的外力取正值，向下的外力取负值。取右侧为研究对象时则相反。 计算弯矩时一般规定：外力矩(力偶)左顺右逆为正，左逆右顺为负。即取截面左侧计 算时，顺时针外力矩(力偶)为正值，逆时针外力矩(力偶)为负值，取右侧时则相反。 3. 剪力图与弯矩图 在一般情况下，梁横截面上的弯矩是随截面的位置而变化的。如果沿梁的轴线方向选 取坐标 x 表示横截面的位置，则梁上各横截面的剪力和弯矩都可表示为坐标 x 的函数，即 ( )Q QF F x= 该式称为剪力方程。 为了形象地表明剪力沿梁的轴向变化情况，可以用横坐标 x 表示横截面的位置，而以 纵坐标表示相应截面上的剪力，则可绘出 ( )Q QF F x= 的图线。该图线称为剪力图。 ( )M M x= 该式称为弯矩方程。 同样为表示弯矩沿梁的轴向变化情况，可以用横坐标 x 表示横截面的位置，而以纵坐 标表示相应截面上的弯矩，则可绘出 ( )M M x= 的图线。该图线称为弯矩图。 【例 2-9】 如图 2.36 所示的简支梁 AB，在 C 点处受到集中力 F 作用，尺寸 a 、b 和 汽车机械基础 ·74· ·74· l 均为已知，试做出梁的剪力图和弯矩图。 解：(1) 求约束反力。 0, 0, 0, 0, A B B B A A aM F l Fa F F l bM Fb F l F F l = − = = = − = = ∑ ∑ (2) 列剪力方程与弯矩方程。可以看出，在集中载荷处剪力和弯矩要发生变化，可以 把梁分成 AC 和 BC 两段分别建立弯矩方程。 AB 段： ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 Q A A FbF x F x a l FbM x F x x x a l = = = = ≤ ≤ ≤ ≤ BC 段： ( ) ( ) ( ) ( ) Q Q A A FbF F F F F a x l l l Fa l x M F x F x a a x l l = − = − = − −= − − = ≤ ≤ ≤ ≤ (3) 求特殊点的剪力与弯矩值，画剪力图与弯矩图 x = 0 时： Q FbF l= ，M = 0 x = l 时： Q FaF l= − ，M = 0 x = a 时： QF 从 Fbl 变为 Fa l 不定，M = Fab l 由于方程都是一次方程，所以图线为直线，根据特殊点即可做出剪力图和弯矩图，如 图 2.36(b)、(c)所示。 (a) (b) 第 2章 材料力学基础 ·75· ·75· (c) 图 2.36 剪力图和弯矩图 通过 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ，弯矩图有以下规律。 (1) 梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生 转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶矩的大小。 (2) 梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方 向一致。 (3) 梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为 0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶矩的大小。 2.4.3 纯弯曲时的正应力分析 1．纯弯曲的概念 在一般的平面弯曲中，梁的横截面上既有剪力，又有弯矩，梁发生弯曲变形的同时， 还伴有剪切变形，这种平面弯曲称为横力弯曲。若梁只有弯曲变形，无剪切变形，则这种 平面弯曲称为纯弯曲。 2．横截面上弯曲正应力的分布规律 纯弯曲时，梁横截面上只有弯矩，没有剪力。弯矩是横截面上内力合成的结果。 如图 2.37(a)所示，取一矩形截面梁，在梁的侧面画上代表横截面边框线的横向直线和 代表平行于轴线纵向纤维的纵向直线，且中间一条纵向直线与梁的轴线重合。然后在其对 称面内施加力偶，如图 2.37(b)所示，梁发生纯弯曲变形。变形后横向线仍为直线，且仍与 纵向线正交，但发生了相对转动。纵向线变成了曲线，除了与轴线相重合的纵向线长度不 变外，其余各纵向线都产生了伸长或缩短变形，靠近凸出的一边伸长，而靠近凹进的一边 缩短。 可见，因变形后的横截面仍与纵向线正交，直角未发生变化，切应变为零，故切应力 为零；弯曲变形时，梁的一部分纵向纤维伸长，另一部分缩短，从缩短到伸长，变化是逐 渐而连续的。由缩短区过渡到伸长区，必存在一层既不伸长也不缩短的纤维，称为中性层， 是梁上缩短区与伸长区的分界面。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图 2.37(c)所示。 中性轴必通过横截面的形心。 (a) 汽车机械基础 ·76· ·76· (b) (c) 图 2.37 中性层和中性轴的概念 由上述分析，可得正应力分布规律。即梁发生纯弯曲变形后，所有横截面仍保持平面， 只是绕中性轴相对转动，截面上各点伸长处受拉，缩短处受压，其大小与该点到中性轴的 距离成正比。正应力的分布规律是：横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴的距离成 正比。中性轴上的正应力等于零，如图 2.38 所示。 图 2.38 弯曲正应力的分布规律 3．最大弯曲正应力的计算 可见，横截面上任一点的弯曲正应力公式为 z My I σ = (2.20) 式中，σ ——弯曲正应力，单位为 MPa； M ——横截面上的弯矩，单位为 N·mm； 第 2章 材料力学基础 ·77· ·77· Iz ——横截面对中性轴的惯性矩，单位是 mm4； y ——正应力作用点到中性轴的距离，单位为 mm。 公式(2.20)是工程力学中基本理论公式之一。应用公式(2.20)时，M、y 均可以绝对值代 入计算，所求得的正应力是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况，判断纤维的伸长或 缩短而确定。 由公式(2.20)可知，横截面上最大弯曲正应力发生在上下边缘上各点，即 maxmax z My I σ = 引用符号 max Z Z IW y = ，则得： max z M W σ = (2.21) 式中，Wz 称为抗弯截面系数，其大小与截面的几何形状及尺寸有关，常用单位为 mm3。 当弯矩 M 不变时，Wz 愈大， maxσ 愈小，所以 WZ是说明梁横截面抵抗弯曲破坏能力的 一个几何量。常用截面的 Iz、Wz 的计算公式如表 2-1 所示。 表 2-1 常用截面的惯性矩和抗弯截面系数 截 面 形 状 惯 性 矩 3 12z bhI = 3 12y hbI = 4 40.05 64z y DI I Dπ= = = ( ) ( ) 4 4 4 4 64 0.05 1 z y D d I I D α π −= = = − d D α = 抗 弯 截 面 模 量 2 6z bhW = 2 6y hbW = 3 30.1 32z z DW W Dπ= = = ( ) ( ) 3 4 3 4 1 32 0.1 1 z y D W W D α α π −= = = − d D α = 2.4.4 梁的弯曲强度计算 由于忽略了弯曲切应力的影响，梁的强度条件只考虑外力作用下梁内产生的最大正应 力不能超过材料的弯曲许用应力，即 [ ]maxmax z M W σ σ= ≤ (2.22) 对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为 汽车机械基础 ·78· ·78· 最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险点。 式(2.22)中，[σ ]表示许用弯曲应力。一般情况下，许用弯曲应力近似地采用许用拉(压) 应力。 弯曲强度计算可以解决弯曲强度校核、选择截面尺寸和确定许可载荷三种强度计算问 题。 【例 2-10】 在【例 2-9】中的简支梁，若选用 D=100mm，d=60mm 的空心圆形截面 钢制造，已知梁的跨度 l=3m，a=1m，b=2m，集中载荷 F=2.5kN，许用正应力[σ ]=200MPa。 不计梁的自重，试校核该梁的强度。 解：(1) 由【例 2-9】可知 ( )3 3 6max 25 10 2 1 10 1.666 7 10 N mm3 FabM l × × × ×= = = × ⋅ (2) 求截面的抗弯截面系数 ( ) 4 3 3 4 3 6060 1 1 100 18 457(mm ) 32 32z d W α ⎡ ⎤⎛ ⎞π × −⎢ ⎥⎜ ⎟π − ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= = = (3) 校核强度 6 max 1.6667 10 90.3 18457z M W σ ×= = = =90.3(MPa)＜ [ ]σ 可见，该梁的强度足够。 2.4.5 提高梁弯曲强度的措施 1．合理分布载荷 分散载荷可以使最大弯矩减小，从而可以提高梁的弯曲强度。在可能的前提下尽量把 集中载荷分散布置，如大平板车就起到了这种作用。 2. 合理分布支座，减小跨度 如龙门吊车大梁、锅炉等都将支座向里移动一段距离，降低了自重产生的最大弯矩值， 提高了弯曲强度。 3．合理选择截面形状 选择截面形状要注意以下 3 点。 (1) 选择抗弯截面模量 Wz较大的截面形状。面积一定时，Wz/A 值越大，梁的