二维离散小波变换的算法研究及有效实现（可编辑）

二维离散小波变换的算法研究及有效实现（可编辑） 二维离散小波变换的算法研究及有效实现 Rag工/k-4A全 Vf,i4: z‘一一一一一一一一一 摘要 令维离散小波变换是数字图象分析的“工““，“图象处理的“多领 域得到了广泛的应用，如图象编码与压缩，数字图象处理等.然而，2-DDWT 的实现要求大量的计算，而且在实际图象处理中，往往需要利用逆变换完 美重建原图象，这又必须避免边界失真问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。因此，在图象处理中有效地 实现二维离散小波变换具有重要的实际意义。厂 丫 本文首先简要介绍了小波变换的基本概念，然后讨论了作为离散小波 变换的理论基础的一元多分辨分析及二元张量积多分辨分析，较详细地推 导了一维和二维小波分解与重构算法。本文的重点放在实际图象处理中二 维离散小波变换的实现。通过研究对图象数据采用周期边界延拓，利用正 交小波基的二维离散周期小波变换和对图象数据采用对称周期延拓，利用 双正交小波基的二维离散小波变换的非分离计算方法的计算结构，并对由 一维正交小波滤波器和一维双正交小波滤波器以张量积方式构造的二维小 波滤波器的特点进行了分析，结合一种新的计算方式，对算法进行了改进。 传传统算法相比，改进的算法的最大特点是大大减少了乘法计算量。 另外，改进的算法对滤波器系数的精度要求更低，而且，改进的算法非常 适合于实时处理，各种输出的计算结构的类似也利于算法的实现厂犷 ‘ 关键词 离散小波变换 边界延拓 正交小波 双正交小波 完美重建 遐退理工〕兰迎全墅些主一一一― ABSTRACT Thetwo-dimensional 2-D discretewavelettransformation DWT isa powerfultoolfordigitalimageanalysis.Itisappliedinmanydomainsofimage processing,suchasimagecodingandcompression,digitalimageprocessing. Nevertheless,2-DDWTdemandsmassivecomputations,andinapplicationsof practicalimageprocessingrequiringperfectreconstructionthroughinverse wavelettransformation.Thisneedsundistortedboundarydata.Thus,itis significanttorealize2-DDWTinimageprocessingefficiently. Inthispaper,thebasicalconceptionofwavelettransformationis introducedatfirst.Then,thetheoryofmultiresolutionand2-Dtensorproduct multiresolutionwhicharetheoreticalbasesofdiscretewavelettransformation arediscussedandwaveletalgoritlunsofanalysisandreconstructionarestrictly reasoned.Theemphasisinthispaperisexplorationinrealizationof2-DDWT inimageprocessing.Throughexploringthestructureofnonseparable computationmethodappliedtorealize2-DDWTusingorthonormalwavelet basewithperiodicalextensionofimagedataandbiorthonormalwaveletbase withsymmetricalperiodicalextensionofimagedataandanalyzingcharacters of2-Dwaveletfilterswhichareproducedby1-Dwaveletfilters,and combininganewcomputationalmethod,modifiedalgorithmsareproposed. Comparedwiththeclassicalalgorithms,modifiedalgorithmsneedfewer numbersofmultiplicationsandlessprecisionforfilters.Furthermore,modified algorithmsaresuitableforreal-timeapplicationandrealizationbecauseof similarstructuresofcomputingeverysortofoutputs. Keywords discretewavelettransformation boundaryextension orthonormalwavelet biorthonormalwavelet perfectreconstruction ARM3工"Ul1兰ft,i^e3z一一一一一一一一一 绪论 自从1822年傅立叶 Fourier 发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 热传导解析理论以来，傅立叶变换一 直是信号处理领域中的最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。 但傅立叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位是完全准确的 即频域分辨率最高 ，而在时域无任何定位性 或分辨能力 ，也即傅立 叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何 局部时间段上的频率信息。相反，当一个函数用S函数展开时，它在时间 域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性 或分辨能力 ，也即 S函数分析所反映的只是信号在全部频域上的整体时域特征，而不能提供 任何频率段所对应的时间信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号，它 们的频域特征都随时间而变化，因而也可称它们为时变信号.对这一类时 变信号进行分析，通常需要提取某一时间段 或瞬间 的频域信息或某一 频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅立叶分析和S分析之间 的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号， 一直是信 号处理界及数学界长期以来的目标。 为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1946年Gabor提出了著 名的Gabor变换，之后又进一步发展短时傅立叶变换 ShortTimeFourier Transform简记为STFT，又称为加窗傅立叶变换 .目前，STFT己在许多 领域获得了广泛的应用。但由于STFT的定义决定了其窗函数的大小和形 状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利 的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们 希望对高频信号采用小时间窗，对低频信号采用大时间窗进行分析。在进 行信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT的固定时间窗 窗不随频率 而变化 的特征是相矛盾的。这表明STFT在处理这一类问题时己无能为 力了。此外，在进行数值计算时，人们希望把基函数离散化，以节约计算 时间和存储量。但Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而 给数值计算带来了不便。这些都是Gabo:变换的不足之处，但恰恰是小波 变换的特长所在。小波变换不仅继承和发展了STFT的局部化的思想，而 且克服了窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基的缺点，是一 种比较理 武汉理工大学硕士学位论文 想的进行信号处理的数学工具. 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析的方法的提出，最 早应属 1910年Haar提出的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 正交基 这是一组非正则基 。1938年， Littlewood-Paley对傅立叶级数建立了L-P理论，即按二进制频率成分分组。 Fourier变换的相位本质上不影响函数的形状与大小.1965年Galdreron发 现了再生公式，它的离散形式己接近小波展开，只是还无法得到组成一正 交系的结论。1981年，Stormberg对Haar系进行了改进，证明 了小波函数 的存在性，1982年Battle在构造量子场论中采用了类似于Galderon再生公 式的展开形式。 小波概念的真正出现应算于1984年。法国地球物理学家J.Morlet在 分析地震数据时提出将地震波按一个确定的函数的伸缩、平移系 一，/zV， -x-b ;a,b。IR,a，展开。随后，他与A.Grossmann共同进行研 发展Ta31续小波变换的何体系。由此能将任一个信号对空间和尺度 的贡献。1985年，YMeyer,A.Grossmann与I.Daubechies共同进行研究， 选取连续小波空间的一个离散子集，得到了一组离散的小波基 称为小波 框架 ;而根据小波框架的离散子集的函数，恢复了连续小波函数的全空间。 随后，人们试图寻找一组离散的正交小波基，但没有成功.1986年，YMeyer 在证明不可能存在时频域都具有一定正则性的正交小波基时，却意外地发 现了具有一定衰减性的光滑性函数，，使价j/2V 2-，二一k ,j,keZ 构成 扩 IR 的规范正交基，从而证明了确实存在小波正交系。后来，Lemarie 和Battle又分别独立地构造了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat 将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入小波分析中，提出多分辨分析 概念，统一了在此前的所有具体正交小波基的构造，并且提出相应的分解 与重构的快速算法。1988年，I.Daubecies在美国NSF/CBMS主办的小波 专题研讨会上进行了10次讲演，引起了广大数学家、观察学家、物理学家 甚至某些企业家的重视，由此将小波分析的理论发展与实际应用推向了一 个高潮。 目前小波在许多领域得到了广泛的应用，特别是在图象处理方面取得 了很好的实际效果。然而，在图象压缩与重构，图象编码，数字图象处理 武汉理工大学硕士学位论文 等许多应用中，需要利用二维离散小波变换 DWT 对图象数据进行分解， 并要利用分解后的数据完美重建原图象。这需要大量的计算，同时还需要 避免边界失真。特别在实际应用中，需要对数据进行实时处理，这就要求 必须有效地实现二维DWT. 通常实现二维DWT采用分离计算方法。分离计算方法基于二维张量 积多分辨分析中的二维尺度函数与小波函数的可分离的特点，用一维小波 滤波器分别对二维信号 图象 在水平和竖直进行卷积，最后得到所要的 结果。利用分离计算方法的传统的二维金字塔算法 PA 实现二 维DWT 时，对于长度为1的一维滤波器，计算每个2-DDWT系数时需要Ix 1+1 次乘法，而且它的计算结构不利于实时处理。利用短滤波器的二维递归金 字塔算法 RPA 可以减少乘法和加法计算量，但它并没有利用边界数据， 因此在重建图象时会造成边界失真和增加计算的复杂性.另一种实现二维 DWT的方法是非分离计算方法，即用二维小波滤波器直接对二维信号进行 分解。非分离计算方法与分离计算方法相比，计算复杂度并没有根本上的 改变，但分离计算方法只适合于小波基函数是分离的情形，而非分离计算 方法对非分离的小波基函数也适用.因此非分离计算方法具有更广泛的适 应性。更为重要的是，非分离计算方法的计算结构及其采用的二维小波滤 波器系数的分布特点使得对算法的改进成为可能。需要指出的是，本文讨 论的都是小波基函数可分离的情形，即采用的二维小波滤波器是一维小波 滤波器以张量积的方式构造的. 本文首先介绍了小波变换的基本理论。对连续小波变换，参数离散化 的连续小波变换，小波级数的基本概念作了简要的讨论，并对常用的正交 小波与双正交小波作了简要的分析。多分辨分析是离散小波变换 的理论基 础，本文主要从数学角度作了较详细的讨论。对一元多分辨分析和二元张 量积多分辨分析的概念作了较详细的介绍，对空间的分解及小波分解与重 构算法作了系统的数学上的推导。 本文重点研究了采用非分离计算方法的两种二维离散小波变换，即对 图象数据采用周期延拓，利用正交小波基函数和对图象数据采用对称周期 延拓，利用双正交小波基函数的二维离散小波变换。根据这两种变换采用 武汉理工大学硕士学位论文 的边界延拓方式，计算结构以及二维小波滤波器的特点，结合 一种新的计 算方式，分别对两种二维离散小波变换进行了改进。两种改进算法不仅可 以减少所需的乘法计算量，避免边界失真，还可降低对滤波器系数精度的 要求。而采用的新的计算方法可以实现立即对输入的每个数据进行处理， 因此特别适合于实时图象处理。另外，计算每种输出分量的计算结构的相 似性使得改进的算法很容易在普通计算机上或用硬件实现。 武汉理工大学硕士学位论文 第一章 小波变换的基本理论 1.1连续小波变换 平方可积函数f t ELZ IR 的连续小波变换定义为 ?? 马dt，a，0 WTJa ,b 一六fft P 或用内积的形式记作 WTf a,b 一 f,mo 1.z 式中'Po,bt a'Pq-t ab ”由小“v“生成的小波。 为了由连续小波变换式重构Ax ，需要俨满足容许性条件 C, lmla' 一陋01w ]lzdao 。 1.3 后边引入的小波都满足容许性条件。如果 E刀 1R ，那么毋是 连续的，则 由式 1.3 推出P 0 0，或者 fp x dx “ 1.4 满足容许性条件的小波被称为一个基本小波。而且对于基本小波 的连续小 波变换有下面的重构公式 Ax，一亩fo1.0 .,b 1.5 t wT 一” ‘da箭 同时，为了使重构的实现在数值上是稳定的，除了完全重构条 件外，还要 求小波的变换满足下面的 “稳定性条件” A:艺1毋 2一，’ 卜B 1.6 式中0 A_ B 二。 武汉理工大学硕士学位论文 1.2参数离散化的连续小波变换 在使用小波变换的应用中，常对连续的尺度参数a和连续的平移参数 b采用离散化处理。通常，尺度参数和连续的平移参数的离散化公式分别 取作a a,'和b kaojb,。这样，对应的小波即可写作 Q'j,k t a。一，/2 9 a。一，t一kb, 而离散化小波变换系数则可表示为 ci.*一皿f t 9j,k* t dt一 f,rp;.k 1.7 然而，这时明显出现一个问题，怎样选择a。和饥刁能‘保证由 Cj,*数值稳定 地重建f t ，或者说是不是任何函数都可以表示成以为基本建筑块P'j,k 1 的加权和。这个问题的回答需借助于数学上的所谓 “框架理论”，本文不打 算涉及，而是直接讨论实际工作中最常见的情况，取ao 2,饥 1。这时 的离散化小波 P'i.k 1 2-j12p 2-jt一k ，j,k。Z 被称为二进小波。 1.3小波级数 定义1.1一个函数称为是一个R-函数，如果由公式 Vj,k X 2-j"rp 2-jX一k ，j,k。Z 定义的 ,,k X 在下述意义下是L2 IR 的一个Riesz基:O j,k， j,ksZ，的 线性张成在L2 IR 中是稠密的，并且存在正常数A,B,O A_ B 二， 使 EC/.ko j.k、BllfC,,k 一 1.8 Allf，*，J I1r2n、 月.~价 112 对于所有平方可求和的序列kJ.,，成立，其中 武汉理工大学硕士学位论文 一Et""IZ 。 1.9 j--,ok-- 常数，和。分别称为、sz上界和下界。上述定义中的秘J,k x :j,kEZ 的 线性张成在刀 IR 中是稠密的可等价表述为:L2 IR 中的任意一个函数都 可以由认k x :j,kEZ 的线性组合表示。另外，由式 1.8 容易看出，Riesz 基的元素是线性独立的，它没有多余的元素。 定义1.2一个R-函数称为是一个R-小波 或简称为小波 ，如果它具 有一个对偶0EL IR ，即由0生成的小波玩,k x 与玩,k x 1满足以下关 系式 ,jkA.m卜SjjSk,m，j,k,l,mEZ 1.10 显然上述对偶性关系公式是可交换的，所以一个小波P 的 对偶0本身 是一个以PO作为它的对偶的小波。 如果v是具有对偶乒的一个小波，那么根据Riesz基的定 义，每个 了E扩 IR 能够写成为 Ax 万0j.kVjk x 艺d,kOj.k x 1.11 j,k.Z jk.Z 这两个 双 无限级数称为小波级数并且在刀 IR 中是收敛的。 根据对偶 性关系公式，得到 f,Oj,k 1.12 f,9'j,k 因此，有下述由参数离散化小波来重构有限能量信号. 定理1.3令v是具有对偶0的一个小波.对于每个f t 。LZ IR ，使 用，与0作为基小波，它的连续小波变换在 a,b 一 去，弃 的值，j,keZ, ??--一 -一- 一 -- 一 、一 、2'’2'- 武汉理工大学硕士学位论文 且口: CJ.*一 f,o;.k 二 f 2 ;,乡 扣 1.13 d;.*一 f,Pl.k/ 二， 2 ;, 那么，使用式 1.11 中的两个小波级数之一，f能够山认，* 或jdi.k 重构。 1.4正交小波与双正交小波 众所周知，Fourier分析的基函数e*'0`是一个正交基，并且它是唯一的。 然而，在小波分析里，小波变换的族函数一般不是唯一的，满足一定条件 的函数都可以作为小波变换的核函数。另外，为了使小波函数具有局域特 性，小波的支撑区必须是有限的，有时甚至要求它是紧支集。 下面简要介绍实际中常见的正交小波，半正交小波与双正交小波。 定义1.4 一个在L2 IR 中的R一小波qG t 称为正交小波，若其生成的 认.k t 满足正交条件: ',/,k19'., 一乓.。么。，j,k,m,nEZ 1.14 定义1.5 一个在L2 IR 中的R-小波V t 称为半正交小波，若其生成 的lP'i.k t 满足跨“尺度正交条件，’: gi,k,qP,, 0,j，，‘j,k,m,nEZ 1.15 显然，一个正交小波必定是半正交的，但半正交小波一般不是.下面的定 理描述了正交小波与半正交小波之间的联系。 定理1.6令kPE刀 IR 是一个半正交小波，并定义其对偶小波乒的 Fourier变换如下式规定: 分__‘、_ O w 必 co 一 1.16 y10 to+2A 12 则由，生成的小波枷二* t 与由0生成的小波伽,.k 1 在 武汉理工大学硕士学位1t C~一― pi,0i,. 一戈，凡石，j,k,l,m“Z 的意义上是双正交的 定理暗示了把一个半正交小波变成一个正交小波的直接方法:利用的抓t 的Fourier频谱必 。 计算VV 的Fourier频谱 ' m 1.17 ,z y10 oc+znk I 则正交小波由V' 1 F-'[O . ]直接给出，其中F-，表示逆Fourier变换。 由R一小波的定义，P 。与其对偶w 。生成的杭k 和城,kU 满足关系式 ，，，*，，，。卜Sj,mSi,.，j,k,m,neZ 称满足式 1.10 的枷，，* ， 和枷，* ‘为双“正交的”Riesz基，V t 和0 t 为 双正交小波，即上面定义的R-小波实际就是双正交小波。可以看出，正交 实际是单个函数自身的正交性，而双正交则指两个函数之间的正交性. 武汉理工大学硕士学位论文 第二章多分辨分析和离散小波变换 2.1厂 IR 空间的分解 山上一章知道，如果某个小波lpE扩 IR 己经被构造，则任一 fEL2 IR 都能表示为小波级数 Ax 艺Cj.kPj.k x 设巩是集合 pj.k x :kEZ 的线性张成L2 IR 中的闭包。即对于 P',,k x 2j12rp 2jx一k 有 岭一clost,uR 帆*:。‘Z 2.1 于是，这个尸 IR 的子空间族给出尸 IR 的一种直和分解，即每 个 f 〔L2 IR 有一种唯一分解 f x ...+5, x +S. x +S x +... 2.2 其中8j。代，对于所有jEZ，并且写出 L2 1R 艺W,:一+W-,-i-W,+W+... 2.3 jez 在巩中，f的分量S，有唯一的小波级数表示。使用式 2.3 中 的分解，定义 L2 IR 的闭子空间V,,jEZ，的一个嵌套序列 V,: …千WI-2干W,_, 2.4 这些子空间明显具有以下性质: 1 批 是一个嵌套序列，即 …cV,cVocV,〔… 武汉理工大学硕十学位论文 2 所有称的并在刀 IR 中是稠密的，即 clos,,- t ZV, 一LZ IR 3 所有V,的交是零函数，即 ZV, o 4 f x 。代。.f 2x 。代+，， j“z 5 价+， 价子嗽， k“Z 现在，假定存在一个函数0EVo使 伽 x一k :k。Z 是具有Riesz界A与B 0 A5B oo 的一个Riesz基，即对于所有双无 限平方可和序列 c- ，有 Ail c. 1- 艺C.Otx :BIIfgn j 2.5 丸,k x : 21iz0 2jx一k 由式 2.5 和上面的性质 4 得到，对于每个jEZ，族 101,:、。Z 也是具有相同Riesz界A与B的一个Riesz基。且空间代还具有下述性质 6 f x 。V,qf x+了 任气 如何由O x EL' IR 出发，使o,.,, x 张成L' IR 的闭子空间 气一closou10 o, x :neZ 2.6 武汉理工大学硕士学位论文 的序列讯 满足性质 1 , 2 , 3 , 4 , 6 且仲 x一n :neZ 是叽的一个Riesz 墓，这就是多分辨分析，这时O x 就称为尺度函数。 V,干 W, Vi_,子 WI-I Vi-2+ W,_Z Vo 千 Wu 图一 刀 IR 空间的分解 2.2多分辨分析的概念 定义2.1L' IR 闭子空间的序列低 ,kEZ，称为形成一个多分辨分 析，如果 Vk 满足上述条件 1 , 2 , 3 , 4 , 6 且存在L' IR 的一个函数 O x ，使 o, x :neZ 是Vu的一个Riesz基。这时，还称O x 是尺度函数。 定义 ‘卜的条件 3 可以省掉，因为它可以由其他条件推出，为了方便我们任 保留这个条件。 山于 0 ,,, x :n。ZJ是Vu的一个Riesz基，由条件 4 ，o , x :。。Z 也是Vk 的一个Riesz-4.所以也称函数O x 生成一个多分辨分析V k o 武汉理 !:人学硕十学位论文 设O x 生成一个多分辨分析 Vk ，由于O x eVpcV,，所以91 x 可以 IliV,的基底伽,,- x :nEZ 表示。由于抽,, x :nEZ 是V,的一个Riesz基， 所以存在唯一1’序列伽， ，使 O x 二艺p-" 2x一n 2.7 式 2.7 就是函数0的两尺度关系。序列 X 称为两尺度序列。 对于模为1的复数z，引入如下记号: P Z 弓 Z : 2互Pnz 2.8 称为序列知， 的符号。对于式 2.8 两边作Fourier变换，则得到两尺度关 系式的Fourier变换形式 O W PZ A争， 对于P z ，它一般是一个 级数这时序列 Pn卜1'。如果一个 Laurent级数的系列是11序列，则称这个Laurent级数属于Wiener类w.容 易看到，两个1'序列的和与离散卷积还是1'序列，所以、足 个代数。 卜 面引入Wiene:的著名定理，实际情况是w甚至优于一个代数。 定理2.2令fC-w并且对于在单位圆卜卜1上的所有:，假定f z #0. 那么“步一。 对于91 x 生成的多分辨分析 Vr ，山于Vo仁V,,，现在考Vo关l几V,的 补空间巩，即I'少要求V.,巩满足 VonWo 0 ， V二Vo+Wa 2.9 武汉理工大学硕士学位论文 满足式 2.9 中的两个性质的Vn,WO称为是V的直接和 V. Vo4-叽 为了构造像OW生成Vu一样，生成WO的小波p x ，由于p x EWocV 所以考另外的1’序列位* 及由它定义的K中的函数P x . rp x :一艺9.0 2x一n 同样，对于】z1 1的复数，引入序列位。 的符号 Qz 2yq.-z' ，，‘??”， 对两边施行Fourier变换，类似得 Ow QZ k号，， 一’”‘ ，」‘， 要求函数9 x E叽，并且像O x 生成Vo一样的方式生成闭子空间叽，即 WO一close, 二 .p x一” :nEZ 2.12 同时还要注意，要求序列帆玉kEZ，继承性质 4 ，以便由v,.- x 类似 2.12 生成空间Wk。 为满足 2.12 式，要求伽 x一n ,v x一n :nEZ 是K的一个Riesz基即 可。这时O x一n ,v 二一n ,nEZ是线性无关的，又伽 x一n :nEZ 是Vu的 一个Riesz基，所以 rp x-n :neZ 当然是WO的一个Riesz基，而式 3.13 自然满足。除此之外，我们还关心K 气。巩的情况，即巩是Vo关于V的 正交补的情形。 2.3尺度函数与小波 武汉理工大学硕士学位论文 作矩阵M z 产 才 ! M P z Q 一: 、 Z - 一 2.13 . ‘ 、 P z Q -z 考虑矩阵公式M z 的行列式detM z ，因为P与Q属于w而w是一个代 数，所以有 detM z ‘w 如果在同 1上，detM z *0,那么根据定理2.2,又有 1 2.14 detM z 求二阶矩阵M 习的逆， -I- 1 M z 2.15 detM z 1上作函数 在Iz 二 G z :Q -z /detM z H z :-P -z /detM z 则有 G z G-- z ' H z H -z M z ，一’一〔 定理2.3如果在式 2.13 中的矩阵MT z 对于所有同 1可 逆，那么生 成 M z -，中的符号G z ,H z 的序列伪。 低 EI'。进而，对 所有二。IR, 有0与97之间的 “分解关系” ， ，一卜‘21-F-x802,1 一n +h2-_,rp x一n ,I ‘2 2.16 武汉理_L人学硕十学位论文 证明 由 r / I ‘ n 、 ‘ U l ， M 万 M 2 一 一 I l e e 了 自 n I t . 、 / 得到其等价形式 P z G z +Q z H z 1 2.17 P z G -z +Q z H -z 0 山定理2.2,G z ,H z ew，可写成 Gz 一21-L-.q8-z H z 二J]h-z" 2.18 其中坛。 风卜1'。把式 2.17 第一式与第二式相加减，得到 式 2.17 等价形 式 +G -z +Q z H z +H -z 1 丁P z G z 2.19 一G -z +Q z H z 一H -z 1 tP z G z ，式 2.19 可写成 ?? 考到公式 2.18 P Z 艺92kZ2k+Q Z 艺h2kz2k- I' z 艺92*一二，一，‘+Q z 艺h2kI '2k z! 2.20 因此，通过设: 。一‘’并且用k孚 与:k孚 依次乘公式: ;的两个恒等式， 艺 乙 则有 万9 21Z2kpZ Y'警 ，+h2kZ2kQZ 2 2.21 一艺 Kzk-iz2kP z 2 +h2*一’kQZ ,k警 ，， 这等价一1 武汉理 「大学硕士学位论文 艺 g2kZ2k w +hlkL2k0 0 2.22 亡- n Gr g2k-iZ2k w +h2k-iZ21O W 因此，对公式 2.22 两边取逆变换，得到 20 2x 二艺 g2ko x一k +h2,So x一k 2.23 2 2x一1 I g2*一O x一k +h2k-IP x一k 很明显，公式 2.23 等价于公式 2.16 . 2.4分解算法与重构算法 对于任一f x eL2 !R ，令几是对一个固定的NEZ的f在叽上的射 影。当然，这个射影不一定是尸 !R 正交射影。可以把蛛看作是 “抽样空 间”而把JN看作在VN上的 “数据” 或测量值 。因为 VN WN-I千价-I … _W ,s 子WN-2补二牛WN-M子蛛-M 对于任何正整数M，f,有唯一分解 几 x ”gN-I x +9N-2 x +...+9N-A4 x +几_、 x 2.24 其中 W, j一N一M,一N一1 ，g,x 气 LlN-Mlx 任vN-M 可以写出 再" x 艺。，,,,,0 2"'、一n eV 2.25 g-I x 艺d . :, P 2' ，二一n Id十、. 确定 f是公式 2.24 1[，的分解唯地 1]公式 2.25 11，的序列扣，十..， ’。 武汉理 1一大学硕十学位论文 山O x 与 9 x 的两尺度关系 一艺pn0 2x一n 一艺9n0 2:一，， 及O x jP x 的分解关系 ， ，一卜‘合Y，a ，一一“，??，一“，一 ，，， Z??‘ 其L卜: 2 “”: 丁g b-:一合h-- 应用分解关系式，有 .f-i x 一艺c,,,,,0 2"'x一1 f 一Y-C，二:，，月 ! 艺 杯 f L 口 02 ，一 +b,-znpt2 '一 、 ! 2 ， J . 、 、 ， 0 2':一" +Y-1Y-b,-znCjAlI 俨 . 、 ‘ X - n 尹 一I 艺C-C2,,1 jN,1 J 1占1此，0!分解1、，1 x 式 x +g, x ，得到 E 艺U,-2nC,.,.,一Cm 0 2'x一n +艺 艺b, z.，一，，一i.“i ， ，，一 一。 所以，山认、，:neZ 与枷，，:neZ 的1’线性无关性以及牡nW，一 “，就 得到分解算法: 十 C - 一 艺 刀 Q,-2nC,,I,n . 、 1 d ‘ - - ? 艺 2.26 . 刀 玩-znCi*i I t ? 分解过程为: 武汉理工人学硕十学位论文 dN-I dN-2 dN-M 尸 尸 厂 尸 CN -o'CN-[一卜CN-2-奋 ??????-月卜CN-M 其中，c*一C,,.I1,dk一-,dI 同样，应JU两尺度关系，有 f x +g, x 一艺02,'c.; x一1 +艺d,, o 2'x一1 一艺,,,c艺-P02'" x一21一n +艺di., 艺P42,''.1 x一21一n 一艺艺 c,.lPn-2r+di.rgn-,r 0 2'rlx一n 一万军 rP n-zic,,r+9n-2rd.，一 02 ，一 因为f, x 十g; x f,., x 借助f,; x 的表示公式和认.Ln:ncZ 的线性 无关性，得到重构算法: ,,c.[。二艺 P-21C.0+q.-zrdi,r 2.27 重构过程为: dN-M dN-A/N dN-I 、 、 、 、 CN-M-粉CN-Af.l.一卜?????? -月卜CN-.一奋 CN 2.5 二元张量积小波分析 引入LZ 1Xz 空间内积 f,g 一工,f x,Y g x,Y dxdy,f,gELZ IRZ 2.28 利!应的范数定义为 武汉理厂大学硕十学位论文 Ilfll,1-w 一 ,/,f 1/2,fEL2 IR2 2.29 f x,Y 的Fourier变换定义为 .f S f 11 2 一工2fx ,Y e-"x ,"'f,ldxdy 2.30 设12和G是两个有限维或可数维线性空Info1,:和G的从 底分别是 ..,f_I,fo,f,…与…,S-1,%0,81，一 形如./,S, i 0,11,12,...;J 0,11,12，二 的元素为荃底的空间H，称为空间F和G的张量积空间，表示为 /l FOG 2.31 如果F,G分别是函数空间，又设F中的函数自变量为x,G1 ，的函数自 变量为Y，则张量积空问H中的元素称为二元张量积函数或张量积曲面。 现在，设一元尺度函数0' X 生成一个多分辨分析IV,, 而设一元尺度函 数01 Y 生成一个多分辨分析沁 ，则V '与Vk2的张量积空问 Vk 刁?叮 2.32 山于Vk的m-Ikt是f2k/2,k1 2二‘一J J，而Vk2的基底是J2k/2o2 2k，一/ ,所以Vk 的J,。底是仁k01 2二‘一、 02 2k，一， 。 对二Jum1数./' x,l, ，引入记号 fk;,J x,Y 2kf 2kx一j,2'y一/ O x,Y OI x 02 Y 则从.， x,y :.j,1eZZ是V,II'li 底。所以 Vk形成L Ill- I I的一个多分1i 分析，IfIJO s,y 足filI1 Y的尺1xII'YI数。 设Vk关护叮.的补空间是Wkl，心关犷V2...的补空间是J,叮，即 武汉理_人「学硕十学位论文 V1al之Vk牛Wk， V2++II二Vk2千叮 2.33 现在，设训 x 生成叫，尹 Y 生成叮，即 Yyo:一closen I X一k :k。ZZ Woe:一closl,ue， ,p2 ，一k :kEZZ 234 这时 Vk+一Vk十!?Vk2+l Vkl千Wk ? Vk2干Wk' 刁?叮千刁?叼干叼0叮牛叼?叮 2.35 记叭 叼，，宇叼，，千叼，，，其cia 叫I 一叮?叮，叫2 叼?叮，叼3 -叼?衅 同样，LU-TVk1i j基底是铆201 2k二一川，W2的基底是J2k129 1 2k，一1 , 则叫，，的荃 fi是仁kol 2二‘一， P 2 2k，一， 。记 kV' x,Y 必I x w2 Y 则叮，的基底是斌，1，:，，，。ZZ 。类似地，记 p , x,Y p, x 沪2 Y 0, x,Y 0 'x D 2 Y 则叼，，的基底是斌，.，:j,IEZZJ,Wk"，的基底是斌j，，:j，，。 22 。 与一元类似，我们有直和分解 尸 IRZ ...+W_,+叽千叱 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 二 2.36 这样，每个f x,y eLZ IRZ 都有唯一分解 武汉理工大学硕十学位论文 f x,Y …+8-I X,Y +So x,Y +g, X,Y +... 2.37 其中，9k X,Y eWke 由式 2.35 ，设人 X,Y E气,9k X,Y C-叭，则 A, X,y 二fk X,Y +9k XIY 因此，对于f x,y EL2 IR2 ，则对充分大的N，用fN X,Y EVN 可以非常 好地逼近f X,Y 。所以，fN具有分解 几 9N-1+9N-2+***+9N-M+九_、 2.38 其中对任何k,fkeVk和9keWk。这时9kEWk还可进一步分解为 g*二9;，，+gk2 +gk3 其中gk 。叫，‘ i 1,2,3 o 2.6二维分解与重构算法 山一元两尺度关系 尹 x - 一 艺 P 冲 户 ， x 艺PO'. 2x一n 2x一m x 一乞q 'OI 2二一。 及尹 x 一 一 艺 ， q 价 华 2x一m . 得到张量积两尺度关系为 O X,Y 艺P-,,,0 2x一n,2y一m P, X,Y 二艺q..m0 2x一n,2y一m 卜 1,2,3 2.39 羚 中 P-, PnP 2,，q": p.'q.2，q2,m q 此 ，q1,. 。止q 2, 再 川 一元的分解关系 武汉理工大学硕士学位论文 0' 2x一， Y-Il-l.0, x一n +b,'-,,.p' x一n 0' 2，一， 一Y-l''i-,.Ol y一m +bb-?ji-Z2m.q,2 X一M l 得到二元张量积分解关系 0 2x一1,2，一J 艺ar-2n,J-2mY' x一n,，一m +艺brr-2^,j-2mVr x一n,Y一m +艺bt2-2n,,-zmV2 x一n,，一m +艺br3-2.,j-2mV3 x一n,，一m 刀.用 月.脚 2.40 a.,'_-2,,，aaJ2-2.，b,', J-2ma,'_-2,。bbj2-2. a,-2,,,-,. ‘ bl22 'j-2. b吞之l'-22.。.J2-2.，b13-2 j-2.bl'-2nbj'-2. A X,y 二艺Ckl,.0 2*x一n,2ky一M 9k"' X,Y 艺dk',;m9' 2kX一n,2ky一m 月.加 则由 Jk+r x,Y Jk x.Y +8k0 x,Y +Sk2' x,Y +8 犷' x,Y 得到分解算法 艺ar-2n,l-2mCk+I,r,l rJ 2.41 艺b-;2^,J-z.Ck+r,r.i IJ 事实上，由分解关系式 f,." x,Y 一艺Ck+I;I,JTJJJ 2k+IS一1,2k+1，一J rJ Ck+Ia,J艺aal-22卜,，,J,,-一22,。, 沪0 22kS一。，2k，一m 十艺艺bl-2n,,-2.P 官习 几用 2 kx-n,2一 ‘ 」 23 武汉理工大学硕士学位论文 一茶 粤一，，一 2 *一一‘， + Lr l bl-2n,j-2mCk+I:1.J 于二1”、m l,1 l2 一‘一 ‘” 山从、。 斌,,n,7 i一1,2,3 的线性无关性及 vk门Wk 0 , W1'1门叼j 0 r,i 1,2,3,1#j 则得到式 2.40 . 对于固定的*，由扣*;。，。 及认，，。 一‘，,2,3 ，可重 构卜k+ln;,m 。应用 两尺度关系式，有 人 X,Y +8kq X,Y +Sk2 X,Y +Sks X,Y 艺Ck;1.io 2kx一1,2ky一j +艺Lrdk,:J9,' 2'x一1,2ky一j Ij ,二 1.i 一L rCck*l，;J，，L 'r+Pn,m0 2k+IX一21一，， 2k+1Y一2j一m la 月.用 +艺艺《，，，艺q.,.0 2"'x一21一n,2k+1， 一2j一m 11,J 门.m -Y-jY- Ckl;.jPn-21,m-21+ydk;l,ign-2l 月，厉 1.少 。一， +2k+1X-n,2*一 人十. X,Y 。 由于从+1n;,.:n,meZZ 的线性无关性，得到 CkH;n,m Z Pn-21,.-2iCk1;.1+j9n-21.n,-2,dk,1,, 2.42 1" 24 武汉理工大学硕士学位论文 2.6二维离散小波变换的直接实现 对在时间上是离散的信号f n nEZ 进行小波变换，相应 的小波不仅 要对尺度参数和时移参数进行离散化处理 常取a 21,6 k2j, j,keZ ， 而且时间也应该是离散的，这时小波91l,*定义为 0 j,k n 二2-j/2p 2-in一k ，j,ksZ 经过离散化处理的小波变换定义如 「 di.k 艺.f n 0J.k n 2-i/z艺.f n o 2-ln一k ， j,k,n“Z 2.43 由上一章的多分辨分析与小波分解算法出发，可以对离散时间信号 x n 进行多分辨率分解。将x n 记作x, n ,xN n 可以唯一表示空间珠 的一个函数x O x t 一IxN n 0 2'1-n 2.44 可把x, n 看作空间吟的离散信号。利用分解算法经过一层分解有 x、一: n 艺-a,,zx, I d，一， n 艺bi-InXN 1 xN-1 n 可看作在空间蛛_，中对x, n 的离散逼近，而d,-, n 看作x, n 在 空间叽_:中的离散细节分量。这样经过M层分解后，x, n 被分解成M个 离散细节分量dN-i n ,d,-2 n ,...,dN-M n 和一个离散逼近信号 ‘-, n . 上述两种离散序列的小波变换的运算结构相似但意义是不同的，前一 种变换是基于连续小波变换的理论，求离散序列的小波系数，以便对信号 武汉理工大学硕士学位论文 特征进行分析，而后一种是基于多分辨分析的思想对离散序列进行多分辨 率分解，将信号分解成不同的成分。因此，把前一种小波变换仍称作连续 小波变换 CWT ，后一种变换称作离散小波变换 DWT e 同样可以用滤波器组理论来解释基于多分辨分析的离散小波变换。输入序 列 ‘ n 分别通过双通道滤波器组h，g。h有低通性质，g具有高通性质， 因此它们的滤波输出分别对应于离散信号的低频概貌和高频细节。由于两 滤波器的输出序列长度都同输入序列相同，因此，结果总长度变为原始信 号长度的两倍。由于原始信号的频带等分成为低通和高通两部分，所以滤 波后输出序列的带宽只有原始信号的一半。由带限信号的采样定理知，可 以将采样率降低一半而不失任何信息，因此，此处进行二抽取是允许的。 对应的数据长度减半，使总输出序列长度与输入一长度保持一 致。 、一: n x,, n d,v-i n 图二 离散信号分解示意图 由于利用非分离小波基函数的二维小波变换理论还不成熟，实际应用 中的二维离散小波变换一般是基于前面介绍的二元张量积多分辨分析理 论。前面已经介绍了二维分解算法的基本原理，下面介绍实现二维离散小 波变换的两种途径，分离计算方法和非分离计算方法。 分离算法实际就是分别在二维信号的行和列上进行一维卷 积。图三 显示了用滤波器的形式表示的这一过程。对于输入的NxN 维信号 ss, m,n ，在第一层，首先用低通滤波器h m 和高通滤波器g m 分别与二 维信号 图象 的每行作卷积并丢弃奇数列。接着，这个丝xN阵列的每 列再和h m 和g m 相卷积，丢弃奇数行，其结果就是该层变换所要求的四 个数组。 武汉理工大学硕士学位论文 ss,-, m,n sd,-, m,n ss, m,n ds,-, m,n dd,-, m,n 图三 采用分离方式的2-DDWT分解数据流示意图 图中的5s，一， m,n ,sd,-, m,n ,也一; m,n 和dd,-, m,n 分别表示从二维信 号ss, m,n 分解出的低通分量、水平方向细节分量、竖直方向细节分量和 45'方向细节分量??应用同样的方法可继续对ss,-, m,n 进行分解?? 非分离计算方法是直接利用二维小波滤波器对二维信号进行分解。用 非分离计算方法对ss, m,n 执行一层分解的2-DDWI，的表达式如下 L-I材 _1 ss，一，m ,n 艺艺w,.,xss, 2m+i,2n+k 二Y-Ss,-,m ,n fi i 0k.0 L-IM-I sd,-,. m,n 叉艺x,,kxss, 2m+i,2n+k 二工ss，一， m,n i i 0k 0 I.-1M 一 ds，一 m,n 艺艺Y，、xss, 2m+i,2n+k 二艺SS"一 m,n i ， 0 寿 0 乙一泣M -I dd，一，. m,n 艺艺:，，*xss, 2m+i,2n+k 二艺ss，一， m,n i i o k o 2.45 武汉理工大学硕士学位论文 其中WQ，Xj,，v,,，和Z,，分别表示低一低，低一高，高低??，高一高LxM二维 滤波器数组。需要指出的是，实际应用中上述四个二维滤波器的尺寸并不 一定相同，为表示方便，对短滤波器补零实现上述要求。 图4是用二维离散小波变换对图像进行分解的示意图，L 表示低频，H 表示高频，下标1，2表示一级或二级分解。 LL2 H乙2HL, LL, HI,, LH 角y2 一.卜 一 j卜 L 】 H LH, 刀H LH, HH, 图四 . 图像小波分解示意图 武汉理工大学硕士学位论文 第三章 二维离散周期小波变换的改进算法 二维DWT是数字图像分析的有力工具.在许多应用中，如图像编码 与压缩，数字图像处理等，需要利用逆小波变换完美重建。也就是说，重 建图像应该等于原输入图像。为实现完美重建，在进行变换时需要对图像 数据进行边界延拓。常用的边界延拓方法有两种:周期延拓，对称周期延 拓。当对图象分解使用的小波基函数是正交小波时，适于对图象数据采用 周期延拓的方法，而使用的小波基函数是对称双正交小波时，对 图象数据 采用对称周期延拓的方法效果最好。本章主要讨论正交小波及周期延拓的 情形，在下一章介绍对称双正交小波及对称周期延拓在图象分解中的应用。 利用周期延拓要求在二维DWT中利用周期化的小波。利用周期化的 小波进行二维DWT被称作二维离散周期小波变换 DPWT . 由于二维DPWT的复杂性，通常使用前面提到的分离算法，即分别在 水平和竖直方向进行一维DPWT。然而，利用这种分离途径的传统金字塔 算法 PA 会造成很长的延迟，而且计算每个二维DPWT系数需要lx /+l 次乘法，其中1表示离散滤波器的长度。利用短滤波器的递归金字塔算法 RPA 计算每个二维DPW]，系数需要31x 1十1 14次乘法，但要求完 美重建时会导致计算复杂度的增加. 在本章中，首先简要介绍了DPWT的基本原理，然后介绍非分离二维 DPWT算法，并分析了非分离算法的结构，进而对非分离算法进行了改进。 最后，对改进的算法的性能进行了分析。 3.1二维DPWT的分离算法 给定一个负整数J，一J被称作分解水平。让N 2-r，N表示一维有 限信号的采样数据的个数。对于给定的长度为1的离散正交小波 滤波器组的 低通和高通离散滤波器系数序列h,g应满足以下关系式 - 1 1 艺 气 . 几 二，，艺，一4,艺- 1 'h; 0, 曰 和 9 “ 一1 'hza-,.l 取2.1 1一2 3.1 将h,g扩充为N维列向量即h [ho,h,...,h,-,r，g fgo,91,-,g,v-iT，其 中h, h,, 一 hN-1 91 gw 一 9N-1 o。让T为NxN矩阵，定义为 武汉理T大学硕十学位论文 一 l 0 T 一 e s