分段函数和单调性练习
题
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一、选择题(每小题5分，一共12道小题，总分60分)
1．下列各组函数中，f（x）与g（x）
表
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示同一函数的是（ ）
A．f（x）=x﹣1与g（x）=
B．f（x）=x与g（x）=
C．f（x）=x与g（x）=
D．f（x）=
与g（x）=x+2
2．函数
则
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
3．若函数
，则f（f（1））的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．设函数f（x）=
，则f（log2
）+f（
）的值等于（ ）
A．
B．1 C．5 D．7
5．函数
的值域是（）
A．
B．
C．
D．
6．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若f（x）=
，e＜b＜a，则（ ）
A．f（a）＞f（b） B．f（a）=f（b）
C．f（a）＜f（b） D．f（a）f（b）＞1
8．若函数
是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)
9．已知
定义在区间
单调递增，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．
不单调，
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．“x=30°”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3] B．[3，+∞） C．{﹣3} D．（﹣∞，5）
二、填空题(每小题5分，一共4道小题，总分20分)
13．已知函数f（x）=x2﹣kx﹣8在区间[2，5]上具有单调性，则实数k的取值范围是．
14．已知函数
的值域为R，则a的取值范围是．
15．若不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
答案
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1．C
【解析】
试题
分析
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：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判定它们是同一个函数．
解：对于A，f（x）=x﹣1与g（x）=
=|x﹣1|，两个函数的解析式不同，不是同一函数；
对于B，f（x）=x（x∈R）与g（x）=
=x（x≠0），两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，f（x）=x（x∈R）与g（x）=
=x（x∈R），两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，f（x）=
=x+2（x≠2）与g（x）=x+2（x∈R），两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
故选：C．
考点：判断两个函数是否为同一函数．
2．C
【解析】
试题分析：函数为分段函数，可将不等式
写成不等式组
，可求得该不等式组的解集为
，故本题的正确选项为C.
考点：解不等式.
3．B
【解析】
试题分析：求出f（1）的值，从而求出f（f（1））=f（0）的值即可．
解：f（1）=
=0，
∴f（f（1））=f（0）=﹣30+1=0，
故选：B．
考点：函数的值．
4．D
【解析】
试题分析：化简f（log2
）+f（
）=
+
，从而解得．
解：∵log2
＜0，
＞0，
∴f（log2
）+f（
）
=
+
=6+1=7，
故选：D．
考点：函数的值．
5．B
【解析】
试题分析：因为
，所以
，即
，即函数
的值域是
；故选B．
考点：函数的值域．
6．C
【解析】
试题分析：函数的定义域，
，解得：
，故选
．
考点：函数的定义域
7．C
【解析】
试题分析：求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．
解：∵f（x）=
，
∴f′（x）=
，
∴函数在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∵e＜b＜a，
∴f（a）＜f（b），
故选：C．
考点：利用导数研究函数的单调性．
8．D
【解析】
试题分析：分段函数在定义域是增函数，需满足
，解得
，故选D.
考点：分段函数
9．A
【解析】
试题分析：由已知偶函数
在区间
单调递增，则函数
在区间
单调递减；再由
，可得
，解出即得
；故选A．
考点：函数的奇偶性和单调性．
【
方法
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点晴】本题是函数性质运用的经典试题，由偶函数
在区间
上单调性可推出函数
在区间
上的单调性，因为偶函数的图像都是关于
轴对称的；再根据已知不等式得出一个绝对值不等式，解出即可；另外，如果函数
是奇函数，且函数
在区间
单调递增，此时情况相对简单一点，因为函数
在区间
上的单调性和在
是一样的，只需要
即可．
10．A
【解析】
试题分析：由已知，当二次函数对称轴位于区间
内时，函数
不单调，又函数
对称轴为
，所以
，故选A．
考点：二次函数的单调性．
11．A
【解析】
试题分析：通过前者推出后者，后者推不出前者，利用充要条件的判断方法，得到结果．
解：因为“x=30°”?“
”正确，
但是
解得x=k?360°+30°或x=k?360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，
所以“x=30°”是“
”的充分而不必要条件．
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
12．A
【解析】
试题分析：先求函数的对称轴，然后根据二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数建立不等关系，解之即可．
解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，
又函数在区间（﹣∞，4）上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．
故选A．
考点：二次函数的性质．
13．（﹣∞，4]∪[10，+∞）
【解析】
试题分析：函数f（x）=x2﹣kx﹣8在[2，5]上具有单调性可知[2，5]在对称轴一侧，列出不等式解出．
解：f（x）图象的对称轴是x=
，
∵f（x）=x2﹣kx﹣8在[2，5]上具有单调性，
∴
≤2或
≥5．
解得k≤4或k≥10．
故答案为（﹣∞，4]∪[10，+∞）．
考点：二次函数的性质．
14．
【解析】
试题分析：
，
，
，
值域为
，
必须到
，
即满足：
，即
，故答案为
．
考点：函数的值域．
15．
【解析】
试题分析：由题意得，不等式
得
；因为不等式
成立的充分不必要条件是
，所以
，经检验知，等号可以取得，所以
．
考点：充分不必要条件的应用．
考点：1、函数的值域；2、函数的定义域；3、二次函数的单调区间及其最值问题．
【思路定睛】本题主要考查了函数的值域、函数的定义域和二次函数的单调区间及其最值问题，考查学生综合运用知识的能力和逻辑推理能力，属中档题．其解题的关键有两点：其一是正确地理解函数的定义域和值域都是
，这说明函数的最大值和最小值的取得均在区间的端点处取得；其二是能根据对称轴对函数进行合理的分类讨论，进而得出所求的结果．
16．7
【解析】
试题分析：由题意得，
．
考点：分段函数求值．
17．（1）草图见解析；（2）y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，
y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1
【解析】
试题分析：（1）根据函数的解析式画出函数的图象．
（2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点．
解：（1）函数草图，如图所示：
f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0），
显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与
都过点（1，0），
且
过点（2，﹣1）．
（2）y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，
y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1．
考点：对数函数图象与性质的综合应用．
18．(Ⅰ)
；(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)先求集合
，由条件知
的值正好是集合
对应端点的值，解得
；(Ⅱ) 由题意得
试题解析：(Ⅰ)因为
，由题意得，
.
(Ⅱ) 由题意得
考点：集合的关系、充要条件、一元二次不等式的解法.
浙公网安备 33021202002483