求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的
一种新方法
2009年9月
第23卷第3期总77期
北京联合大学(自然科学版)
JournalofBeijingUnionUniversity(NaturalSciences)
Sep.2009
V01.23No.3SumNo.77
求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的
一
种新方法
邢春峰,袁安锋,王朝旺
(北京联合大学基础部,北京100101)
[摘要]为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶常系数线性非齐次微分方程的
通解,这里使用常数变易法,在先求得二阶常系数线性齐次微分方程一个特解的情况下,将二阶
常系数线性非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程,从而给出了一种运算量较小的二阶常系
数线性非齐次微分方程通解的一般公式,并且将通解公式进行了推广,实例证明该方法是可行
的.
[关键词]二阶常系数非齐次线性微分方程;通解;特解
[中图分类号]0175[文献标识码]A[文章编号]1005.0310(2009)03-0073-03
TheFormulaofGeneralSolutionforSecondOrderLinear
DifferentialEquationwithConstantCoefficients
XINGChun—feng,YUANAn—feng,WANGChao—wang
(BasicCoursesDepartmentofBeijingUnionUniversity,Beijing100101,China) Abstract:Inordertoobtainmoregeneralsolutionofsecondorderlineardifferentialequationwithconstantcoefficients,
whichisimportantintheoryandpractice,onthebasisofknowingaspecialofthesecondorderlineardifferential
equationwithconstantcoefficientsandbyusingthemethodofvariationofconstant,thesecondorderlineardifferential
equationwithconstantcoe侬
cientsiStransferredtothereduceddifferentialequationandageneralformulaofthesecond orderlineardifferentialequationwithconstantcoefficientsiSderived.Examplesaregiventoverifythemethod.
Keywords:secondorderlineardifferentialequationwithconstantcoefficients;generalsolution;particularsolution
对于二阶常系数非齐次线性微分方程
+py+qY=f(),(1)
其中P,q是实的常数,f()在其定义域内连续,
以下同此.一般高等数学教材中给出方程(1)的通
解等于对应的齐次方程
+p),+qY=0(2)
的通解加上自身的一个特解(如文献[1]).
针对方程(1)中的非齐次项f()是某些特殊
类型的函数,特别是P(),P()eh,
e[Pl()c0s(u+P2()sinwx】(其中P(),
P()和P:()为多项式)时,一般教材均按待定
系数法来求得方程(1)的特解(如文献[2]).当然,
待定系数法有其方程式化的特点,但计算量大.另
外这种方法要对非齐次项厂()进行分类试解,学
生必须记住分类试解的形式,不便于记忆和应用.
本文提供了一种直接求方程(1)通解的新方
法,该方法有助于学生全面了解方程的特点,便于 记忆和应用,并且扩大了可求解方程的范围. 设方程(1)的通解为
Y=u()()A",
[收稿Et期]2008—09—23
[作者简介]邢春峰(1970一),男,山东德州人,北京联合大学基础部副教授,主要从事
应用数学理论与高职数学教学
的研究;袁安锋(1979一),男,山东日照人,北京联合大学基础部讲师,主要从事应用
数学理论与高等数学教学的研究.
74北京联合大学(自然科学版)2009年9月 即寻找两个函数"=u(),=(),使得Y:
UV为方程(1)的通解.求导得
y="+UV,=UPPV+2ll,tv+u, 将Y,Y,代入(1)化简得
IAY+(2"+pu)+(U+pu+q")=f().
(3)
首先寻找函数="().在(3)中不妨令
"+p"+qu=0,(4)
显然(4)为二阶常系数齐次线性微分方程.这时取 H=e(5)
即可,其中r为(4)的特征方程的一个特征根. 将(4)和(5)代入(3)化简得
+(2r+P)=f()e一",(6)
显然(6)为可降阶的微分方程.利用可降阶的微分 方程的求解方法可求得(6)的通解(即求得: ())为
=e
(2r+p)x(f,()e(r+p)d+cd+c.,
其中积分I,()e?hd和
(I,()e'hd+C1)d表示一个原函数,c和C2 为任意常数.
由此得(1)的通解为
,,=e(?e山dd].
综上所述,把求方程(1)通解的过程归纳如下: 定理对于二阶常系数非齐次线性微分方程 (1),假设(1)对应的齐次方程(2)的特征方程有特 征根r,则(1)的通解为
y=e
(()e(r+p)xd+c—d+c2],
其中积分
(7)
I/()e""hd和
(I,()e"hdx+e1)dx表示一个原函数,c和c: 为任意常数.
说明:设(2)的特征方程的特征根为r.,r:, 1)若r,?r:,这时取r,r之一作为r的值代 入(7)就可求得通解;
2)若r=r=r,代入(7)可得(1)的通解为 y=e
[f((一d)d+c2];(8)
3)若r.,
=a?,这时取r.,,:之一作为r
的值代人(7)后在求得的解中取实部即为(1)的通 解,即
y=Re{e[Ie-(2r+p)x(1厂()e"d+ c1)dx+c2]}.
例1求微分方程一3y+2y=Xe2的通 解.
解对应的齐次方程的特征方程为r一3r+2 =0,特征根为r.=1,r:2.这里取r=2.又 P=一3,f()=xeh,代人(7)得方程的通解为 y:e2[Ie(2~2-3)x(fe2e【2一d+c)d+c】: e
2[Ie(fed+c)d+c】:
e
2【fe一(ex—e+c)d+c2]: e
2【f(—l+ce一)d+c2]:
(2一)eh+c-ee2x
(此处c:一C).
这和参考文献[1]的结果是一样的. 例2求微分方程一2y+y=1e的通解. 解对应的齐次方程的特征方程为r一2r+1 =0,特征根为r.:r:=1.这里取r=1.f() :一
1
,代入(8)得方程的通解为
y=e
[』(.f?eXe-xd+c)d+c:]= e
[j'(.f?d+cd+c]=
eX
[f(1n+c)d+c2]: (C1z+C2)e+xelnx (此处C.=c一1).
这和参考文献[3],[4]的结果是一样的. 例3求微分方程+Y=的通解.
解对应的齐次方程的特征方程为r+1:
0,特征根为r=?i.这里取r=i.又P=0,
f()=,代人(7)得
),=e[fe一2(fed+c)d+c:]=
e
[f(一ie—+e-ix+ce一2l)d+c2]:
e+
号拙】=
+cze/x(此处c=号)= +c-e,
+(Clsinx+C2COSX)+i(C1sinx+C2COSX) 第23卷第3期邢春峰等:求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法75 取实部得方程的通解为
Y+.lsinx+C2eOSX.
这和参考文献[5]的结果是一样的.
通过上例可以看出,这里给出的(1)的通解公
式和待定系数法相比,一是不用讨论(2)的特征方
程特征根的情况;再就是该通解公式对(1)中的非
齐次项f()要求非常低,只要能求出不定积分,就
能利用此公式,所以说该公式更具有一般性.
[参考文献]
[1]谢季监,李启文.大学数学——微积分及其在生命科学,经济管理中的应用[M].北京:高等教育出版社,1999.
[2]同济大学应用数学系.高等数学(下)[M].第5版.北京:高等教育出版社,2002. [3]GuptaRC.Onparticularsolutionsoflineardiffereneeequationswithconstantcoefficients
[J].SIAMReview,1998(40):680--684. [4]王焕.求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式[J].高等数学研究,2006,9(3):25—27.
[5]常庚哲,蒋继发.用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性微分方程[J].大学数学,2003,19(1):76—79.
(责任编辑李亚青)
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(北京联合大学
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