论形式化

�科学哲学 � 论 形 式 化 蔡 � 曙 � 山 20世纪是理性主义和形式主义盛行的时代。形式化、数字化和虚拟化是 20世纪人类文化的重要 遗产, 是我们进入新世纪的钥匙, 也是 21世纪哲学家必备的知识。 所谓形式化, 就是以形式语言为基础, 以形式系统为工具, 从希尔伯特 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的提出到哥德尔定理 的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 所发展起来的一种重要的数学证明和推理方法。在 20世纪形式化的发展进程中, 最重要的一 项成就是 1931年哥德尔 ( K. G�del) 证明的不完全性定理。后来, 这种方法被广泛应用到逻辑学、 哲学、语言学及其他科学理论之中, 成为一种重要的研究方法。形式化方法至今在西方特别是英美的 学术领域仍然具有非常重要的影响, 值得加以认真剖析。 一、哥德尔定理 1930年, 年轻的奥地利数学家哥德尔在维也纳科学院宣读了他的重要 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ; 翌年, 该论文发表 在奥地利的一份科学杂志上。这篇论文是以德文写成的, 题目是: 论 !数学原理∀ 和相关系统 I中 的形式不可判定命题 #。在这篇著名的论文中, 哥德尔提出和证明了不完全性定理。论文中提到的 !数学原理∀ 系指罗素和怀德海在 1910∃ 1913年出版的划时代著作 !数学原理 ∀ (以下简称 PM )。 从技术上说, 哥德尔事实上并未对 PM证明他的定理, 而是在他自己构造的一个系统 P中得到上 面的结果的。但是, P是与 PM相关联的: 他所得到的结果不仅能够应用于 PM, 而且能够应用于更 大范围的数学或数学分支的公理系统。 1. 哥德尔定理对形式系统的要求 哥德尔定理是在一个充分大的形式系统中得到的。所谓 充分大 #, 就是要能够容纳一个确定数 量的算术系统运行于其中。具体地说, 这个系统至少应该能够容纳皮亚诺算术系统 (简称 PA ) 或带 选择公理的策梅罗 -弗兰克尔集合论形式公理系统 (简称 ZFC)。请注意, 充分大# 是哥德尔提出 的一个概念, 是对不完全性定理成立于其中的形式系统的要求。哥德尔在他的著名论文 !论 %数学 原理&和相关系统 I中的形式不可判定命题 ∀ 中, 一开始就阐明了这个要求。他说: 众所周知, 数学在更加精确方向上的发展已经使得它在更大范围内被加以形式化。这种发展 趋势使得我们只用少数规则就可以进行证明。已经建立的最全面的形式系统有两个, 一个是 !数学原理∀ ( PM ), 另一个是策梅罗 -弗兰克尔所建立、随后被冯 �纽曼 ( J. von N eum ann) 扩 充的集合论公理系统。这两个系统是如此之大, 使得今天在数学中使用的所有证明方法都已经在 这两个系统中被形式化了, 即被化归为少数几条公理和推理规则。因此, 我们可以猜测, 这些公 理和推理规则对所有那些可以形式地表达于相关系统的数学问题的判定也是充分的。下面要说明 �97� 的是, 情况并非如此。事实上, 在关于所有常规数字的理论中, ∋ 存在一些相对简单的问题, 这 些问题是不能从公理得到判定的。这种情况并不能以某种方式被归结于已建立的系统的特殊性 质, 而是对形式系统的一个非常广大的类都成立, 特别包括那些通过对前面提到的两个系统增加 有穷数量的公理而得到的所有系统, 并假定对任何根据脚注 4( 描述的命题而言, 没有任何错误 的公式是可证的。 ( G�de,l pp. 37- 38) 按照哥德尔的要求, 一个充分大的形式系统, 应该使得所有的数学 (至少是算术 ) 的公理和规则都 能在其中形式化; 从而, 它的所有定理也都是形式定理。因此, 任何一个形式系统, 如果它的语言包 含了基本算术的语言, 它的定理包含了关于自然数的某些基本事实, 我们说这个系统就是一个充分大 的形式系统。皮亚诺形式算术系统 PA就是一个能够满足这种要求的充分大的系统。 首先, 我们可以用 PA的语言来定义自然数。自然数 0, 1, 2, )在 PA中定义为形式数字 0, s( 0), s( s (0) ), )算术命题可以定义为合式的符号串。经过这样的定义之后, 在 PA中已经没有自然数, 而只有一些形式符号按照一定规则组成的合式公式, 当这些公式经过解释以后可以表示算术命题。 其次, 我们可以从这些合式公式中选择某几个作为形式系统推理的出发点, 即形式公理。例如, PA的 7条公理, 它们的意义是自明的, 经过解释之后, 它们对所有的模型都真。在 PA中, 与在其 他公理系统或形式系统中一样, 公理是无需证明的, 也是无从证明的, 它们只是被当作推理的出发点。 最后, 我们按照一定的推理规则, 就可以从这些公理推出系统内的定理。很显然, 如果公理保有 某种性质, 例如真, 推理规则又能保持这种性质, 那么, 从这些公理按照推理规则得到的定理就仍然 保有这种性质, 例如真。 充分大 # 这个条件是非常重要的。只有在这样的条件下, 才能构造出一个不可证的数学命题, 不完全性定理也才能成立。否则, 如果不满足在哥德尔原文第一段脚注 4中所说明的条件, 这样一个 不可证的数学命题是构造不出来的, 完全性定理也就不能成立。 2. 哥德尔定理 第一不完全性定理 � � 任何一致的形式系统 S, 如果一定范围的初等算术在其中能够被表达的 话, 则它对于初等算术的陈述是不完全的, 即存在 S中的陈述 �, 使得既没有 S∗ �, 又没有 S∗� �。 第一不完全性定理的证明非常复杂。哥德尔自己给出的主要证明路线是这样的: 第一步, 将我们 要处理的数学理论 (例如 PM ) 做形式化的处理, 这个系统由一些基本符号 (变元、逻辑常元、括号 或逗号等 ) 的有穷序列 (也称公式 ) 构成。在这个系统中, 所有公式都是由基本符号组成的序列, 它们是有意义的, 而通过定义引进的公式则是缩写的文本, 从原则上说它们是不必要的。现在, 我们 可以从系统外面来观察这个系统。从形式的观点看, 证明不过就是公式的有穷序列。从元数学的目的 来说, 系统以何种对象作为基本符号并没有实质性的差别。我们的做法是将自然数应用于这些对象, 或者说, 我们在这些基本符号和自然数之间建立一一映射关系。经过这样的处理, 在这个形式系统之 中, 一个公式是自然数的一个有穷序列; 一个特别的证明模式是关于自然数有穷序列的一个有穷序 列。因此, 元数学的概念和命题成为关于自然数或自然数序列的概念和命题, 从而在 PM系统自身中 是符号可表达的, 至少是部分符号可表达的。第二步, 证明之前的准备工作。现在我们可以在 PM系 �98� !哲学研究 ∀ 2007年第 7期 ∋ ( 更严格地说, 不可判定命题存在于这样一个理论之中, 其中除了逻辑常元 ∃ (非 )、+ (或 )、 ( x ) (所有 )、 = (相等 )、+ (加 )、� (乘 ) 之外, 没有其他概念。 +和 � 指称自然数, 以及量词的域, 在其中 ( x ) 仅仅指 称自然数。 ∃ ∃ ∃ 哥德尔原注。 (见 G�de ,l p. 38) 哥德尔原注的脚注 4, 即本文所引的上一条注释。 统中定义 公式 #、 证明模式#、 可证公式# 等概念。例如, 我们可以给出 PM的一个带有自由变 元 �的公式 F (�) , �被定义在某种类型的自然数序列之上, 经过解释后, 它表示 PM中的一个可证 公式。第三步, 现在我们可以得到系统 PM中的一个不可判定命题 A, 即 A和 � A在 PM中都是不可 证的。最后这一步是最为复杂的, 它的具体思路如下: 由于一个 PM的公式仅仅带有一个自由变元, 而这个自由变元是某种类型的自然数, 即由类组成 的类, 现在我们需要设计这样一个类的记号, 我们把它看作以某种方式组成的一个序列, 把其中的第 n个记为 R ( n), 请注意, 类记号 # 和序关系 R都是在系统 PM中可定义的。令 是任意的类记号, 我们用 [ ; n ] 表示通过将类记号 中的自由变元替换为自然数的记号 n而得的公式。含有三个项 的公式 x = [ y; n ]也是在 PM中可定义的。现在我们定义自然数的一个类 K如下: n, K − � B ew [R ( n); n ] ( 1) 其中, B ew x表示 x是一个可证公式。由于在定义中出现的概念都是在 PM中可定义的, 因此, 由这 些概念构成的概念K 也是可定义的。这就是说, 存在一个类记号 S, 使得公式 [ S; n] 从内容上说表 示自然数 n属于 K。作为类记号的 S等于某个断定 R ( q ), 即 S = R ( q ) 对某些确定的自然数 q成立。 第一不完全性定理就是要证明, 命题 [R ( q); q ]在 PM中是不可判定的。为此先设 [ R ( q ); q ]是 可证的, 从而也是真的, 这意味着 n, K, 由 ( 1) 式我们有 � B ew [R ( n ); n ], 即 [R ( q ); q ]不可证, 矛盾。又设� [R ( q ); q ]是可证的, 则 n, |K, 即有 B ew [R ( n ); n] , 从而 [R ( n); n]是可证的, 矛盾。 因此, [R ( n ); n]和� [R ( n ); n]在 PM中都是不可证的。 ( G�de,l pp. 38- 41) 这样我们就证明了第一不完全性定理。 第二不完全性定理 � � 任何一致的形式系统 S, 如果一定范围的初等算术能够在其中被表达的 话, 则 S的一致性不能在它自身中得到证明, 即没有 S∗ ConsisS。 定理中, ConsisS表示 S是一致的。换句话说, C onsisS 是一个算术陈述, 它是通过对 S的语言引 入哥德尔数而得到的, 在算术语言中它表达的意思是: 对 S的语言中的某一公式 A, 没有 S中的证明 使得 A和 � A两者皆可证。 由于在 S中一个证明的哥德尔数的性质是可计算的, 因此, S是一致的 # 就被形式地表达为: 不可能存在两个数 m和 n, 使得对于同一个数学陈述 A, m是 A在 S中的证明的哥德尔数, 而 n是� A 在 S中的证明的哥德尔数。第二不完全性定理告诉我们, 如果 ConsisS是真的, 则它的真实性不能仅 仅通过使用系统 S中的方法和原则来得到。当然, ConsisS在其他形式系统中也许是可证的, 但如果 我们继续探究这个新的形式系统的一致性时, 它的一致性在自身中仍然是不可证的。 二、形式化的意义和限度 1. 形式化发展的结果使得哲学的语言基础和逻辑方法重新归于自然 从希尔伯特到哥德尔发展起来的形式化方法, 在过去一个世纪里曾经是一种重要的分析方法。一 方面, 它带来了数学逻辑和计算机科学技术的发展, 另一方面, 它又跨出数学逻辑和计算机科学技术 这些精确科学技术的领域, 进入到哲学、语言学和其他人文社会科学的领域。形式主义是 20世纪的 一种重要的思想潮流, 乃至出现了形式主义的泛滥。 下面重点分析形式化方法在第二个方面的发展和影响。 �99�论形式化 在希尔伯特方案下, 为拯救数学而发展起来的数学逻辑成为一种重要的分析工具, 但它所揭示的 只是数学的真理, 而且只是数学某一领域内的真理, 一旦跨出这个领域, 就有可能成为谬误。 数学逻辑在什么领域中是真理呢? 回答这个问题必须分析它所假设的前提。众所周知, 整个经典 逻辑 ( c lassica l logic) ∃ ∃ ∃ 包括一阶逻辑和高阶逻辑 ∃ ∃ ∃ 所假设的前提有两个: 二值和演绎。这就 是整个经典逻辑的限度, 是它为真的条件。超出这个范围, 经典逻辑不再是真理。 就是在这个范围内, 1931年的哥德尔定理已经指出它的真理性仅仅局限在一个比较小的范围内; 如果一个形式系统充分大, 它就可能出现不完全性, 即在系统内存在真而不可证的命题。 哥德尔定理发现的问题不仅仅是在逻辑的层次上, 更是在比逻辑更基本的语言的层次上。这里的 问题非常严重, 它说明这种不完全性不仅存在于一个逻辑系统之中, 更严重的是存在于这个逻辑系统 的语言基础之中。维特根斯坦等分析哲学家们开始来审视那种从莱布尼兹、弗雷格和罗素殚精竭虑建 立起来的理想语言。维特根斯坦认为, 那种水晶般纯净的理想语言是远离我们的日常语言的, 或者说 像是没有摩擦力的理想的真空, 而在这样的真空中我们是不能运动的。他说: 我们越是仔细地去考 察实际的语言, 它和我们的要求之间的冲突就越尖锐 (因为逻辑的晶体般的纯粹性当然不是研究出 来的; 它是一种要求 )。这种种冲突渐渐变得不可容忍; 我们的要求现在已有变成空洞之物的危 险。 ∃ ∃ ∃ 我们是在没有摩擦力的光滑的冰面上, 从而在某种意义上说这一条件是理想的, 但是, 正 因为如此, 我们也就不能行走了。我们需要行走: 所以我们需要摩擦力。回到粗糙的地面上来吧! # (维特根斯坦, 第 69- 70页 ) 可以说, 过去一个多世纪以来, 西方哲学和逻辑学的发展经历了从怀 疑自然语言的适当性, 到试图建立一种理想语言的努力, 再到对理想语言幻想的破灭, 最后重新回归 于自然语言这样一条曲折发展和辩证回归的道路。 在这个过程中, 经典逻辑发生了扩充和变异。所谓经典逻辑的扩充 ( extensions o f c lassica l log ic), 就是在经典逻辑的基础上增加新的算子而得到的逻辑系统和逻辑理论, 包括模态逻辑、道义逻辑、认 识逻辑、时间逻辑等等。所谓经典逻辑的变异 ( alternative to classical log ic), 就是对经典逻辑的两个 前提中的一个或两个提出挑战, 改变它们或者抛弃它们, 从而得到新的逻辑系统和逻辑理论, 如多值 逻辑、直觉主义逻辑、自由逻辑、相关逻辑、非单调逻辑、概率逻辑等等。 经典逻辑加上它的扩充和变异所得到的逻辑理论合称为基本逻辑 ( basic log ic) , 它已经是一个比 经典逻辑范围要广大得多的逻辑体系; 更重要的是, 与经典逻辑仅仅适用于数学分析不同, 基本逻辑 更加适用于对数学以外的其他学科的分析。将基本逻辑应用于哲学的分析, 得到哲学逻辑; 应用于自 然语言或语言学的分析, 得到语言逻辑; 应用于科学的分析, 得到科学逻辑, 包括量子逻辑、物理学 的逻辑、生物学的逻辑、人工智能的逻辑等等。 由于逻辑理论和分析方法的变革, 哲学也改变了自己的形态。第一次变革是发生在 20世纪 40年 代以后从分析哲学到语言哲学的转变。这次转变改变了哲学的语言基础和研究方法。在语言基础上, 哲学将自己的语言重新定位于自然语言; 在研究方法上, 哲学研究抛弃单纯数学逻辑的分析方法, 采 用模态逻辑、多值逻辑、哲学逻辑、语言逻辑、科学逻辑等新的逻辑工具作为哲学分析的手段。语言 哲学不是分析哲学的简单的发展, 而是对分析哲学的变革。 20世纪 70年代中叶以后, 由于认知科学的诞生, 哲学又一次改变自身的形态, 从语言哲学进入 到心智哲学。乔姆斯基 (N oam Chom sky)、莱考夫 ( George Lako ff)、塞尔 ( John R. Searle) 等一大批 著名的语言哲学家都顺利完成了从语言哲学向心智哲学的过渡。 20世纪形式主义的影响以及后来为了摆脱这种影响重新归于自然的努力, 同样体现在语言学、 心理学、人类学、物理学、生物学、计算机科学、神经科学等领域中。限于篇幅, 对这些方面的发展 �100� !哲学研究 ∀ 2007年第 7期 本文不再详述。 2. 无处不在的不完全性 中国的哲人说: 鱼和熊掌不可得兼。# 看来这种痛苦的选择处处皆有 ∃ ∃ ∃ 一个形式系统的一致 性和完全性也是这种不可得兼的选择。 万有理论 ( Theory of Every thing) 一度是理论物理学家所追求的理想。哥德尔定理之后, 这种 理想已经破灭。著名物理学家弗里曼 �戴森 ( F reeman Dyson) 曾引用哥德尔定理来驳斥万有理论, 他说: 我为何相信科学是不可穷尽的? 另一个原因就是哥德尔定理。数学家哥德尔在 1931年发现 并证明了那个定理。定理说, 如果在数学研究活动中, 给定任意有穷的规则集合, 就会存在使用 这些规则既不能证明其真又不能证明其假的不可判定的数学陈述。哥德尔给出了使用通常的逻辑 和算术的规则既不能证明其真又不能证明其假的不可判定陈述的例子。他的定理说明, 纯数学是 不可穷尽的。无论我们已经解决了多少问题, 总还有在现存的规则之内不能解决的其他问题。现 在我可以声称, 由于哥德尔定理, 物理学也是不可穷尽的。物理学的定律是规则的有穷集合, 并 且包含了数学所使用的规则, 因此, 哥德尔定理就能够应用于物理学的规则和定律。哥德尔定理 表明, 即便是在基本的物理学方程和范围内, 我们的知识也总是不完全的。 (转引自 Franz�n, p. 87) 当今最伟大的理论物理学家史蒂芬�霍金 ( S tephenH awk ing) 在题为 哥德尔和物理学的终结# 的演讲中, 也阐述了哥德尔定理与物理学的关系。他说: 在哥德尔定理和我们能否以有穷数量的原则来做形式描述的宇宙论之间究竟是什么关系? 有 一种联系是明显的。根据科学的实证哲学, 一个物理学定理是一个数学模型。因此, 如果存在不 可证的数学结果, 也就存在不可预测的物理学问题。) )我认为量子论和引力论的结合将一个新 的元素引入到物理学的讨论之中, 这个新的因素是不存在于经典的牛顿理论之中的。按照 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的 科学哲学的实在论方法, 物理学理论悠游自在地寄生在理想数学模型的一个柏拉图天堂之中。换 言之, 一个模型可以被任意地详细解说, 可以包含任意数量的信息, 却不会影响它所描述的宇 宙。但我们不是从外面来看宇宙的天使。相反, 我们和我们的模型都是我们所描述的宇宙的一部 分。从而, 一个物理学理论是自指的, 恰如哥德尔定理中的情况一样。因此, 我们可以预测它要 么是不一致的, 要么是不完全的。我们迄今所有的理论既是不一致的, 又是不完全的。 (同上, pp. 88- 89) 哥德尔定理还广泛地被哲学家、神学家、社会学家、政治学家、语言学家、逻辑学家、计算机和 人工智能专家、文学家、艺术家以及一切我们能够想象和不能够想象的人, 用来作为他们的实在论或 唯名论、有限论或无限论、可知论或怀疑论、有神论或无神论、悲观主义或乐观主义的理论依据。这 种现象在科学发展史上即使不是绝无仅有, 也是非常少见的。 那么, 有没有可以逃脱不完全命运的科学理论呢? 当然有, 而且普遍存在。事实上, 正像不完全 性无处不在一样, 完全性也无处不在。关于这个问题, 我们将在后面加以阐述。 3. 形式化的限度 在对 20世纪人类重要的文化遗产形式化的理论和方法进行批判时, 一个重要的方面就是对形式 化限度的检讨。笔者认为, 在对形式化的评价方面, 有这样几个重要的问题值得注意: ( 1) 关于自指命题。哥德尔定理产生于一个充分大的形式理论之中, 这一点我们在前面已经反 �101�论形式化 复指明。除此之外, 哥德尔定理的证明还需要两个小前提, 这就是语句的自指和否定。一个语句的自 指 ( self reference) 是指将一个语句代入自身。但仅仅是语句的自指并不能产生悖论。只有当一个否 定的语句指向自身时才有可能产生悖论。例如, 著名的罗素悖论就是由一个自指的否定语句所产生 的。定义一个集合 A = {x | x, /x }, 如果我们问, A 属于 A吗? 这样我们立刻得到 A , A�A ,/A。这就 是悖论, 即一个命题与它自身的否定等价。显然, 悖论来源于语句的自指和否定。 我们知道, 哥德尔定理证明的一个重要技巧, 就是按照罗素悖论的方法, 构造了一个指向自身的 不可证命题。这个命题形如: ! ∗�− � Der! ( n� ) ( Ebbinghaus, F lum and Thomas, p. 185) �的直观意义是: 我不能从 ! 得到证明#。 由于悖论产生于一个自指的否定命题, 所以, 阻断悖论只有两种途径, 一是拒绝命题的否定, 二 是拒绝命题的自指。第一种途径是行不通的: 如果没有否定, 我们就不能构造任何数学和逻辑系统。 现在只剩下一种途径, 就是拒绝命题的自指, 但这也是不可能的, 因为命题的自指产生于思维的自 指。思维的自我指向是人类特有的思维形式。正因为人类思维具有自我指向性, 人才会具有自我意 识, 反之亦然。但逻辑学家们可以圈定一个范围, 把悖论这只狼阻隔在外面, 从而使圈内的羊群得到 安全。罗素的类型论采用的就是这种方法。 哥德尔定理指明在一个包含形式算术理论 PA的系统之内, 存在一个不可判定的命题。哥德尔定 理还说明, 虽然我们不能明确指出这个不可判定命题到底是什么, 但我们知道它确实存在。有趣的 是, 这个结果是利用思维的自指和否定得到的。 ( 2) 关于 无穷的懊恼 #。哥德尔定理说, 对任何一个充分大的形式系统, 例如 PA, 如果 PA是 一致的, 则它是不完全的。这等于说, 如果这个 PA是完全的, 则它是不一致的。这时, 我们可以通 过对 PA增加新的公理, 使得 PA是一致的。记这个公理为 PA是一致的#, 记由此而得到的新理论 为 PA1。用这种方法, 我们可以得到一个逐步扩充的序列: PA, PA1, PA2, ) 但是, 在这样的序列中的任何一个理论仍然不能摆脱哥德尔定理所指示的命运。由于这个序列是从 PA逐步扩充的, 所以, 其中的每一个都是 充分大# 的。因此, 它们都不能摆脱哥德尔定理指示的 命运。具体地说, 根据哥德尔第一不完全性定理, 在这个序列中的每一个理论都是不完全的, 因为它 是一致的。根据哥德尔第二不完全性定理, 这个序列中的每一个理论, 其一致性都不能在自身中得到 证明, 尽管其一致性可以在它的一个扩充的理论中得到证明。 这就是所谓 无穷的懊恼 # ∃ ∃ ∃ 无论我们怎样努力, 也逃脱不了哥德尔定理所指示的命运。 ( 3) 关于 充分大 # 和 非常复杂 #。哥德尔定理成立的一个前提是该定理适用的形式系统应 该 充分大 #。但这个条件常常被一些人理解为 复杂# 或 非常复杂 #, 并且这种复杂系统常常是 指非形式化的系统。这是一种误解。因为有些复杂的理论并不适用哥德尔定理, 例如, 有些理论并不 使用数学作为工具, 也不包含至少 PA, 尽管它很复杂; 但它的复杂性与不完全性之间没有任何关系。 而另外一些简单的理论却可以适用它。例如, 鲁滨逊 ( R. M. Rob inson) 系统只包含 PA的前 6条公 理, 但它却包含了足够数量的算术, 我们称之为 鲁滨逊算术 ( Robinson arithmetic) #, 因此, 它对 于不完全性定理是充分的。 有一些逻辑系统, 其中不包括数学, 只包括一些符号或数字; 这样的系统有的是很简单的, 有的 �102� !哲学研究 ∀ 2007年第 7期 也可能是很复杂的, 它们也可能具有不完全性。我们设想一个仅仅包含两个初始符号 0和 1的系统, 其中的公式是由这两个符号构成的串, 如 0110101000111等等。现在考虑建立在其上的图灵机理论, 其中就存在一个不可判定的命题, 即停机问题。 对于一个复杂系统, 我们通过度量其符号串的科尔莫哥罗夫复杂性 ( Ko lmogorov complex ity ) 来 评价其复杂度。这种复杂性是以符号串的长度来衡量的。它又可以分为两种: 一种是可压缩的 ( compressible) , 另一种是不可压缩的 ( incompressib le)。如果一个符号串的科尔莫哥罗夫复杂性远远 小于它的长度, 我们说这个串是可压缩的。例如, ∀的前十亿位小数是可压缩的, 因为这个串的复杂 性远远小于 ∀的长度。反之, 如果一个符号串的科尔莫哥罗夫复杂性接近于它的长度, 我们说这个 串是不可压缩的。例如, 大于 10000的自然数 n是不可压缩的, 因为这个串的复杂性接近于 n的长度。 不可压缩的串又称为科尔莫哥罗夫随机串 ( Ko lmogorov random strings)。 1999年, 蔡廷 ( Gregory T. Chait in) 在 !不可知的 ∀ (The Unknowable ) 一书中宣称他发现了 随机性的真 # ∃ ∃ ∃ 即某些数学 陈述的真是无原因的, 它们的真是偶然的。他在算法理论中构造了一个不确定命题, 即 Cha itin随 机数 # 的第 n个字节是否为 0#, 这个命题在 ZFC内是不可判定的。一般而言, 设想 T是一个 包含 一定数量算术# 的形式系统, 蔡廷的不完全性定理说明, 存在一个依赖于 T的数 c, 使得 T不能证明 类似于这样的陈述: 串 s的复杂性大于 c的复杂性 #, 即这一陈述在 T中是不可判定的。 ( 4) 关于形式化的限度和人工智能的策略。在一个充分大的形式系统内, 一致性和完全性不可 得兼, 这个结论导致了人工智能的新策略: 在不得不选择一定的形式系统作为自身逻辑基础的人工智 能策略的制定中, 人们只选择那种能够同时满足一致性和完全性的较小的形式系统。例如, 在人工智 能专家系统的编程中常用的 Pro log语言, 它是一阶语言的一个子系统, 因而是能够同时满足一致性和 完全性的。在以 Prolog语言所编制的专家系统中, 是不会出现不可判定命题的。这样就同时保证了系 统的可靠性和完全性。 基于这种策略之上的人工智能, 是由若干专家系统组成的一个巨系统。例如, 我们有下国际象棋 的专家系统, 有下围棋的专家系统, 有代替医生做中医处方的专家系统, 有政府管理的专家系统, 有 银行管理的专家系统, 有学校管理的专家系统, 还有互联网管理和搜索的专家系统等等。现在我们就 生活在这样一个由各种各样的专家系统所组成的 (人工 ) 智能社会之中。 按照这样的人工智能策略, 由于我们有效地避开了因为涉及较大的形式理论而可能出现的系统问 题, 从而保证我们能够生活在一个安全而有效的 (人工 ) 智能世界。打个比方, 在大草原上我们无 法让我们的羊群避开狼, 我们也无法围出一个非常大的围栏, 将所有的羊群都存放在这个围栏中来保 证它们的安全, 但我们可以而且常常采取的策略是, 由每一户牧民去建造自己的围栏 ∃ ∃ ∃ 当每一家 的羊群都安全的时候, 这个 充分大 # 的草原上的羊群也就是安全的。 ( 5) 各种非形式的考虑。既然哥德尔定理是在一个形式系统内得到的, 一个重要的问题就是, 避免形式化是否就可以避免哥德尔定理的结果呢? 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是否定的。 按照霍金的理解, 尽管哥德尔定理产生于具有相当严格条件的形式系统之中, 但它与形式系统并 无必然联系。一个物理学理论是一个数学模型, 如果在这个模型之内存在不可证的数学命题, 那么在 这个物理学理论中也就存在一个不可预测的物理学问题。霍金以哥德巴赫猜想为例, 并用将一些木材 分为两堆这样的例子来说明不可预测的问题并不仅仅产生于形式系统之中。算术系统中的一些不可解 的定理和猜想, 如丢番图方程、科勒兹猜想、哥德巴赫猜想等等并不存在于形式系统内。一个非形式 的理论, 如果它或它的一部分能够映射到一个至少包含 PA的充分大的形式系统之中, 而这个形式系 统又不能逃避哥德尔定理的命运, 那么这个非形式的理论也就不可能是完全的。这样的要求其实是非 �103�论形式化 常低的, 因为迄今以数学为工具的自然科学, 大概没有任何一个理论比它更小。无怪乎霍金说: 我 们迄今所有的理论既是不一致的, 又是不完全的。# (转引自 Franz�n, p. 89) 甚至在绘画和音乐这种完全不需要数学的领域中也发现了与哥德尔定理类似的结果。道格拉斯 � 霍夫斯达特 ( Doug las R. Ho fstadter) 有一部神奇的著作 !哥德尔, 埃舍尔, 巴赫: 一条永恒的金带∀。 在这本书中, 他将奥地利数学家哥德尔、法国画家埃舍尔、德国作曲家巴赫联系起来, 说明自我缠绕 是人类思维的固有属性。人类凭借特殊的符号来表达自己的思维和智力, 但这种符号系统是有限度 的, 我们不能完全地理解我们自己的心智。他说: 对哥德尔定理的另一种隐喻的类比是, 我们不能理解我们自己的心智, 我发现这是非常有见 地的。正如我们不能用自己的眼睛看到我们自己的脸一样, 如果认为我们不能将自己的全部精神 结构反映在表达这种结构的符号之中, 这并不是难以理解的。数学和计算理论的所有限制定理都 说明, 一旦表达自身结构的能力达到一个确定的临界点, 确定无疑的是, 你决不能再完全地表达 你自身 ∃ ∃ ∃ 这真是毁灭性的打击。 (Ho fstadter, p. 697) 从哥德尔不完全性定理到科尔莫哥罗夫和蔡廷的不完全性定理, 再到霍夫斯达特的 一条永恒 的金带 #, 它们揭示的不完全性不仅存在于一个数学或逻辑系统之中, 而且存在于人类使用的语言符 号之中。这样, 使用符号语言的人类就面临着一种由于语言的障碍而形成的认识真理的限度 ∃ ∃ ∃ 这 是人类无法逾越的障碍, 还是人类远未认识他们赖以生存并标榜自己优于其他物种的语言和心智? 这样, 我们就走上了探索自身语言和心智奥秘的道路。 4. 走向探索人类心智的道路 从前面的分析可以看出, 始于 19世纪末 20世纪初的形式化运动, 到 1931年结出了它最灿烂的 花朵 ∃ ∃ ∃ 哥德尔定理。哥德尔以后, 人们不得不重新思考数学、逻辑学和哲学的语言基础问题。从 20世纪 40年代到 50年代, 以维特根斯坦、奥斯汀、乔姆斯基、塞尔等一大批杰出的哲学家为先锋, 人们在逻辑学和哲学的领域重新返回自然语言, 并从自然语言的研究进入到心智研究的领域。 乔姆斯基说: 语言是心灵之镜 #。 ( Chom sky, p. 4) 他又说: .自然是完美的 / , 而科学家的使 命就是去证明这一点 ∃ ∃ ∃ 不论他是在研究运动的定律、雪花的结构、花的形态及生长, 或是在研究 我们已知的最复杂的系统, 即人类的大脑。# ( Chomsky, 见 Ungerer e t a.l , Pre face) 乔姆斯基从唯理 主义和心理主义语言学走上心智探索之路, 从而被誉为认知科学的第一代领袖。从 20世纪 50年代开 始, 人类踏上了探索自身语言和心智奥秘的漫长的旅程。到 20世纪 70年代中期, 认知科学诞生了, 人类认识开始了一个新纪元。 有意思的是, 对哥德尔定理的讨论仍然是心智哲学的一个重要话题, 它被称为 哥德尔论证 # ( G�delian arguments)。这个术语有时用来指计算机, 有时用来指形式系统。这两种说法是可以等价互 换的, 因为对任何形式系统, 都存在一种计算机编程方法来生成系统理论; 反之, 对某种形式语言中 用来生成语句的任何计算机编程来说, 也存在相应的形式系统, 该系统的定理中含有那些语句。 假设有一种只会说真话的 全真机器 # (U niversal TruthM ach ine, UTM ), 并称 UTM的程序为 P (UTM )。如果哥德尔为 UTM写下这样一个语句: 按照程序 P ( UTM ) 构造的机器决不说这个语句 是真的。# 我们称这个语句为哥德尔语句 G。现在问 UTM语句 G是否为真, 这台只说真话的全真机器 也会陷于一筹莫展的两难境地。 ( F ranz�n, pp. 116- 119) 著名理论物理学家罗杰 �彭罗斯 ( Roger Penrose) 认为机器不可能具有证明算术定理的人类心智 能力。他说: �104� !哲学研究 ∀ 2007年第 7期 我们尽力设想在原则上可以为人类接受的无可辩驳的数学推理的全部方法可以被概略地表达 在某个可靠的 (不必是可计算的 ) 形式系统 F之中。如果我们用 F来代表一个人类数学家, 用 我是 F # ( I am F #, 记为 IAMF ) 来表示 F概述了所有能够为人类接受的数学证明方法 #, 这位数学家会这样争辩: 虽然我不知道我必然是 F, 但我可以下这样的结论: 如果我是, 那么系统 F应该是可靠的。 而关键的一点是, 从 F通过增加另外的断定 .我是 F / 而得的 F0也应该是可靠的。我的理解是: 根据 IAMF的假设, 可推出哥德尔陈述 G (F0)应该是真的, 但这个推断又不应该是 F 0的结果。但 是, 我刚刚承认, 如果我真的是 F, 则 G(F 0)应该是真的。而承认这个性质就恰恰就等于承认假 设 F0所得到的那些东西。由于我能够认识超出 F0的力量之外的东西, 所以, 我也就根本不可能 是 F。进一步说, 如果替换 F, 这个结论可以应用于所有的哥德尔化的系统。# (转引自 Franz�n, p. 119) 彭罗斯的论证有意思之处是, 他并未使用否定命题, 但同样得出了哥德尔式的不可判定命题。 更有意思的是, 著名心智和语言哲学家塞尔也不使用任何数学工具和逻辑系统, 而仅仅凭借一个 思想试验, 就反驳了强人工智能 ( strong A I), 并证明人工智能的限度: 机器永远也不会具有人类心 智。 (参见蔡曙山, 2001年, 第 18- 22页; 2007年, 第 7- 17页 ) 我认为, 体现在塞尔中文房间论证 ( Ch inese Room A rgumen,t CRA ) 中最深刻的思想是: 作为形 式系统的计算机所模拟的思维与真正的人类思维有本质的区别; 正如以形式化方法所表现的知识体系 与人类知识体系有本质的区别一样。 在 20世纪人类文明的发展所经历的形式化的发展道路上, 经过数字化和虚拟化的发展阶段, 收 获了计算机和互联网, 彻底改变了人们的生存方式。但形式化的发展也遭受了哥德尔和塞尔的打击。 20世纪 50年代后, 人们重新回归于自然语言, 并开始人类心智探索的历程。20世纪 70年代中叶, 认知科学诞生了。从苏格拉底和柏拉图时代开始, 经过笛卡尔、康德和本世纪乔姆斯基、塞尔、莱考 夫等语言和心智哲学家的探索, 困惑人类几千年的身心之谜 ( body m ind prob lem ) 是否可以在本世纪 被解开呢? 哲学家、语言学家、心理学家、人类学家、计算机科学家和神经科学家正在努力工作, 我 们也将拭目以待。 参考文献 蔡曙山, 2001年: !哲学家如何理解人工智能 ∀, 载 !自然辩证法研究 ∀ 第 11期。 � 2007年: !关于哲学、心理学和认知科学的 12个问题与塞尔教授的对话 ∀, 载 !学术界 ∀ 第 3期。 维特根斯坦, 2004年: !哲学研究 ∀, 李步楼译, 商务印书馆。 C haitin, G regory T. , 1999, The Unknow able, S ingapore: Sp ringer Verlag. C hom sky, N. , 1975, R ef lection s on Language, N ew York: Pantheon. E bbinghaus, H. D. , Flum, J. and Th om as, W. , 1994, Ma th em at ical L og ic, N ew York: Springer Verlag. Franz�n, Torke,l 2005, G�del/ s Th eorem: An Incomp leteG uid e to Its Use and Abu se, W elles ley, M ass: AK Peters. G�de,l Ku rt, 1962( 1931) , OnF orma lly Undec idableP roposi tions of P rincipiaM a thema tica and R elated System s1, tran slated by B. M eltzer, introduction by R. B. B raithw a ite, New York: Dover Publ icat ion. H ofs tad ter, DouglasR. , 1979, G�d el, E scher, B ach: An E terna lG old en B ra id, N ew York: Basic B ook s. Ungerer, F. et a.l , 1996, An Introdu ction to C ogn itiv eL inguistics, London, New York: Longman. (作者单位: 清华大学心理学与认知科学研究中心、清华大学认知科学创新基地 ) 责任编辑: 朱葆伟 �105�论形式化 and systematically, w ith som e necessary reflections, thema in facts and developments o f the studies o fW estern philosophy in Ch ina since modern time. A nd then a spec ial attention is pa id to a discussion concerning the present state of the stud ies, their gain ing and shortage, and the various theoret ical issues w ith their deve loping tendenc ies. F inally, some op inions and proposals are g iven, wh ich are usefu l and construct ive for bo th enlar ging our research v isions and improving our stud ies concerned. From Intentionality of Consc iousness to Intentionality of Body ShuHongyue Inten tiona lity inHusserl/ s theory, refers to that of consciousness. WhenHusserl discusses the reduction to transcendental ego through phenomenolog icalmethod, he considers, on the one hand, body or I can# as a necessary intermed iary; on the other hand, he ho lds that body is an ob ject wh ich needs to be reduced and to be bracketed. H eidegger transforms Husserl/ s intent iona lity of consc iousness into Dase in/ s being in the world. A lthoughHe idegger/ s D asein is being in the world, the authentic Dasein has no body and B eing and T ime has no t yet complete ly go tten ou t o f the rea lm o f transcendenta l ph ilosophy. By describing percept ion in phenomeno log icalmethod, on the basis o fH eidegger/ s v iew o f Dasein/ s being in the world, M erleau Ponty transforms the phenom eno log ica l matter in question from intentionality o f consc iousness to intentionality o f body, through wh ich he rea lizes subject ob ject and ego ob ject integrity, and findsm an/ s ( Dasein/ s) genuine being in the world. Politica lAction and InstitutionalNorm s ∃ ∃ ∃ Re interpretat ion ofA C lassica lAntinomy Tan Anku i A ction is a traditiona l basic d imension of politics. A s a capac ity o f free act ion, on one hand, politica l ac t ion can on ly be exercised after the establishmen t of inst itutional no rms, but it can/ t help in the process o f the ir establishm en.t On the other hand, th is capac ity of free action may breach the constra int o f any institu t iona l norms, and therefo re has its poten tial demo lishmen.t It is the problem tha t a ll k inds of theories abou t norm s have not solved that how the human being can free ly establish institutional norms through po litica l ac t ion, and so form a stable inst itutional structure based on and including po litical action. This paper tries to in dicates that Raw ls/ method of po litical constructiv ism is an illum inating approach for the reso lut ion of this problem. On Form alization Cai Shushan The very impo rtant legacies among human cultures in the 20 th century are of form alization, d ig italization and v irtua lizat ion that are also necessary know ledge fo r ph ilosophers in the 21 s t century. Forma lizat ion is the foundation o f d ig italization, therefore o f v irtua lizat ion. Themost sign ificant product in the development of for ma lizat ion w as G�del/ s theorem in 1931 that has been hav ing great influence inm athematics, log ic, physics, philosophy, and in cogn it ive sc ience that rose a few decades. Th is paper ana ly zed G�del/ s Theorem in its background from its com ing into being, itsm ain ideas, and its deep o f thought and significance. F inally, the autho r puts G�del/ s theorem into the circumstance of the deve lopm ent of cogn itive science, ana ly zes the lim i tation o f them ethod of fo rma lization from H ilbert to G�de,l and the sign ificance of th is famous theorem to cog n it ive sc ience.