用判别式法求函数值域的问题
分析
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利用一元二次方程根的判别式求某些函数的值域,由于解题过程中常用到变形,往往导致错误.因此,许多师生认为该种方法不可靠而回避它,或者只有当函数定义域为R时才使用该方法.那么,到底是什么原因导致错误?解题过程中应注意什么?下面就常见的两类问题作一分析.
第一类问题:如果函数
隐含于方程
中,因方程有实数根,通过
求出
的范围(设为集合M),若存在
,使
,为什么有时要从M中除去
,而有时不要?
例1:已知函数
满足方程
,求函数
的值域.
解:原方程可变为
,∵
,由
解得
.但当
时,方程(1)不成立,说明
不是函数
的值,必须除去.因此函数
的值域应为
.
例2:已知函数
满足方程
,求函数
的值域.
解:原方程可变为
,∵
,由
解得
.当
时
,说明
是函数
的值,因此函数
的值域为
.
结论一:若函数
隐含于方程
中,此时可把方程(2)看作
的二次方程.因方程(2)有实根,所以其判别式
,解不等式(3)所得到的
的范围(用集合M表示)有可能是函数
的值域.但M是否为函数
的值域还应分以下两种情况讨论:
1.若对于任意的
,有
,由一元二次方程根的判别式可知,方程(2)有实根与不等式(3)是互为充要的条件,所以
的值域为M.
2.若存在
,使
,则方程(2)为一次方程
,这时又可分为两种情况讨论:①若
,方程
有解,所以函数
的值域为M.②若
且
时,方程
为恒等式,显然有解,所以函数
的值域为M.当
且
时,方程
无解,这说明
不是函数
的值,因此函数
的值域应是M除去
之后得到的集合.
第二类问题:当函数
以分式形式给出时,常见问题的特征及解决问题的方法.
问题一:若函数
以分式形式给出,是否只有当定义域为R时才可用判别式法求值域?
例3:求函数
的值域.
解:两边乘以
得
,当
时分母虽然为零,但分子
,显然
不是方程(4)的解,因此
与方程(4)是等价的,以下解法仿照例2.
例4: 求函数
的值域.
解:两边乘以
得
,当
时分母虽然为零,但分子
,显然
不是方程(5)的解,因此
与方程(5)是等价的.
∵
,由
解得
或
.∴函数
的值域为
.
分析:类似于例3、例4的问题,虽然函数
的定义域不为R,但去分母前后两个方程是等价的,故仍可用判别式法求函数的值域.
问题二:若函数
以分式形式给出,当分子、分母有公因式时,应注意什么?
例5:求函数
的值域.
解:
,∵由函数的定义域知
,∴
由函数(6)易知
,因为
,所以把
代入(6)所求得的
的值
必须除去.所以函数
的值域应该为
.
例6:
解:
,由(7)易知
,但因为
,所以把
代入(7)所求得的
的值
必须除去.所以函数
的值域应该为
.
分析:类似于例5、例6的问题,函数以分式形式给出,分子分母有公因式。由于用判别式法相对比较繁琐,一般可先约去公因式,再求化简后函数的值域。因变形前后函数的定义域不同,从而导致了函数值域的不同,所以在求值域时一定要考虑定义域.
结论二:若函数
是以分式形式给出的,设
,其中
,
,把(8)变形为
,即
,整理得
,可分以下四种情况讨论:
1.若对于任意的实数
,恒有
时,则方程(8)与方程(9)等价,可归结为第一类问题讨论.
2.若存在实数
,使得
,而
,显然
不可能是方程(9)的解,所以方程(8)与方程(9)是等价的,因此也可归结为第一类问题讨论.
3.若存在实数
,满足方程(9),且
,由(9)可知必有
,则
是
和
的公共解,因此有
,
,由(8)可得
,设集合N为函数
的值域.由于
时函数(9)无意义,因此函数
的值域应在函数
的值域N中除去
.
4.若存在两个实数
,
满足方程(9),且
,由(9)可知必有
,也就是说
和
有两个公共解
和
,所以有
,
,其中
和
为不等于零的常数.约去(8)中分子分母的公因式得
,则函数
的值域为
.例如函数
的值域为
.
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