三角函数解题方法!31

三角函数解题方法!31 三角函数 25252571355,,,,,,, 例1:求的值 sin，cos，tg(,)，sin(,)cos(,),sin(,)cos(,)6343663 1,,,,,,,,sin，cos,,sincos，sin,cos,,tg 解: 63436632 例2:已知tan(α-β)=1/2,tanβ=-1/7且α、β?(0，π)求2α-β的值。 分析:要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。 11,127,解:tanα=tan[(α-β)+β]=, ，?α?(0，) 41113，,27 ,1, tanβ=- ?β?(π)，?2α-β?(-π，0) 27 14 tan2(α-β)= ,113,4 41,,337 ?tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]==1 所以2α-β=- 4141，,37 2,,2cos,sin,12,,,例3:已知tan2θ=-2，θ?()，求:的值。 242,,3sin(，,),sin(,,)33 ,,cos,sin解:原式= 33cos2,，24 , ?tan2θ=-2,2θ?(,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设22 y=2,x=1,则r=3 2 ,1,cos2631, , sin,,, ?cos2θ=,sinθ= 3233 36,33 所以原式= ,4(1,2)33,，64 ,,,,tan(，),tan,tan例4:化简: tan,,tan(,，,) 解:?tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) ,,,,,,,,,,tan(，),tan,tantan(，),tan(，)(1,tantan)？,,,,,,,tan,tan(，)tantan(，) ,,,,tan(，),tan,tan,,tan,tan,tan(，),,, ,,tan，tan说明:这里实际上是运用的两角和(差)的正切公式tan(α+β)=变1,tan,tan,形，把tanα+tanβ用α+β的正切及tanα?tanβ来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15?-α)tan(75?-α)+tan(15?-α)?tan2α+tan(75?-α) ?tan2α的值等等。 ,,,sin，sin2，sin33,,,,4cot, 例5:已知，且，求cosα ,,,24cos，cos2，cos3,,, 解:?sinα+sin3α=2sin2α?cosα cosα+cos3α=2cos2α?cosα 3,, ?sin2αsinα=-4cosα?cos2α ? ?cosα?0 ,,,24 322 ?2sinα=-cos2α 即3cosα=1 ?cosα=- 3 ,,tan(，)3,β),求证 例6:已知5sinβ=sin(2α+tan2, 分析:从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是α+β，α，而已知条件中的两个角可以用α+β，α来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :?5sinβ=sin(2α+β) ?5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α] ?5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα 即4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα ,,tan(，)3, ? tan2, 例7:在ΔABC中，已知sinA=3/5,cosB=5/13，求cosC的值。 分析:由于三角形内角和为180?,所以求cosC的值即求-cos(A+B)的值，由cosB=5/13可知sinB=12/13但由sinA=3/5可得cosA=?4/5，在这里到底是两种情形都存在，还是只有一种情形，我们要加以判别，这是此题的关键所在。 312(,)方法一:?sinA=? ?A?(30?，45?)?(135?，150?) 522 51,(0,)又cosB= ?B?(60?,90?)，此时若A?(135?,150?) 132 则A+B>180?不能构成三角形，A?(30?,45?) 412？cosA,,sinB,, 513 ?cosC=cos(180?-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=16/65 方法二:?sinA=3/5,?cosA=?4/5 cosB=5/13 ?sinB=12/13 ?若cosA=-4/5,则sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-33/65<0不合题意 ?若cosA=4/5,则cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=16/65,综上所述:cosC=16/65 x2,2，4,x例8:求函数f(x)=的最大值。 2 2分析:此题看上去似乎是一个代数中无理函数求最值的习题，但直接假设4,x是不可能求出解的，这时我们可以先注意函数f(x)的定义域x?[-2,2]，即x/2?[-1,1]，由三角函数的性质可以设x/2=cosθ,θ?[0,π], 这样就把代数最值问题转化为三角最值问题了，从而使问题很快解决。 2解:?4-x?0 ?-2?x?2, 令x=2cosθ θ?[0,π] 2则f(x)=cosθ-2+=2sinθ+cosθ-2=5sin(θ+φ)-2 4,4cos, 其中tanφ=1/2,φ=arctan1/2,此时arctan1/2?θ+φ?π+arctan1/2 ?sin(θ+ф)的最大值为1 当θ+φ=π/2 即θ=π/2-arctan1/2时“=”成立 ?f(x)?5-2 即f(x)的最大值为5-2 【每周一练】 一、选择题: 1、若tan(α+β)=2/5 tan(β-π/4) 则tan(α+π/4) 的值为( ) 133513 A、 B、 C、 D、 22221818 2、ΔABC中，A>B是sinA>sinB的 ( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、已知tanα=1/7 ,tanβ=1/3,α、β均为锐角，则α+2β的值是:( ) ,,,,,533或 A、 B、 C、 D、 44444 2 4、已知cotα=2，tan(α-β)=-，则tan(β-2α)等于( ) 5 1111 A、 B、- C、 C、- 41288 44 5、若sinθ+cosθ=1，则sinθ+cosθ的值是( ) A、1 B、-1 C、-1和1 D、以上均不正确 ,3(tan,,tan,，a)，2tan,，3tan,,0 6、已知且α、β满足，则tan，,,,6 β等于( ) 33 A、 B、 C、3(1,a) D、3(1，a) (1,a)(1，a)33 75,, 7、 (其中)的值为( ) logsinlogcosa,2，aa1212 A、4 B、-4 C、2 D、-2 8、函数y=3sin(x+20?) +5sin(x+80?)的最大值是: ( ) 11 A、5 B、6 C、7 D、8 22 2 9、在ΔABC中，若sin(A+B)sin(A-B)=sinC，则ΔABC的形状是( ) A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形 45, 10、若，且，则cos2α的值是 ( ) 0cos(，),,sin(,),,,,,,,,,,2513 6316633356 A、 B、 C、 D、或 ,,6565656565 ,,tan,sink,,, 11、设，k?Z ，T = . 则T为( ) 2cot,cos,, A、正值 B、非负值 C、负值 D、可正可负 二、填空题: x 12、已知且0?x?,，则tanx= sin,1，sinx，1,sinx2 0000tan19，tan101,3tan19,tan101, 13、 ,,,sin7sin8cos15， 14、, ,,,cos7sin8sin15, ,,1，tan1sin2,,3，22, 15、若， 则 cos2,,1,tan 16、化简3+tan(A+60?)tan(A-60?)+tanA?tan(A+60?)+tanA?tan(A-60?)为 ,31,1sin,, 17、若α是第二象限的角，且sin(，),则= ,,222,sincos22 18、ΔABC，若cosA?cosB + sinA?cosB + cosA?sinB + sinA?sinB=2,则ΔABC是 00sin50(1，3tan10) 19、= 三、解答题: ，2,,2 20、已知，求的值。 tan,sin2,,sin2,,cos(,,,)22 2,,232 21、化简: sin，sin(，)，sin(，),,,33 23 22、已知θ为锐角，并且sinθ-cosθ=1/2,求1-sinθ+sinθ-sinθ+„的值 2377sin2x，2sinx,,,cos(，x),, ,x,, 求 23、已知的值 451241,tanx 2 24、ΔABC中，若tanA、tanB是方程x+mx+1=0的两个根，(1)求tan(A+B);(2)求实数m的取值范围。 22 25、已知圆o的半径为R，它的内接三角形ABC中2R(sinA-sinC)=(a-b)sinB成2立，求S的最大值。 ΔABC2 26、对于任一实数a，设y=1-2a-2acosx-2sinx的最小值为f(a) 1(1)求f(a) (2)若f(a)= 求:a 2 【每周一练答案】 一、选择题 1、B 2、C 3、A 4、B 5、C 6、D 7、B 8、C 9、C 10、C 11、A 二、填空题 43 12、0或 13、- 14、2- 15、3-2 16、0 32,3 17、-1 18、等腰直角三角形 19、1 三、解答题 31 20、 21、 ,92 22、解:sinθ?(0，1)?-sinθ?(-1,0) 11,2，7 原式= ，又由sinθ-cosθ= 得tanθ/2= 1，sin,2 12,(5,7) ?原式= 17，91，4 472322,2, 23、由条件知cosx-sinx= cosx+sinx=,?cosx=-, sinx= 551010 28, ?tanx=7 ?原式= 75224、(1)tan(A+B)=1 (2)由题意知00。 ,cos6,sin6,sin(2,6)，cos(2,6),2sin(2,6，)解法二: ,,,4 ,,2,,,,,,,,,,而2,6，,, ?sin2,6，,,1 ,,,,,,,,42442,,,,,, ?cos6,sin6>1 ?lg(cos6,sin6)>0。 x1,例5:求函数y=tan的最小正周期。 2sinx x11,cosx1,cosx,,,,,,cotx解:y=tan 2sinxsinxsinxsinx ?最小正周期T=π。 1 sinx例6:求函数的定义域。 y,log,12 分析:与代数函数类似，在三角函数求定义域中，我们仍然是从分母不为零，偶次根式的被开方数大于或等于零，对数的底数大于零且不等于,，真数大于零出发去计算;在遇到最简单的不等式如sinx?a,sinx?a中求X的范围时，我们应注意充分运用单位圆中的正弦线或余弦线来求，这样就可以避免利用图象求交集时容易发生的错误。 112 sinxsinxloglog解:??1 ??log2y2256116,，1sinx,0, ? ?2 ,2,sinx2,， ,,5,，，,oxx,2,k,2k,，:2k,，,2k,，, ? ,,,,66,，，, k?Z 12y16x,,，例7:求函数的定义域。 sinx 分析:这里的关键是如何求区间,4?X?4与sinx>0的解集的交集。sinx>0的解集 是一些不连续的区间的并集，要找交集我们可以借助于数轴这一工具，从数轴上去找公共部分。这种方法在计算复杂的函数的定义域时常常用到。 2解:由16,x?0 得到,4?X?4 由sinx>0 知 x?(2kπ，2kπ+π) k?Z x40-4-2- 所以原函数的定义域为 ,，，，,4,,,:0,, ,,,y 例8:已知α? 0,,,T2,,P ?比较sinα、α、tanα的大小; ?比较cosα、cos(sinα)、sin(cosα)的大小。 分析:这里要比较sinα、α、tanα AoMx的大小，显然不能直接运用三角函数的单 调性，此时我们应注意到在弧度制中，圆 的弧长L=θR,其中θ为圆心角的弧度数, R为圆的半径,而sinα、tanα又均可以用单 有向线段的数量就表示角α的正位圆中的有向线段来表示, 弦值和正切值.这样我们就把问题转化为比较线段及弧的长度的大小了.而它们的大小则可以借助于图形面积间关系来证明,从而使问题得以解决。 证明:?设角α的终边与单位圆相交于P,过P作PM?OX于M,则sin=MP,又设单位圆与X轴正向交于一点A,过A作单位圆的切线,交OP的延长线于点T ,则tanα=AT,又 s,s,s劣弧的长等于α,连接PA,? AP,POA,TOA扇形OPA 111,1,sin,,,1,,,,1,tg,? 即:sinα<αcosα,所以sin(cosα)0，33 因为任何一个函数的单调区间都是定义域的子集。 ,,uu,sin(,2x),,sin(2x,) 解:令，要求y的增区间，因为y,log单调递1332 ,,u,,sin(2x,)f(x),sin(2x,)减，只要求的减区间，即的增区间， 33 ,,,sin(2x,),0,,,32k,2x,,2k,? ?? (k?Z) ,,,23,fxx(),sin(2,)单调递增3, ,,k,,x,k，? (K?Z)即为所求函数的单调增区间。 ,,126 ,,511，，f(x),sinx,3cosx, 例11:判断函数在区间上的增减性，并加以,,66，，证明。 5,,,，，f(x),2sin(x,)2k,,2k， 解: ，由正弦函数的性质可知，f(x)在,,,,366，， 511,,，，2k，,2k，上单调递增，在区间上单调递减，其中k?Z,?f(x)在,,,,66，， ,,511，，,上单调递减,下面我们用函数单调性的定义来证明: ,,66，， 511,,,x,x, 令, 1266 则f(x),f(x),sinx,sinx，3(cosx,cosx)121221 x,xx，x,1212,4sin.sin(，)226 ,x,xx,x,1212,,,0,,，,2,, ?2226 x,xx，x,1212sin,0,sin(，),0? ?f(x)>f(x) 12226 ,,511，，?f(x)在上单调递减. ,,,66，， 例12:试判断下列各函数的奇偶性: ,5f(x),cos(，2x) ? ? f(x),sin2x,x.tanx2 1，sinx,cosxf(x), ? 1，sinx，cosx ,,(k,,k，)解:?定义域为 k?Z,且有: ,,22 所以函数 f(,x),sin2(,x),(,x).tan(,x),sin2x,x.tanx,f(x) 为偶函数. y,sin2x,x.tanx 555,,,()()cos(2)cos(2)2cosfx，f,x,，x，,x,?定义域为R，且有: 222 5,y,cos(，2x)?cos2x=0，所以函数是奇函数.或: 2 555,,,f(x)，f(,x),cos(，2x)，cos(,2x),2cos.cos2x,0 222 5,,,，，f(x),cos(，2x),cos2，(，2x),cos(，2x),,sin2x为奇函数. ,,,222，， ?首先求函数f(x)的定义域，由于有1+sinx+cosx?0， 2,,,,2x，,k,2sin(，),,1,sin(，),,xx?， 于是 ,44442 ,,x，,(2k，1)，且,k?Z所以这个函数的定义域是: ,44 ,,,xx,R,x,2k,x,(2k，1),k,Z,且,在数轴上,这个定义域关于原点不对称,,,2,, 所以它既不是奇函数,也不是偶函数。 说明:?定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要但不充分条件, 所以判定函数的奇偶性时，应首先判断函数的定义域是否关于原点对称。 ?要注意“恒等变形”常常不是等价变换，所以处理有关函数问题时，对函数式的 化简要慎重对侍，如题3，如果作如下化简: xxxxxx22sin2sincos2sin(sincos)，，1sincos，x,xx222222由函数 tan,,,xxxxxx1sincos2，x，x22cos2sincos2cos(sincos)，，222222 y=tanx/2是奇函数得出原函数也是奇函数的结论就是错误的，事实上最后的约分步骤是一个非等价变形，因为sinx/2+cosx/2有可能为零，它是导致错误的根本原因。 ?对于例3,我们还可以这样来处理:由1+sinx+cosx?0知X可以取π/2,但X不能取,π/2从而直接说明定义域不关于原点对称,从而说明原函数非奇非偶。 32 例13:已知函数f(x)=sinx?cosθ-sinx?cosθ-3sinx+的最大值为3，(1)求4 常数θ的值;(2)求函数g(x)=(sinx+2cosθ)(sinx+10?cosθ)的最小值及最大值。 32解:(1)f(x)=(cosθ-cosθ-3)?sinx+ 422 ?cosθ-cosθ?2 ?cosθ-cosθ-3<0 152 ?当sinx=-1时 f(x)=-cosθ+cosθ+ max4 1522 由已知得-cosθ+cosθ+=3 即4 cosθ-4cosθ-3=0 4 ,12-，θ=2kπ? k?Z ?cosθ=23 12(2)由(1)得，cosθ=-，?g(x)=(sinx-1)(sinx-5)=(sinx-3)-4 2 当sinx=1时，g(x)=0;当sinx=-1时，g(x)=12 minmax 1,sinxy, 例14:求函数的最大、最小值。 22,2sinx，sinx 1,sinx1y,, 解: 21(1,sinx)，11,sinx，1,sinx ?1,sinx?0 1 ? y?0,当sinx=1时Y=0,当1,sinx>0时,1,sinx+?2, y=1/2 minmax1,sinx 说明:这是一个关于sinx的分式函数且分母的次数为二次的,用基本不等式求解时应注意基本不等式成立的条件。若类似于代数函数判别式法求最值时，要注意正弦函数 sinx,3f(x),本身的值域，如果分式函数的分子分母的次数均为一次的，如，求最2,cosx值时我们可以运用基本三角函数y=Asin(ωx+φ)的最值，或运用y=asinx+bcosx的值域，或运用形数结合的方法去处理。 2 例15:已知f(x)=cosx+2psinx+q的最大值为9，最小值为6，求p,q的值。 22 分析:f(x)是关于sinx的二次函数，即f(x)=,(sinx,p)+p+q+1,令t=sinx,y=22,(t,p)+p+q+1因为已知Y的最大和最小值，而二次函数的对称轴t=p又在变化，因此要分对称轴在?1的两侧及,10之间和01间这四种情形来讨论。 ~~222 解:f(x)=,sinx+2psinx+q+1=,(sinx,p)+p+q+1 2? 当p>1时 y=,1+2p+q+1,q+2p y=,(,1)+2p+q+1=q,2p maxmin 3,p,,1舍去,q，2p,9,,4知 由 ,,q,2p,615,,q,,,2 ? 当p<,1时,Y=q,2p,Y=q+2p maxmin 3,p,,,,1舍去,q,2p,9,,4知 由 ,,q，2p,615,,q,,,22? 当p?[0,1]时,y=p+q+1,y=q,2p maxmin 2,p,3,1,p，q，1,9,知 由 ,,q,2p,6,q,4，23,,2? 当p?[,1,0)时,Y=p+p+1,Y=q+2p maxmin 2,p,1,3,p，q，1,9,知由 ,,q，2p,6,q,4，23,, ,,p,3,1p,1,3,,综上所述或 ,,,,q,4，23q,4，23,, 【每周一练】 一、选择题: 1、若θ?(0,2π)，则使sinθ0 2 ,,3, 1-2cosx>0 ? {x|2kπ+?-sinx sinx，1sinx 2 ?sinx+>0 即f(x)的定义域为(-?，+?) sinx，1 2 f(x)=-sinx+lg(sinx+) sinx，1 2 f(x)=sinx-lg(sinx+) sinx，1 ?f(-x)=-f(x) ?f(x)为奇数 2221、?cosθ+cosθ=1 ?cosθ=sinθ 26834 ?sinθ+cosθ θ+sinθ+sinθ=cosθ+cos22 =cosθ+cosθ(cosθ+cosθ) 2 =cosθ+cosθ=1 22、方法一: ,2sin,29, 由得y.cosθ,3y=2sinθ,2 ?2sinθ,ycosθ=2,3y cos,,3 2,3y2 4，ysin(,，,),2,3y ? ? ,,sin(，),sin(,，,),124，y 2,3y224,12y，9y,4，y ?,1 ? ?8y,12y?0 ?0?y?3/2 24，y ?y?[0，3/2] 2 方法二:令tanθ/2=t 则 (2y,1)t+2t+(y,1)=0 ?t?R ???0 ?0?y?3/2 ,sin,1y, 方法三: ?y/2即为单位圆上的点(cosθ，sinθ)与定点(3，1)连线2cos,,3 的斜率，由数形结合可知y/2?[0，3/4], ? y?[0，3/2] ,321023、x=2kπ+ (k?Z)时，f(x)=- min25