高中数学人教A版选修4-4学案：第1讲-4柱坐标系与球坐标系简介Word版含解析

高中数学人教A版选修4-4学案：第1讲-4柱坐标系与球坐标系简介Word版含解析 四 柱坐标系与球坐标系简介 1(了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置((重点) 2(知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题((难点、易错点) [基础?初探] 教材整理1 柱坐标系 ，P“思考”及以上部分～完成下列问题( 阅读教材P1617 一般地，如图1-4-1，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点(它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ?0,0?θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z?R)表示(这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系(把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ?0,0?θ<2π，,?,Z,，?. 图1-4-1 已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( ) A((1,1,0) B((1,0,1) C((0,1,1) D((1,1,1) 【解析】 ?x,ρcos θ,1～y,ρsin θ,0～z,1～ ?直角坐标为(1,0,1)～故选B. 【答案】 B 教材整理2 球坐标系 阅读教材P，P～完成下列问题( 1718 设P是空间任意一点，连接一般地，如图1-4-2，建立空间直角坐标系Oxyz. OP，记|OP|,r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示(这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系(把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r?0,0?φ?π，0?θ,2π. 图1-4-2 ππ,,,,已知点A的球坐标为3，，，则点A的直角坐标为( ) ,,22 A((3,0,0) B((0,3,0) C((0,0,3) D((3,3,0) πππππ【解析】 ?x,3×sin ×cos ,0～y,3×sin ×sin ,3～z,3×cos 22222,0～ ?直角坐标为(0,3,0)(故选B. 【答案】 B [质疑?手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: 点的柱坐标与直角坐标互 化 (1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标; (2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标( 【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标～利用公式 x,ρcos θ～, y,ρsin θ～求出ρ～θ即可( , ,z,z～ x,ρcos θ～, y,ρsin θ～(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标～利用公式求出, z,z～, x～y～z即可( 【自主解答】 (1)设M的柱坐标为(ρ～θ～z)～ 1,ρcos θ～,π1,ρsin θ～则由解之得～ρ,2～θ,～ ,4 z,1～, π,,,,因此～点M的柱坐标为2～～1. ,,4 (2)设N的直角坐标为(x～y～z)～ x,ρcos θ～x,πcos π～,, y,ρsin θ～y,πsin π～则由得 ,, ,z,z～,z,π～ x,,π～, y,0～?因此～点N的直角坐标为(,π～0～π)( , ,z,π～ 1(由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ， x,ρcos θ，,222y,ρsin θ，θ，z)，代入变换公式求ρ;也可以利用ρ,x，y，求ρ.利用tan , ,z,z， yθ,，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值( x 2(点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同( [再练一题] 1(根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标: 5π3π,,,,,,,,(1)2，，3;(2)2，，2. ,,,,64 【导学号:91060009】 【解】 设点的直角坐标为(x～y～z)( 5πx,ρcos θ,2cos,,3～,6, 5π(1) ,y,ρsin θ,2sin,1～6 ,,z,3～ 因此所求点的直角坐标为(,3～1,3)( 3πx,ρcos θ,2cos,,1～,4, 3π(2) ,y,ρsin θ,2sin,1～4 ,,z,2～ 因此所求点的直角坐标为(,1,1,2). 将点的球坐标化为直角坐 标 33,,,, 已知点M的球坐标为2，π，π，求它的直角坐标( ,,44 x,rsin φcos θ～y,rsin φsin θ～【思路探究】 球坐标――――――――――――――?直角坐标 z,rcos φ 【自主解答】 设点的直角坐标为(x～y～z)～ 332,,2x,2sinπcosπ,2××,,,,1～,,,,4422 , 3322则 y,2sinπsinπ,2××,1～,4422 ,3,,2z,2cosπ,2×,,,,2～,,4,,2 因此点M的直角坐标为(,1,1～,2)( 1(根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球 坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即 0?φ?π，0?θ<2π. 2(化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x,rsin φcos θ，, y,rsin φsin θ，转化为三角函数的求值与运算( , ,z,rcos φ， [再练一题] 55,,,,2(若例2中“点M的球坐标改为M3，π，π”，试求点M的直角坐标( ,,63 y～z)～ 【解】 设M的直角坐标为(x～ 5π5π3x,rsin φcos θ,3sincos,～634, ,5π5π33则y,rsin φsin θ,3sinsin,,～ ,634 ,5π33z,rcos φ,3cos,,～,62 ,,33333?因此M的直角坐标为,,. ～,～,,,442 空间点的直角坐标化为球坐 标 已知长方体ABCD-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，棱1111 AA的长为2，如图1-4-3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点1 C的直角坐标和球坐标( 1 图1-4-3 【思路探究】 先确定C的直角坐标～再根据空间直角坐标系与球坐标系1 的联系～计算球坐标( 【自主解答】 点C的直角坐标为(1,1～2)( 1 设C的球坐标为(r～φ～θ)～其中r?0,0?φ?π～0?θ<2π～ 1 由x,rsin φcos θ～y,rsin φsin θ～z,rcos φ～ 222222得r,x，y，z,1，，2，，1,2. 2π由z,rcos φ～?cos φ,～φ,～ 24 yπ又tan θ,,1～?θ,～ x4 ππ,,,,从而点C的球坐标为2～～. 1,,44 1(由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利 用变换公式 x,rsin φcos θ，, y,rsin φsin θ，求出r，θ，φ. , ,z,rcos φ yz22222(利用r,x，y，z，tan θ,，cos φ,，特别注意由直角坐标求球坐标xr 时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误( [再练一题] 3(若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标( 【解】 易知C的直角坐标为(1,1,0)( 设点C的柱坐标为(ρ～θ～0)～球坐标为(r～φ～θ)～其中0?φ?π～0?θ<2π. 2222(1)由于ρ,x，y,1，1,2. yπ又tan θ,,1～?θ,～ x4 π,,,,因此点C的柱坐标为2～～0. ,,4 22222(2)由于r,x，y，z,1，1，0,2. zπ又cos φ,,0～?φ,. r2 yπ又tan θ,,1～?θ,～ x4 ππ,,,,故点C的球坐标为2～～. ,,24 [构建?体系] —柱坐标系, ,—球坐标系柱、球坐标系— , —柱坐标、球坐标的互化, π,,,,1(在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为2，，3，P在xOy平面上的射,,4 影为Q，则Q点的坐标为( ) π,,,,A((2,0,3) B.2，，0 ,,4 ππ,,,,C.2，，3 D((2，，0) ,,44【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知～选B. 【答案】 B π,,,,2(柱坐标P16，，5转换为直角坐标为( ) ,,3 A((5,8,83) B((8,83，5) C((83，8,5) D((4,83，5) x,ρcos θ～, y,ρsin θ【解析】 由公式 , ,z,z～ πx,16cos,8～,3, π得 ,y,16sin,83～3 ,,z,5～ 即P点的直角坐标为(8,83～5)( 【答案】 B 3ππ,,,,3(已知一个点的球坐标为2，，，则它的高低角为( ) ,,44 3ππ B. A(,44 ππC. D. 23 3πππ【解析】 ?φ,～?它的高低角为,φ,,. 424【答案】 A 4(设点M的直角坐标为(1,1，2)，则点M的柱坐标为________，球坐标 为________. 【导学号:91060010】 yπ22【解析】 由坐标变换公式～可得ρ,x，y,2～tan θ,,1～θ,(点x4 (1,1)在平面xOy的第一象限)～ 222222r,x，y，z,1，1，，2，,2. 由rcos φ,z,2～ 22π得cos φ,,～φ,. r24 πππ,,,,,,,,?点M的柱坐标为2～～2～球坐标为2～～. ,,,,444 πππ,,,,,,,,【答案】 2，，2 2，， ,,,,444 πππ,,,,,,,,5(已知点P的柱坐标为2，，5，点B的球坐标为6，，，求这两,,,,436 个点的直角坐标( 【解】 设点P的直角坐标为(x～y～z)～ 111 π则x,2cos ,1～ 14 πy,2sin ,1～z,5. 14 设点B的直角坐标为(x～y～z)～ 222 ππ3336则x,6sin cos ,6××,～ 236224 ππ3132y,6sin sin ,6××,～ 236224 π16z,6cos ,6×,. 2322 ,,36326所以点P的直角坐标为(1,1,5)～点B的直角坐标为,,. ～～,,442 我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 : (1) (2) 学业分层测评(四) (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1(空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( ) ππ,,,,,,,,A.1，，2 B.2，，0 ,,,,23 ππππ,,,,,,,,C.3，， D.3，， ,,,,4662 π【解析】 由P(ρ～θ～z)～当θ,时～点P在平面yOz内( 2 【答案】 A 2(设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( ) A((2,0,2) B((2，π，2) C((2，0,2) D((2，π，2) 【解析】 设点M的柱坐标为(ρ～θ～z)～ y22?ρ,x，y,2～tan θ,,0～ x ?θ,0～z,2～?点M的柱坐标为(2,0,2)( 【答案】 A π,,,,3(在空间球坐标系中，方程r,20?φ?，0?θ,2π表示( ) ,,2 A.圆 B(半圆 C(球面 D(半球面 π【解析】 设动点M的球坐标为(r～φ～θ)～由于r,2～0?φ?～0?θ,2π.2 动点M的轨迹是球心在点O～半径为2的上半球面( 【答案】 D 4(已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是( ) A((1,0,0) B((0,1,0) C((0,0,1) D((1，π，0) 【解析】 设M的球坐标为(r～φ～θ)～ 222则r,x，y，z,1～θ,0～ z又cos φ,,1～?φ,0. r 故点M的球坐标为(1,0,0)( 【答案】 A ,,35(在直角坐标系中，点P的坐标为,,，则其球坐标为( ) 1，，2,,3 【导学号:91060011】 ,,,,43ππ43ππA.,, B.,, ，，，，,,,,336366,,,,23ππ23ππC.,, D.,, ，，，，,,,,333363 43,,3222222,x，z,1，,,,～ 【解析】 r，y，2,,33 z23cos φ,,,～ r243 3 π?φ,. 6 y3πtan θ,,～又y,0～x,0～?θ,. x36 ,,43ππ?球坐标为,,. ～～,,366 【答案】 B 二、填空题 π3π,,,,6(已知点M的球坐标为4，，，则点M到Oz轴的距离为________( ,,44 【解析】 设M的直角坐标为(x～y～z)～ π3π,,,,则由(r～φ～θ),4～～～ ,,44 π3π知x,4sincos,,2～ 44 π3πy,4sinsin,2～ 44 πz,4cos,22～ 4 ?点M的直角坐标为(,2,2,22)( 22故点M到OZ轴的距离，,2，，2,22. 【答案】 22 2,,,,7(在柱坐标系中，点M的柱坐标为2，π，5，则|OM|,________. ,,3【解析】 设点M的直角坐标为(x～y～z)( 2,,,,由(ρ～θ～z),2～π～5知 ,,3 22x,ρcos θ,2cosπ,,1～y,2sinπ,3～ 33 222因此|OM|,x，y，z 222,，,1，，，3，，，5，,3. 【答案】 3 8((2015?广东高考)已知直线l的极坐标方程为 π7π,,,,,,,,2ρsinθ,,2，点A的极坐标为A22，，则点A到直线l的距离为,,,,44 ________( π,,,,【解析】 由2ρsinθ,,2～ ,,4 ,,22得2ρ,,,2～?y,x,1. sin θ,cos θ,,22 7π|2，2，1|,,,,由点A的极坐标为22～得点A的直角坐标为(2～,2)～?d,,,42 52,. 2 52【答案】 2 三、解答题 ρ,1, 0?θ<2π9(在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体, ,0?z?2 积( 【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知～满足ρ,1,0?θ<2π～0?z?2的动点M(ρ～θ～z)的轨迹如图所示～是以直线Oz为轴～轴截面为正方形的圆柱～圆柱的底面半径r,1～h,2～ 2?V,Sh,πrh,2π. 10(经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80?，纬度为75?.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标( 【解】 在赤道平面上～选取地球球心为极点～以O为原 点且与零子午线相交的射线Ox为极轴～建立球坐标系(由已 4π知航天器位于经度为80?～可知θ,80?,. 9 π由航天器位于纬度75?～可知～φ,90?,75?,15?,～由12 航天器离地面2 384千米～地球半径为6 371千米～可知r,2 384，6 371,8 755 π4π,,,,千米～所以点P的球坐标为8 755～～. ,,129 [能力提升] 1(空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称的点的坐标为(0,θ?π)( ) A((,ρ，,θ，,z) B((ρ，θ，,z) C((ρ，π，θ，,z) D((р，π,θ，,z) 【解析】 点P(ρ～θ～z)关于点O(0,0,0)的对称点为P′(ρ～π，θ～,z)( 【答案】 C π,,,,2(点P的柱坐标为4，，3，则点P到原点的距离为________( ,,6 π【解析】 x,ρcos θ,4cos,23～ 6 πy,ρsin θ,4sin,2～ 6 即点P的直角坐标为(23～2,3)～其到原点距离为 222，23,0，，，2,0，，，3,0，,5. 【答案】 5 3(以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图1-4-4所示，若某地在西经60?，南纬45?，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________( 图1-4-4 3π5π,,,,【解析】 由球坐标的定义可知～该地的球坐标为R～～. ,,43 3π5π,,,,【答案】 R，， ,,43 ππ,,,,4(已知在球坐标系Oxyz中，M6，，， ,,33 2ππ,,,,N6，，，求|MN|. ,,33 【解】 法一 由题意知～ π|OM|,|ON|,6～?MON,～ 3 ??MON为等边三角形～?|MN|,6. 法二 设M点的直角坐标为(x～y～z)～ ππ33x,6sin cos ,～,332,ππ9则 y,6sin sin ,～,332 ,πz,6cos ,3～,3 ,,339故点M的直角坐标为,,～ ～～3,,22 ,,933同理得点N的直角坐标为,,～ ～～,3,,22?|MN| 99,,3333,,222,,,,,，,，，3，3， ,,,,,2222 2,0，0，6,6.