几何画板》 课件设计——函数图像变换

几何画板》 课件设计——函数图像变换 目 录 摘 要 .................................................2 ABSTRACT ................................................2 引 言 .................................................3 第一部分 课件的选择....................................3 第二部分 课件的制作....................................5 课件1的制作:函数图像的平移变换. .....................5 课件2的制作:函数图像的反射变换. .....................7 课件3的制作:函数图像的旋转变换. .....................8 课件4的制作:函数图像的放缩变换. .....................9 课件5的制作:柱面――M线. ..........................10 课件6的制作:锥面. .................................10 第三部分 学习《几何画板》的体会 .......................11 参考文献 .............................................13 1 摘 要 《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的几何软件。 它的全名是《几何画板--21世纪的动态几何》。《几何画板》是一个适用于几何(平 面几何，解析几何，射影几何，立体几何)、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台 软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生 在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解决能力，并发展思维能 力(它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向( 本文讨论了用《几何画板》展示函数图像变换的有关问题(一般的课件只能做出 函数的图像，而不能对函数图像进行变换，更不能演示变换的过程，《几何画板》也没 有这些功能，本文的主要成果就在于《几何画板》中实现了轨迹、函数图像的变换以 及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件( 全文由四个部分组成(引言部分简单介绍了《几何画板》这个软件极其在数学教 学中的重要性(第一部分说明了课件的选择原则及我所选择的几个课件;第二部分详 细介绍了这几个课件的制做过程;第三部分是我学习和使用《几何画板》的体会( 关键词:《几何画板》、函数图像变换、旋转、反射、缩放、平移、动画、轨迹、动态几何( Abstract The Geometer’s Sketchpad is produced by The Curriculum Press Company of America. It is an excellent platform. It is applies to the teaching of geometry (plane geometry ,analytic geometry ,projection geometry and solid geometry),partial physics and this platform not only can help teachers use the modern educational technology in their teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation and solving question, and progressing their ideation. As far as it goes, the platform represents the developing direction of the educative tool software. This paper has discussed how to demonstrate transformation of function images by the Geometer’s Sketchpad. General coursewares can only make the image of function, and can not transform the image of function. And it can not demonstrate the course of transformation either. " The Geometer’s Sketchpad does not have these functions also. The major accomplishment of this paper is that is two things can be done by the Geometer’s Sketchpad :one is transforming the locus and function images, the other is demonstrating the course of the transformation dynamically. And I made some coursewares about the transformation of function images by this method.( The paper is composed of four parts: In the introduction I introduce the Geometer’s Sketchpad and stress the necessity of using it in mathematic tuition fee. In the first part, I explain why I choose this several coursewars. In the second part, I introduce in detail the course of making those coursewares. In the last part, I relate my experience of study by using the Geometer’s Sketchpad. Keyword: The Geometer’s Sketchpad, move, dynamic geometry, reflect spin translation, rotate, trace , function image alternate. 2 引 言 《几何画板》它的精髓是:它保持了几何图形中内在的、恒定不变的几何关系及几何规律。它的最大特点是:让学生自己动手按给定的数学规律和关系来制作图形(或图象、表格)，从中观察事物的现象，通过类比和分析提出问题，还可进行实验来验证问题的真与假，从而发现恒定不变的几何规律，以及十分丰富的数学图象的内在美、对称美。学生可以驾驶《几何画板》这一叶扁舟，在数学发展的历史长河中漫游，兴之所至，或探踪寻源，或荡舟而过。这是其它的教学媒体所办不到的，也是一般CAI软件功能所不及的。 数学课堂教学的特点是:具有很强的逻辑性和系统性以及高度的抽象性和概括性。现代教学媒体GSP(《几何画板》的简称)能化静态为动态，化抽象为具体，能够寓趣味性、技巧性和知识性于一体。传统的数学教学方法，基本上是信息的单向传输，即“讲、练、评”三位一体的教学模式，反馈处于不自觉状态中，不利于分层次教学、因材施教，不易激发学生的求知欲和兴趣。GSP课件能有利于“因材施教”，为课堂个别化教学提供了可能性。教师可以根据学生的具体情况灵活掌握并能处理好知识面的宽与窄、量的多与少和难度的深与浅的关系，从而有效地控制教学的广度、深度和难度。 随着计算机的功能不断被开发，其在社会各个领域巨大的作用也越来越突出。同样，计算机对数学教育也产生了巨大的影响，它打破了数学研究只需一张纸、一支笔，数学教学只需要一支粉笔和一块黑板的教学模式，为数学教育和研究开辟了新的领域。优秀的软件和平台不断地被开发并被应用于课堂教学，给课堂教学注入了新的活力。辅助教学软件《几何画板》，它能准确地展现几何图形，揭示几何规律，动态地再现数学问题发现与形成。借助于它，能最大限度地调动学生思维的积极性和创造性，是数学教师的得力助手 第一部分 课件的选择 《几何画板》作为优秀的数学教学软件，可以动态地演示几何图形的变化，让学生更直观地看到图形间的联系(而作为新时代的数学教师，就应该掌握这个软件，并将其用于课堂教学的实践(我做的课件是关于函数图像的变换(我之所以选这个题目，是因为以下两方面的原因:首先，函数图像变换是中学数学教学中的重点和难点，有些学生很难想象函数图像变换前后的关系，这就影响了他们理解函数表达式与函数图像之间的对应关系，无法做到数形结合(其次，《几何画板》没有让轨迹、图像运动的功能，它只能做出变换后的图像，而不能实现变换过程的动态演示( 函数图像的变换主要有以下四种:平移变换、反射变换、旋转变换、缩放变换(本文的主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 就是讲如何用《几何画板》将这四种变换以动态的方式展现出来( 第一个是平移变换( 平移变换是指函数图像保持形状不变，在平面上下左右地移动，其中包括两种基本情况: yfx,k1.将函数的图像向左(或向右)平移个单位 ，， 3 (k>0时向左，k<0时向右)得的图像( yfxk,，，， 2.将函数的图像向上(或向下)平移个单位 yfx,k，， (k>0时向上，k<0时向下)得的图像( yfxk,，，， 任意一个平移变换都可以看成是成这两种基本情的复合(因此我们要实现一个平移变换，可将函数图像先沿x轴方向移动相应的距离再沿y轴方向移动相应的距离(我制作课件的的思路就是先绘制新函数，然后让函数图像依次沿x轴、y轴移动，将这个过程动态地表现出来，并且用追踪轨迹的方法将移动的路线记录下来，让学生了解各因素对函数图像的影响( 【特色】 我制作的课件能够分别从两种不同角度来刻画平移变换。一方面实现了函数图象分别沿x轴y轴平移的动态过程，另一方面实现了坐标轴沿相反的方向平移的动态过程，达到与图象平移相同的效果。让学生能够更加深刻地理解图象平移与坐标轴平移的区别和相同点。 第二个是反射变换( 反射变换是关于一条直线的反射，反射像与原像关于这条直线是对称的，就像镜中的像与原像一样，因此也称镜面反射(《几何画板》有“反射”这一功能，只要标记镜面，并选择要反射的原像，直接用“反射”就可以得到反射像了，但是为了让学生更清楚地看到反射的过程，我想要将反射的过程动态地展现出来，就需要一定的技巧，使轨迹运动起来，而《几何画板》中的轨迹和图像是不能变换和移动的(因此我们考虑以点动带动轨迹的运动(这也是我做的几个课件应用的主要技术(实际上就是先在函数图像上任取一点A，作这点的反射点B，然后连接这两点，在所得线段AB上任取一点C，选中C、A作轨迹，只要移动C点，就可以移动轨迹(再作C到A、C到B的移动按钮，改名为“还原” 、“反射”，则可用按钮来控制反射了(改变标记的镜面，可以做出关于任意直线的反射( f(x)关于X轴反射得到的图象为-f(x) f(x)关于Y轴反射得到的图象为f(-x) ,1fx，，f(x) 关于Y=X反射得到的图象为 【特色】我制作的反射变换的课件还能演示从f(x)到f(abs(x))及abs(f(x)) 的动态变换过程。f(abs(x))的图象即为将f(x)的图象在Y轴左边的部分以Y轴为镜面反射到Y轴右边，而原来图象在右边的部分保持不变;abs(f(x))的图象即为将图象在X轴下边的部分以X轴为镜面反射到X轴上边，而原来图象在上边的部分保持不变; 第三个是旋转变换( 旋转变换是指以一固定点为中心，将函数图像旋转某个角度(和前两个变换一样，旋转变换也是保形变换，也就是变换前后函数图像的形状保持不变，只是位置改变而已(旋转变换 4 的移动做法类似于反射变换，只是对A点进行的不是反射变换而改为以固定点为中心旋转某个角度得到B点，后面的步骤都相同( 第四个是放缩变换( 放缩变换有两种，一种是以原点为中心进行放缩，另一种是以坐标轴为基本进行放缩(例如:以x轴为准，将图像放大两倍，实际上就是横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍;如果是以原点为中心，则是横纵坐标一起放缩相同的倍数(至于是放大还是缩小，只要改变放缩系数就可以了，系数大于1就是放大，小于1就是缩小(变换的移动做法也类似于反射变换( 这四种变换是基本变换，它们可以复合起来，形成比较复杂的变换，比如先平移、后放缩、再旋转，就得到了一个于原来有联系又不同的新函数(如果将这些变换移动的轨迹记录下来，就得到了一些曲面，比如柱面、锥面等，还能使图形产生立体效果，我在这方面准备了两个课件，一个柱面、一个锥面( 第二部分 课件的制作 课件1的制作:函数图像的平移变换. (1) 新建坐标系，新建参数a,b,c; (2) 绘制新函数，以f(x)=a.In(b.x+2)+c为例( (3) 新建参数dx，dy单位选为厘米，作为沿x轴和y轴的平移量( (4) 在函数图像上任取一点Q，将Q在垂直按标记的距离dy移动，水平方向移动量为O，得到Q,(连接Q和Q,，在线段QQ,上任取一点I，标记距离dy，将I在水平方向按标记距离dx移动，垂直方向上移动距离为O，得到I’(连接I和I’，在II’上任取一点J，选中J和Q作轨迹，将其改为粉色粗线显示，所得轨迹会随着J点的运动而运动( (5) 分别作I到Q，I到Q,的移动按钮，改标签为还原 ，移动y ;再分别作J到I，J到I’的移动按钮，改标签为还原 ，移动x (则可由这些按钮来控制函数图的移动了( (6) 圆心,以dx进行水平平移(得到,,，以,轴为镜面对,,进行反射得到,,,，连接,,,,，在,,,,上取任意一点,，Z以dy进行垂直平移得到,,，,,以,轴为镜面进行反射的,,,，连接,,,,(并在其上取一点,(以,我坐标圆心 定义一个新坐标系( (7) 按类似步骤5分别建立还原 ，坐标系移动y ，还原 ，坐标系移动x,依次选中移动x 、、移动y ，作系列按钮，改标签为函数X Y平移(这样就实现了一个按钮控制整个移动过程(类似做出所需要的其他控制按钮 5 (8) 作出分别沿x y方向和沿两个方向移动后的函数表达式，分别为f(x)=a*In(b*x+2)+c. h(x)=a*In(b*(x-dx)+2)+c;h(x)=a*In(b*x+2)+c+dx;h(x)=a*In(b*(x-dx)+2)+c+dx 将这,个表达式放在对应图像旁边适合的位置(并且分别建立表达式的隐藏,显示按钮，改标签为隐藏,显示变化后函数, 、隐藏,显示原函数,( (9) 依次选中所有还原作系列按钮，改标签为还原(并所有按钮加入防止误操作(做一个点的隐藏,显示按钮，把该按钮与所要防止误操作的按钮一起做个系列按 钮，该系列按钮与所要防止误操作的按钮的功能与名称都一样的)( (10) 作出上述以防止误操作全部按钮的隐藏与显示按钮，点选相应的隐藏与显示按钮做出同时变换坐标X与Y ，仅变换坐标X ，仅变换坐标Y ， 回复 系列按钮并点选清除轨迹选项( (11) 隐藏不必要的点和线以及坐标系( 图1 说明: ,(改变a,b,c的值则可改变原函数的形状与位置，f(x)和h(x)的图像也会相应改变; ,(每一种平移又都实现了函数平移和坐标系平移两种不同的变换方式，学生可以 通过观察他们各自的动态演示过程来比较他们的相同点与不同点。看效果是否 一样。 tt,,(改变的值，可以实现任意的移动( xy ,(保留仅变换x ，还原x ，仅变换y ，还原y ，就可以实现只沿x轴或y轴的平 移，方便教师的讲解( 6 课件2-1的制作:函数图像的反射变换. 首先，我们以关于,次函数f(x)=a.(x-2)^2+b.(x-2)+c的反射为例: (1) 构造,次函数f(x)，并构造基函数j(x)=2/(1+sgn(f(x))),构造函数 p(x)=j(x).f(x). ; (2) 绘出,次函数图像f(X)，并设置属性只显示位于,轴下方的部分(并绘出,(,); (3) 在函数图像f(,)上任取一点B，按标记镜面反射得B’点(连接BB’，在其上任取一点C(选中C和B作轨迹，将其改为蓝色粗线显示，则所得轨迹会随着C点的运动而运动; (4) 分别作C到B、C到B’的移动按钮，改标签为反射x、还原; (5) 在f(x)上取一点,，并做f(x)与,轴的交点,，,与,轴的垂线c,d，然后做,与这两条垂线的垂线，并标出交点为,(,(用,， ,， ,， ,， ,做一个五角形，并填充起内部为黄色，该五角形就能随,(,)的运动而运动了( (6) 根据平移变换中的,(,,步做出1.显示执行X反射动作的图象等系列按钮 (7) 对于关于,轴的变换与,轴的操作类似，无需基函数( 图2 说明: 1(可以任意修改点B的坐标以实现对任意点为中心反射 7 课件2-2的制作:函数图像的反射变换,. (1) 构造函数f(x)=tan(0.3.x),并绘制该函数 (2) 在该函数任意取一点,(以,轴为镜面反射得到,,，连接,,,，在其上任意取一点,，并做,与,的轨迹，该轨迹跟随,的移动而移动(分别建立该,,,，与,,J’ 的移动按钮(并命名为反射x、还原( (3) 同上分别建立关于,轴和圆心,的反射与还原按钮 (4) 设置参数a(b，以该两点为(,(,)绘点,，连接,,,并在,点做出,,的垂线，,点以,,为镜面反射，类似(,)做出反射与还原按钮( (5) 类似坐标平移(9)(10)做出系列按钮与防止误操作 (6) 隐藏不必要的按钮与点，线( 图3 课件3的制作:函数图像的旋转变换. (1) 新建坐标系，，绘制新函数f(X)=tg(0.3.x); (2) 新建小圆,，在小圆上任意取两点,，,，度量角,,,并标记角度; (3) 在函数图象取一点，，以标记角度,,,旋转的点，,，连接点，，,，并在该线段一点,，并做,与，的轨迹; 8 (4) 分别作,到，、,到，’的移动按钮，改标签为还原、旋转; (5) 度量,的坐标值 (6) 隐藏不必要的点和线( 图4 说明:(1)(一定要将“编辑”中的“参数选项”中角度的单位改为“定向度”，否则当旋转 180:角度大于时，就会出现回转的现象; (2)(就这个课件而言也可以不画小圆A而直接对函数图像上的E点进行旋转，但这样 做就不能将它直接用于其课件，而单做一个控制旋转的小圆以及其操作按钮，就 可以通过复制直接用于其它有关旋转的课件，可以节省一些时间和精力( 课件4的制作:函数图像的放缩变换. 缩放变换中轨迹运动的实现方法与上面的几个课件类似,不同的地方就在于K点的做法: (1) 新建线段,,,,,(,,,共线，并度量,,,,,的比值 (2) 对于圆上上任意一点,，以原点为中心，按标记比值缩放，则得到点,; (3) 以其它课件一样设置好缩放的按钮( (4) 隐藏不必要的点线( 9 图5 课件5的制作:圆柱体的形成过程. 动态演示圆柱体的形成过程 BDO(1) ,,动动脑筋 想想圆柱体是如何综合 运用基本的函数变换得 到它的动态形成过程的 OAC 上一页 下一页 图6 课件6的制作:圆锥体的形成过程 图7 10 第三部分 学习《几何画板》的体会 信息科技日新月异的发展，必然会引起社会的很多方面的深刻变化，对教育的各个方面也产生了无法估量的巨大影响。如何迎接这个挑战，用信息科技改进现代的教育工作，是面临的任务，开展多媒体技术与课程的整合是其中的一个重要方面。应用“几何画板”与数学学科进行整合，是一个很好的突破口。假舆与者，非利足也，而致千里。有利的外部条件，能促进事物的迅猛发展，在科技高速发展的今天，我们应充分利用现代的技术、现代化的教学手段深化课堂教学改革。 “几何画板”是教育部全国中小学计算机研究中心向全国中小学数学、物理教师推荐的优秀教学软件，能在动态变化中保持给定的几何关系，学习、掌握这个软件比较容易，用它制作课件比较简单，既有利于教师制作，也有利于学生进行数学实践与探索，拓宽了创造性学习的渠道。 《几何画板》是一个适用于几何(平面几何、解析几何、射影几何等)教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，它能显示或构造出其它较为复杂的图形。它的特色首先能把较为抽象的几何图形形象化，但是它最大的特色是“动态性”，即:可以用鼠标拖动图形上的任一元素(点、线、圆)，而事先给定的所有几何关系(即图形的基本性质)都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。另一方面，利用动态性和形象性，在老师的引导下，还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。 对“几何画板”的认识，是在一年前，开始我认为它只是一个数学教学辅助软件，只是替代了直尺、圆规的一个画图工具而已。但在自己的制作课件过程中，认识到了它的强大功能以及特有的随机计算能力和交互能力，使我为它的魅力所折服。 “几何画板”的特点一:简明。它的制作工具少，制作过程简单，学习掌握容易。“几何画板”能利用有限的工具实现无限的组合和变化，将制作人想要反映的问题表现出来。学习掌握它较为容易，不需要花很多的精力和时间来学习软件本身，而强调软件对学科知识的推动和理解。不能否认目前也有许多优秀的课件制作工具软件，但这些软件往往较难掌握，或者制 11 作过程与学科本身知识相差很远，只是对某一问题的模拟再现。“几何画板”制作过程较为简单，对问题的反映是在对学科知识理解基础上，甚至是利用学科知识本身来解决问题，因而使用“几何画板”制作出的课件更符合学科知识本身的要求。 “几何画板”的特点二:朴素。它的界面清爽干净，仅一块白板而已，制作出的课件也没有过多华丽的装饰，只是体现出制作者想要表达的主题。也正是因为它的朴素，从而使它对问题的反映显得直接而清楚，使课件本身对问题的阐述、剖析及对难点的突破显得有效而又有针对性，使课件的作用发挥到了极限。这正是一个好的教学辅助软件所必备的条件——针对性。 “几何画板”的特点三:短小。(1)投入人力少，在使用“几何画板”制作课件时，一个教师花十几分钟，最多一、二个小时就能制作出一个好的课件，教师只要利用一些零星时间就能开发制作课件;(2)投入财力少，“几何画板”对计算机的要求不高，目前一般学校的条件都能满足;(3)占用空间小。 问题与解决是数学的心脏。提出问题并解决问题是数学发展的原动力。由于各种原因，今天的中学数学教材中，难以体现出“问题与解决”的韵味，也没有机会让中学生接触丰富的数学遗产。问题提出的唐突化，过度的公式化、形式化及解题的模式化，使数学失去了原有的魅力。至使部分学生错误地认为数学只是符号与公式的组合，难以激发他们学习数学的热情和兴趣。 当今，教育心理学领域中，建构主义的学习理论正勃勃兴起和得到普遍重视，它取代认知主义而成为理论研究和实际教学的新的指导性理论。它也是计算机教育应用的理论基础。建构主义理论的核心是:“知识不是被动接受的，而是由认知主体建造的”。强调学习是学习者主动地建构内部心理表征过程。这一理论决定着我们的课堂教学改革应突出学生的主体作用。将传统的教学方法与现代教学手段有机结合起来，充分发挥计算机信息量大、化远为近、化静为动等优势，为学生提供一块自由的、开阔的“做”数学的天地，使学习主体由被动地接受变成主动地探索。使课堂教学呈现出一种生动活泼的态势。 数学学习是学生在已有数学认知结构的基础上的建构活动，目的是要建构数学知识及其过程的表征，而不是对数学知识的直接翻版。这就要求在教学中，不能脱离学生的经验体系，只重结果而偏废过程。把结论机械地灌输给学生。这样获取的知识是不牢靠的，应遵循让学生观察理解，探索研究，发现问题的规律，给学生一个建构的过程，一个思维活动的空间，让学生参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。 12 建构主义认为，学习应在与现实情景相类似的情景中发生，正应了句古老的格言:人是环境之子。在实际情景下进行学习，可以使学习者利用自己原有的认知结构中的有关经验，去同化和索引当前学习到的新知识，从而获得对新知识的创造性的理解。《几何画板》可以帮助老师营造一个良好的数学环境。例如，旋转体一节课，可以先给出一个有许许多多的实际生活中的柱体、锥体和台体的情景，在这种背景下，让学生去感知，去同化，接着老师提出问题:它们的共同点是什么,它们是怎样形成的呢,然后在画板上分别让矩形、直角三角形、直角梯形旋转，展示其形成过程。这样，学生通过感知、探索，很自然地将旋转体的概念融入到脑海里。 现在的数学教学不仅要培养学生计算、演泽等具有根本意义的严格推理的能力，还培养学生预感试验，尝试归纳、“假设——检验”、简化然后复杂化，寻找相似性等非形式推理或似真推理的能力。只有这样，数学课程的创造性气质才算提高。实验方法在数学科学中的作用愈来愈被重视，除了直接观察、假想试验，统计抽样和计算机迭代、数字仿真等方法也日益被采用，成为发现、创造的重要杠杆。而“几何画板”的使用，使学生进行数学实验多了一件有用的工具，使得在课堂上让每个学生进行数学实验成为可能。这种数学实验，对学生主体意识的形成，主动参与数学实践本领的提高，自行获取数学知识的能力培养，都将发挥作用。 其实，在《几何画板》中还有很多其他的功能，比如本文所涉及的图像变换、轨迹、追踪、动画等，都是很好用也很实用的(在讲解一些比较抽象的知识时，如果教师能够做出适合的课件，对于学生的理解是十分有帮助的(当然，《几何画板》也不是万能软件，想要实现一些复杂的变换还需要我们不断学习，不断发掘，拓展它的功能 参考文献 1. 几何画板与微型课件制作/刘胜利编.—北京:科学出版社，2001; 2. 如何用几何画板教数学/王鹏远 王选勃 王玉编写.—北京:人民教育出版社; 3. 用“几何画板”辅助数学教学/王鹏远编著.—北京:人民教育出版社; 13