单墫老师教你学数学 解析几何的技巧

书书书 $!!!! 目!录 总序 !0 前言 !0 0! !距离公式 !0 #! !平行四边形的顶点 !" !! !过已知点的平行线 !1 :! !过已知点的垂线 !00 2! !同心圆 !0! "! !渐近线相同的双曲线 !02 3! !复数与旋转 !03 1! !三角形的心 !#0 4! !法线式 !#" 0$!!一次式 !!! 00!! 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示直线的高次方程 !!1 0#!!过原点的曲线 !:! 0!!!直线束 !:3 0:!!共点线与共线点 !23 02!!行列式的应用 !"# 0"!!面积 !"4 03!!斜坐标 !32 01!!圆的方程 !1: 04!!和圆有关的线 !11 #$!!共圆点 !4: %!!!! #0!!与圆有关的问题 !0$$ ##!!共轴圆 !00$ #!!!较复杂的几何题 !004 #:!!二次曲线 !0!2 #2!!韦达定理 !0:3 #"!!二次曲线束 !024 #3!!几何知识的应用 !03$ #1!!轨迹 !033 #4!!一道几何题的推广 !04: !$!!两道国际竞赛题 !044 !0!!牛顿线 !#$3 !#!!机器证明的两个定理 !#$4 结束语 !#0: 书书书 !!!!! ! 距离公式 点!!!""!#与!!""""#之间的距离是 !!!#!"#"$!"!#""#槡 "" !!%!# 这是大家熟悉的距离公式"它可以用来解很多几何问题% 例 "! #####################! 设$&’(的三边长为)$*$+"则’(边上的中线,) 的平 方为 ,") -!"* "$!"+ "#!#) "% !!%"# 解!设’(中点为."则. 的坐标为 !. - !’ $!( " "!!". - "’ $"( " % !!%$# !以后我们用!/$"/ 分别表示/点的横坐标与纵坐标"不一一 声明%#于是由公式!!%!#" ,") -!!& #!.#"$!"& #".#" - !& # !’ $!(! #" " $ "& # "’ $"(! #" " -!# %!!& #!’#$!!& #!(#&"$!# %!"& #"’#$!"& #"(#&" "!!!! -!# %!!& #!’#"$!!& #!(#"$"!!& #!’#!!& #!(#& !$!# %!"& #"’#"$!"& #"(#"$"!"& #"’#!"& #"(#&% 注意到恒等式 !!!"!!& #!’#!!& #!(# !!!! -!!& #!’#"$!!& #!(#"#!!’ #!(#" !!%## !!!!! "!"& #"’#!"& #"(# !!!! -!"& #"’#"$!"& #"(#"#!"’ #"(#""!!%#0# 便可得出 ,") -!# %"!!& #!’#"$"!!& #!(#"#!!’ #!(#"& ! $!# %"!"& #"’#"$"!"& #"(#"#!"’ #"(#"& -!" %!!& #!’#"$!"& #"’#"& ! $!" %!!& #!(#"$!"& #"(#"& ! #!# %!!’ #!(#"$!"’ #"(#"&" 即!!%"#式成立% 上面的推导仅是极简单的计算"没有添辅助线"没有巧妙的 推理"甚至没有明确用到余弦定理"只用了距离公式!!%!#与中 点的坐标!!%$#%这正是解析几何的优点所在"请读者回忆中线 公式!用纯几何方法#的证明"对比一下"体会更深% 注!!上面出现的一些式子中"横坐标与纵坐标处在平等 的地位%由于这种对称性"在非正式的书写中"可以只写出含! #!!!! 的部分"而将含"的部分用’%(()来代替!学过向量的读者 将关于两个坐标的表达式改成一个用向量表示的式子"更为 简单#% 注"!上面的!!%##与!!%#0#相加得出 !!& #!’#!!& #!(#$!"& #"’#!"& #"(#-!" !*"$+"#)"#% !!%&# 它相当于余弦定理"即!!%&#式左边就是*+’()&%这一点我们 以后将会用到!熟悉向量的读者可以看出!!%&#式左边是向量 !"$!#的数量积#% 例 "! #####################" 求证*当/为$&’(的重心时"/到三个顶点距离的平方 和最小% 证!设重心为1"则 !1 -!$ !!& $!’ $!(#"!!"1 -!$ !"& $"’ $"(#% !!%*# 因为 !!/ #!&#" -%!!/ #!1#$!!1 #!&#&" -!!/ #!1#"$!!1 #!&#"$"!!/ #!1#!!1 #!&#" 关于!’$!( 也有类似的等式"这样的三个等式相加得 !!!/ #!&#" -$+!!/ #!1#"$!!!1 #!&#" ! $"!!/ #!1#!!!1 #!&#" 其中!表示将字母&$’$(轮换后所得的三个式子相加"例如 $!!!! !!!/ #!&#" -!!/ #!&#"$!!/ #!’#"$!!/ #!(#"%由于 !!%*#"上式右端最后一个和为零%所以 !!!/ #!&#" -$!!/ #!1#"$!!!1 #!&#"% 关于纵坐标也有类似的等式%于是 !/&"$/’"$/(" -$/1"$1&"$1’"$1(" %1&"$1’"$1("" 即当且仅当点/与重心1重合时"/&"$/’"$/("取得最小 值1&"$1’"$1("% 注!!如果读者不熟悉轮换的和号"可以将式子中所有的 项逐一写出%但轮换的和号是方便的"我们今后多次用到"希望 不熟悉的读者渐渐熟悉它% 注"!如果取1为原点"计算更简单"可参看第+节例*% 例 "! ###################### 证明*任意四边形四条边的平方和"等于两条对角线的平方 和"再加上对角线中点连线的平方的#倍% 证!如果不用解析几何"需要添辅助线"还要一些细致的分 析"并不很容易%采用解析几何"只需要简单直接的计算"图都不 必画% 设四个顶点的坐标为&2!!2""2#!2-!"""$"##%这时对 角线中点为’ !!$!$" ""!$"$! #" $( !"$!#" """$"#! #" "而 !#!!$!$" # !"$!#! #" " $!!!#!$#"$!!"#!##" -!!!$!$#!"#!##"$!!!#!$#"$!!"#!##" -"!!"!$!""$!"$$!"##!!!"#!"!$#!$!##!#!!# -!!!#!"#"$!!"#!$#"$!!$#!##"$!!##!!#"% %!!!! 关于纵坐标也有类似的等式"所以 #’("$&!&"$$&"&"# -&!&""$&"&"$$&$&"#$&#&"!% 用解析法!代数方法#解几何题是本书的重点之一%本节举 了三个例子"从这些例子可以看出在解某些几何题时"解析几何 比纯几何或纯三角的方法优越%当然要解得好"就必须掌握一些 技巧%从第"节到第,节"我们先介绍一些基本$简单的技巧% &!!!! ! " 平行四边形的顶点 已知平行四边形&’(. 的三个顶点的坐标分别为&!$" "#$’!#"-$#$(!""&#"求. 的坐标% 这个问题的解法很多%如图".!"如果利用平行四边形的对 边平行"可以先求出直线&. 与(. 的方程"再定出它们的交点 图".! . 的坐标%如果利用平行四边形的对 边相等"可以由. 到& 的距离为’( 及. 到(的距离为&’ 定出点. 的 坐标%当然还可以利用&. 与’(平 行并且相等来确定.%但是最简单的 方法是利用平行四边形的对角线互相平分"即&($’. 的交点 3既是!线段#&(中点"也是’. 中点"所以有 !3 -!" !!& $!(#-!" !!’ $!.# 及 "3 -!" !"& $"(#-!" !"’ $".#% 于是 !& $!( -!’ $!." "& $"( -"’ $". & ’ ( % !"%!# ’!!!! !"%!#式虽然简单"却很有用处!本书中将多次用到!"%!##% 对于开始问题"我们有 !. -!& $!( #!’ -$$"##-!" ". -"& $"( #"’ -"$&#!#$#-!/% 同一个问题"往往可以从几种不同的途径入手"我们应当选 用最简单的方法% 如果将平行四边形&’(.’压扁)"使&$(都落到’. 上" 那么便产生下面的结果* 设’$&$($. 为一直线上顺次四点"并且’. 与&(的 中点相同"则 !& $!( -!’ $!." "& $"( -"’ $".% 这个结论"后面!如第$/节例题"#还要用到% (!!!! ! # 过已知点的平行线 例 "! #####################! 直线4过点!$""#并且与已知直线&!#""$#-/平行" 求4的方程% 教科书上这道题的解法是先求出直线 &!#""$#-/ !$%!# 的斜率为& "% 由于4与!$%!#平行"所以4的斜率也是&"%所以4 的点斜式方程为 "#"-&" !!#$#" 即 &!#""#!!-/% 在刚开始学习解析几何时"这样按部就班地解"当然是必要 的%但在完成解析几何的初级阶段后"就应当采用下面的解法* 首先注意直线 )!!$*!"$+! -/ 与直线 )!!!! )"!$*""$+" -/ 平行的充分必要条件是 )! )" -*!*" ) +! +" !约定在此的后项为/时"它的前项也自动为/%所以)!)" 0*!/表 示*!0/#%因此在直线4与 &!#""$#-/ 平行时"4的方程应当呈 &!#""$+-/ 的形式%由于点!$""#在直线4上"所以 +-#!&5$#"5"#-#!!" 即4的方程为 &!#""#!!-/% 以上过程均可用心算完成!凡是能用心算完成的"决不要用 笔算%凡是能一步完成的运算"决不要分成几步去完成#% 例 "! #####################" 直线4与直线"!#$"$!"-/平行"并且经过点!""#!#" 求4的方程% 解!4的方程为 "!#$"#,-/% 其中’头)"!#$"与直线"!#$"$!"-/相同"可以立即写 出%而’尾)!常数项##,则是"!#$"在点!""#!#处的值的相 !*!!! 反数"可以通过心算得出"所以4的方程能够也应当直接写出% 在这里"任何过程都是多余的% 一般地"过点!!/""/#且与直线)!$*"$+-/平行的直 线是 )!$*"#!)!/$*"/#-/% !!!!! ! $ 过已知点的垂线 例 "! #####################! 直线4过点!-!"$#"并且与直线$!$""#!-/垂直"求 4的方程% 解!由于两条直线垂直时"它们的斜率的乘积为-!"所以 直线 )!$*"$+-/ !#%!# 的垂线为 *!#)"$+0-/% !#%"# 因而直线4的’头)是"!#$""而它的’尾)则是"!#$"在!#!" $#处的值的相反数!!%即4的方程为 "!#$"$!!-/% 和上节一样"熟练之后可以把答案直接写出!一个好的学生 应当自觉地减少那些不必要的过程"删去那些’花枪)"’一招 破敌)#% 例 "! #####################" 直线4过点!$"-"#并且与直线$!$#"#,-/垂直"求4 的方程% !"!!! 解!4的方程为 #!#$"#!+-/% 一般地"过点!!/""/#且与直线)!$*"$+-/垂直的直 线是 *!#)"#!*!/#)"/#-/% !#%$# 关于垂直"我们顺便再说几句话*要证明直线&’与(. 垂 直"通常是用这两条直线的斜率之积为-!"即 "& #"’ !& #!’ +"( #". !( #!. -#!" !#%## 但用等价的$形式整齐的条件!参看!!%&## !!& #!’#!!( #!.#$!"& #"’#!"( #".#-/ !#%&# 更好%以后我们就采用!#%&#!它还可以用向量的数量积来解 释#%不要忽视这种小技巧%请注意"如果每个环节都能省这样一 小步"解题速度就大大加快了% !#!!! ! % 同 心 圆 如果圆的圆心为!+"6#"那么它的方程可写成!请参看第 !+节# !"$""#"+!#"6"$7 -/ !&%!# 的形状%所以两个同心圆的方程具有相同的’头)!" $"" # "+!#"6"% 例 "! #####################! 圆(与圆!"$""#$"!$槡""#!/1%&-/ 同心"并且通 过点!!"/#"求圆(的方程% 解!圆(的方程为 !"$""#$"!$槡""$ ! " -/% 其中’尾)!常数项#! " 是!"$""#$"!$槡"" 在!!"/#处的值的 相反数% 一般地"与!&%!#同心并且过点!!/""/#的圆的方程为 !"$""#"+!#"6" -!"/$""/#"+!/#"6"/% 这当然也可以写成 !$!!! !"$""#"+!#"6"$7 -!"/$""/#"+!/#"6"/$7% !&%"# !&%"#式右端称为点!!/""/#关于圆!&%!#的幂!参看第"!节#% 当!!/""/#在圆外时"它就是点!!/""/#向圆所引的切线的平 方!因为!&%!#的圆心为!+"6#"半径的平方是+" $6" #7"点 !!/""/#到圆心的距离是!!/#+#"$!"/#6#""所以由勾股定 理"切线平方为!!/#+#"$!"/#6#"#!+"$6"#7#-!"/$ ""/#"+!/#"6"/$7#% 例 "! #####################" 点/到圆 !"$""$#!##"#!-/ !&%$# 的切线的长为$%求与!&%$#同心并且过点/的圆的方程% 解!根据!&%"#所求的方程是 !"$""$#!##"#!-$"" 即 !"$""$#!##"#!/-/% 例"中的两步可以并作一步%即利用心算直接写出答案% 这几节介绍的都是极基本$极简单的技巧"似乎微不足道% 但复杂的问题正是由简单的问题复合而成"只有在这些基本技 巧纯熟自如之后"处理复杂问题才能得心应手% !%!!! ! & 渐近线相同的双曲线 双曲线! " )"# "" *" -8! 的渐近线是"-8*)!% 这两条渐近线 也可以用一个二次方程! " )" # "" *" -/ 来表示%由此可见"渐近线 的方程与双曲线的方程仅差一个常数%一般情况也是如此"所 以"如果两条双曲线有相同的渐近线"那么它们的方程有相同的 ’头)"仅仅’尾)!常数项#不相同% 例 "! #####################! 已知双曲线的渐近线为"!$$"#&-/与&!$$"#+- /"并且过点!!"#!#"求它的方程% 解!设它的方程为 !"!$$"#&#!&!$$"#+#$" -/% !*%!# 将!!"-!#代入!*%!#得 " -#$*" 于是双曲线的方程为 !"!$$"#&#!&!$$"#+##$*-/% 上面的待定系数"当然也可以用心算直接得出"它就是 !"!$$"#&#!&!$$"#+#在点!!"#!#处的值的相反数% !&!!! 例 "! #####################" 一双曲线与双曲线$!"#"!"#&""$,!#1"-/有相同 的渐近线"并且经过点!"""#"求它的方程% 解!这双曲线的方程为 $!"#"!"#&""$,!#1"$"/-/% 其中常数项"/是$!"#"!"#&""$,!#1"在!"""#处的值的 相反数% 从第"节至第*节"使用的是同一个技巧*具有某种性质的 曲线"它们的方程有相同的’头)"而’尾)可以用待定系数法 定出% 同一个技巧往往能用于许多场合%能在不同的场合使用一 个技巧"才是真正掌握了这一技巧% !’!!! ! ’ 复数与旋转 平面上的每一个点"在建立坐标系后"可以用一对实数!!" "#!即它的坐标#来表示"这也就是说"可以用复数!$"2来表 示%同样地"向量,!""-也可以用复数!$"2来表示%因此"很 多几何问题可以用复数来解决%用复数解题在本质上与用解析 几何解题是一致的%但复数可以进行乘法运算"将!$"2乘以32# 就相当于把向量,!""-!依逆时针方向#旋转#弧度%所以处理 与旋转有关的问题"复数是一个有力的工具% 例 "! #####################! 已知正方形&’(. 的两个顶点&!$"&#$’!!"*#"求其他 两个顶点的坐标% 解!将’$&的对应坐标相减便得到向量 !" -,#""!--#"$2% 将它旋转!.""即乘以32!8!."#-82后"得到向量 !$ -8!#"$2#2-*!!$"2#" 从而. 的坐标为 !$$&2#$!#!#"2#-"$$2" 或 !(!!! !$$&2#$!!$"2#-#$,2" 即!""$#或!#",#% 由第"节"(的坐标为!/"##或!""+#% 例 "! #####################" 已知正三角形&’(的顶点&!!"!#$’!-!"-!#"求顶 点(的坐标% 解! !" -#"#"2-#"!!$2#" !# -#"!!$2#32 8!! #$ -#"!!$2#! " 8 槡$ "! #2 -!#!8槡$#$!#!*槡$#2" 所以(点坐标为!槡$"-槡$#或!-槡$"槡$#% 例 "! ###################### 已知正方形&’(. 的两个顶点&!-""##$(!$"-*#" &$’$($. 四点按顺时针方向分布"求’$. 的坐标% 解!&(中点3为 !" "#! #! "%# -&"#&2"所以’点的 复数表示为 ! " #2$2 & " #! #&2 -!!" $$"2" . 点的复数表示为 ! " #2#2 & " #! #&2 -#1" #,"2" 即’$. 的坐标分别为 !! " "$! #" $ #1""#,! #" % !)!!! 例 "! #####################$ 在$&’(的外边作正方形&’39与&(1:!图,%!#"则 !!#$&’(的高&. 平分线段9:% !"#$&’(的中线&; -!"9:% 图,%! 解!建立坐标系如图所示%设&$’$(的坐标分别为!/" )#$!*"/#$!+"/#%则: 点的复数表示为 )2$2+!+#)2#-)$!+$)#2" 即: 点的坐标为!)")%+#% 9点的复数表示为 )2$!#2#!*#)2#-#)$!)#*#2" 即9点的坐标为!-)")-*#% 因此9: 被"轴平分!9$: 的横坐标之和为零#% ; 点的坐标为 *$+" "! #/ "所以 !"&;#" -!*$+#"$#)" -9:"" "*!!! 即 ! "9: -&;% 注!注意9$: 的横坐标的绝对值均等于&.%因此"可以 ’诱发)出一个纯几何的证明"即从9$: 向直线&. 作垂线"然 后利用全等三角形证明这两条垂线均等于高&."从而直线 &. 平分9:% 复数当然不是万能的%不注意问题的特点"每道几何题都用 复数去硬算的人是愚蠢的% "!!!! ! ( 三角形的心 设$&’(的顶点坐标均为已知"重心$内心$外心$垂心分 别为1$<$=$:"三个傍心为<&$<’$<(%我们来确定这些点 的坐标% 熟知1的坐标为 ! $!!& "! $!"! #& % !+%!# 它也是在顶点&$’$(各放一个质量相等的质点所构成的质 点组的重心!更确切些说"是质点组的质心%我们不去研究质心 与重心有何差异"那是物理学家感兴趣的事情#% 如果在三个顶点&$’$( 处放的质点质量分别为,&$ ,’$,("这时质点组的质心; 的坐标为 !,&!& !,& "!,&"& !,! #& % !+%"# 理由如下* ’$(两质点的重心> 到’$(的距离之比为,(4,’"所 以由分点公式"> 的坐标为 ,’!’ $,(!( ,’ $,( ",’"’ $,("( ,’ $,! #( % !+%$# “奥数”课外阅读篇 《单墫老师教你学数学》7种 当读书不只是为了考试 你才会真正爱上数学 单墫老师娓娓道来 与你分享他所理解的数学之美 读者对象：初高中学生初高中学生初高中学生初高中学生，，，，数学教师数学教师数学教师数学教师，，，，数学爱好者数学爱好者数学爱好者数学爱好者 《单墫老师教你学数学》7种 ◆平面几何中的小花 ◆十个有趣的数学问题 ◆趣味数论 ◆棋盘上的数学 ◆覆盖 ◆组合数学的问题与方法 ◆解析几何的技巧 学奥数，这里总有一本适合你 自从 2000 年《奥数教程》中首次在图书中使用“奥数”一词以来，华东师 范大学出版社已陆续出版近 200 种“奥数”图书, 形成多品种、多册层次全系列。 “奥数”入门篇——《从课本到奥数》（1-9 年级）Ａ、B版 “奥数”智优篇——《优等生数学》（1-9 年级） “奥数”辅导篇——《奥数教程》、《学习 手册 华为质量管理手册 下载焊接手册下载团建手册下载团建手册下载ld手册下载 》、《能力测试》（一至高三年级） “奥数”小学顶级篇——《高思学校竞赛数学课本》、《高思学校竞赛数学导引》 “奥数”专题篇——《数学奥林匹克小丛书》（小学、初中、高中共 30 种） “奥数”题库篇——《多功能题典 数学竞赛》（小学、初中、高中共 3 种） “奥数”高中预赛篇——《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》 “奥数”联赛冲刺篇——《高（初）中数学联赛考前辅导》 “奥数”IMO 终极篇——《走向 IMO：数学奥林匹克试题集锦》 “奥数”域外篇——《日本小学数学奥林匹克》、《全俄中学生数学奥林匹 克》