土体极限分析理论（complete）

nullnull*土体极限分析理论 ——高等土力学*乔世范 中南大学土木建筑学院null*主 要 内 容 概论 滑移线场理论 极限分析法null*第1章 概 论 土力学问题：稳定问题与弹性问题 弹性问题：研究未破坏土体的应力或变形 稳定问题：土压力、承载力及边坡稳定 渐进性破坏问题： 由弹性与塑流极限状态的过渡状态null*null* 应力和应变的基本方程固体力学问题解法中各种变量的相互关系null* 应力和应变的基本方程 运动方程与平衡方程： 几何方程与连续方程： 本构方程 边界条件和初始条件：应力：位移：null* 基本概念 定义屈服：弹性进入塑性 屈服条件：屈服满足的应力或应变条件 屈服面：屈服条件的几何曲面null* 基本概念 初始屈服函数的表达式均质各向同性，不考虑应力主轴旋转时略去时间与温度的影响，并考虑应力与应变的一一对应关系，则有null* 基本概念屈服曲线与屈服面null* 基本概念理想塑性： 屈服面内F(σij)<0：弹性 屈服面上F(σij)=0：屈服 屈服面外F(σij) >0：不可能null* 基本概念塑性力学中的破坏：某单元体进入无限塑性（流动）状态 破坏条件真正破坏：整个物体不能承载 ①某单元进入流动状态不等于物体破坏；破坏不是针对一个单元的 ②塑性力学某单元处于流动状态，并非某单元破坏，如理想塑性状态。破坏面上各点应变都超过极限应变，物体才真正破坏。null*（1）形式： ①τ、σ： ②σ1, σ3: 莫尔－库仑条件： 岩土材料的破坏条件null* 德鲁克塑性公设 1928年，米赛斯提出塑性位势函数梯度方向是塑性流动方向，并以屈服函数作为势函数。此后引用德鲁克公设加以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 。 稳定材料的定义稳定材料不稳定材料附加应力对附加应变作功为非负（非必要条件）null* 德鲁克塑性公设 两个重要不等式：屈服面的外凸性塑性应变增量的正交性两个重要结论： （1）屈服面的外凸性 （2）塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则）null*滑移线法 滑移线就是破裂面的迹线，滑移线法就是按照滑移线理论和边界条件，在岩土受力体中构造相应的滑移线网，然后利用移线的性质和边界条件，求出塑性区的应力与位移速度场的分布，最后求出极限荷载。null*滑移线法评论 由滑移线方程得到的一种部分应力场不一定是正确解，也不能确知它是一个上限解还是下限解。如果通过一个给定的应力－应变关系能把一个相容的位移场或速度场与部分应力场联系起来，则滑移线解便是一个上限解。同时，如果塑性的部分应力分布可以扩延整个物体，且满足平衡方程、屈服准则和应力边界条件，则滑移线解又是一个下限解，因而也是正确解。null*极限平衡法 由所谓极限平衡法，就是传统上一直用来近似求解土力学稳定问题的方法。运用时，通常要给出各种简单形状的假想破坏面，如平面、柱面或对数螺旋面等。根据这一假设，每个稳定问题就可简化为:从选定的破坏面形状中寻找最危险的破坏面（或滑动面)的位置， 运用这一方法时，还需要假设破坏面的应力分布，据此才能以合力的形式列出所给问题的总体平衡方程。因此，这一简化方法使得可以用简单的静力学求解各种问题。null*极限分析法 下限定理 仅仅由满足条件（a）平衡方程;（b）应力边界条件；（c）处处都不违背屈服条件的应力分布所确定的荷载，不会大于实际破坏荷载。满足（a）、（b）和（c）项条件的应力分布，叫做所论问题的静力许可应力场。上限定理 在一个假设的，且满足（a）速度边界条件及（b）应变与速度相容条件的变形模式（或速度场）中，由外功率等于所消耗的内功率而得到的荷载，不会小于实际破坏荷载。 null*第2章 平面应变问题极限荷载的滑移线场解 基本假设 应力场的滑移线解及其性质 极限荷载应满足的条件 速度滑移线解及其性质 应力间断与速度间断 滑移线场的应用null*基本假设材料为理想刚塑性或弹塑性材料。可以证明，只有 理想塑性材料才有唯一的极限荷载。 小变形。因为在证明极限荷载的唯一性或推求极限 荷载时，需要利用虚功原理，而虚功原理只有在小 变形条件下才能成立。 屈服面必须处处外凸，而且材料必须符合相关联流 动法则。否则，不能保证Drucker公设成立，亦不 可能存在唯一的极限荷载。 null*极限荷载应满足的条件材料为理想刚塑性或弹塑性材料。可以证明，只有 理想塑性材料才有唯一的极限荷载。 小变形。因为在证明极限荷载的唯一性或推求极限 荷载时，需要利用虚功原理，而虚功原理只有在小 变形条件下才能成立。 屈服面必须处处外凸，而且材料必须符合相关联流 动法则。否则，不能保证Drucker公设成立，亦不 可能存在唯一的极限荷载。 null*极限荷载应满足的条件本构方程。在弹性区域，应力和应变满足弹性本构 系;在塑性区域，应力和应变增量或应变率应当满足 增量塑性本构关系，或者在整个塑性区，外力所做 的塑性功率不为负。 屈服条件。在弹性或刚性区，应力不违背屈服条件。 在塑性区中应力满足屈服条件null*应力场的滑移线解－基本方程式基本坐标系与滑移线方程沿α线： α=θ-μ 沿β线： β=θ+μ(1)α线： β线：(2)null*应力场的滑移线解－基本方程式平衡方程(3)屈服条件(4)式中：P，R分别为平均应力和应力圆半径，σc=ccotφ为粘聚力。C-M屈服条件T-M屈服条件(μ=π/2)(5)(6)null*应力场的滑移线解－基本方程式极限平衡方程(7)将式（4）代入式（3）null*极限平衡微分方程组的一般解法极限平衡方程组的特征线族(8) 式(7)为双曲线型的一阶拟线性偏微分方程组。与其相伴随的是两族实的特征线族，其方程为: 对比式(2)与式(8)可知:数学上的特征线就是塑性力学中的滑移线，特征线解亦即滑移线解。null*极限平衡微分方程组的一般解法沿滑移线的方向导数取沿α及β滑移线的曲线坐标如图所示。沿滑移线S α与S β方向导数为：（9）null*极限平衡微分方程组的一般解法沿滑移线的方向导数由式（8）可得：（9）null*极限平衡微分方程组的一般解法沿滑移线的极限平衡微分方程由式（9）代入式（7）并利用式（6）可得：（10）由于p, θ分别沿α和β线积分，因此有：null*极限平衡微分方程组的一般解法沿滑移线的差分方程解法将等关系式代入式（10）得：（11）这就是有重的型岩土材料沿α及β族滑移线的平均应力p和与Y轴夹角θ的差分方程。利用差分法，就可以求解有重岩土各种边值问题的滑移线场分布和极限荷载。null特殊情况下的滑移线解有重的纯粘土故式（11）简化为：（12）令： 有重土计算点的平均应力，则可得：（13）null特殊情况下的滑移线解无重的φ-c型材料（γ=0）由式（11）可得：（15）直接积分可得（16a）（16b）null特殊情况下的滑移线解无重的C型材料（γ=0,φ=0,c≠0）由式（12）可得：（17）直接积分可得（18）null应力边界条件（19）（20）null应力边界条件两种应力边界条件null应力滑移线的性质滑移线上的剪应力等于抗剪强度，故滑移线就是破裂 线的迹线。两族滑移线的夹角与屈服准则有关。对φ-c型岩土材料来说，粘聚力的存在不影响两族滑 移线的形状和夹角，对所有岩土材料，重力的存在 不影响两族滑移线间的夹角，但对其形状有影响。沿一条滑移线上的积分常数相同沿一条线上平均应力的变化与θ角的变化呈比例变化（21）null应力滑移线的性质若滑移线上某一段为直线，则在该线段上的p， θ以 及各应力分量均为常量。若已知滑移线网分布，则只要知道两条不同族滑移 线中一个交点的平均应力，就可以求出该应力区中各 点的P值。null应力滑移线的性质如果由一条滑移线α1（或β1 ）转到另一条滑移线α2（或β2 ） ，则沿任何一条β（或α ）族的滑移线，α线(或β线)的方向与x轴的夹角的变化值保待常量。null应力滑移线的性质证明：由式（16）所以null应力滑移线的性质如果α族(或β族)滑移线的某一曲线段(例如AB)是直线， 则β族(或α族)滑移线所截的所有线(或线)的相应曲线 段均为直线。null两种简单的应力场均匀应力场简单应力场 果没有应力间断线存在，两个均匀应力场之间必然夹着一个简单应力场或扇形场。null速度场－基本方程null速度场－基本方程null速度场－基本方程(11.9.5)null速度场－基本方程null速度场－基本方程null速度场－基本方程null速度场－基本方程直线滑移线上的塑性应变率为零，或位移速度不变 null应力间断线应力间断线：一个薄层过渡区，在这薄层过渡区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件。现分析位于间断线上一微单元的应力状况。如图所示应力间断线l-l把应力场分成I区和II区。间断线法线N与x轴夹角记为Ω。在间断线上取一单元，其应力状态，I区部分应力分量为σn1、 σl1和 τl1，II区部分应力分量为σ n2、 σl2和 τl2，它们应满足平衡条件和屈服条件。显然，两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个区内的剪应力相等，即(11.10.1)(11.10.2)null应力间断线间断线两侧的应力状态都应满足Mohr-Coulomb屈服条件。(11.10.3)(11.10.4) 将上式代入式11.10.1和式11.10.2，可得：(11.10.5)(11.10.6）由上两式可得：(11.10.7）即：(11.10.8）null应力间断线对于Tresca材料，φ＝0，C＝K，由式11.10.5，式11.10.6和式11.10.8得： 将式11.10.11可得：由式11.10.9和式11.10.10可得平均应力p1和p2的关系式应为：应力间断线不可能同时是滑移线，当滑移线通过应力间断线时，滑移线发生弯折。null应力间断线的速度问题间断线上速度是连续的。两个塑性区的应力间断线可以认为是它们之间存在的弹性区域的极限位置，应力间断线可以用一薄层的弹性层代替。因为在弹性层内，不允许出现裂缝或体积膨胀，所以应力间断线两侧的法向速度分量肯定是连续的。 应力间断线两侧的切向速度分量认也是连续的。在这个弹性层内，对某一元索，法向应力和剪应力几差不多是常数，而切向应力沿薄层厚度方向发生很迅速的变化。对于刚塑性体，弹性阶段变形为零，因此，应力间断线必须视作不可伸长的。应力间断线既然是不可伸长的，因而也就不允许间断线两侧的切向速度分量发生间断。null速度间断线速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况。可以证明，速度间断线或者是滑移线，或者是滑移线的包络线（11.10.15）由式11.9.7可得：可以认为从一个速度区越过间断线进人另一个速度区时，质点速度改变与间断线成φ角。对Tresca材料φ=0。因此，速度改变方向与间断线方向一致，即速度间断线两侧法向速度连续，只有切向速度有跳跃性改变。对Coulomb材料， φ ≠ 0 ，间断线两侧不仅切向速度不连续，法向速度也不连续。虽然两侧法向速度不连续，但物体仍保持连续，不产生裂缝，因为材料体积应变率不等于零。即材料体积将发生变化。刚性区与塑性区的交界线一定是速度间断线，也一定是滑移线。null钝角楔体单边压力作用时的极限荷载ODC区的应力状态可表示为：（11.11.1）null钝角楔体单边压力作用时的极限荷载null钝角楔体单边压力作用时的极限荷载极限荷载qf的表达式很容易从右图中得到，其表达式为:（11.11.5）null*第3章 极限分析法 概述 上限定理极限分析法的应用 极限荷载的上下限定理 下限定理极限分析法的应用 极限平衡法、滑移线场法 和极限分析法的讨论null概述第二章中我们已经知道:理想塑性材料存在着唯一的极限荷载;但是极限荷载必须满足静力平衡条件机动条件以及本构关系和屈服条件等约束条件。由于数学上的困难，除少数简单的平面应变或轴对称问题外，对于大多数工程实际问题，一般难以求得极限荷载的情确解。这就需要寻求其近似解。极限分析的上、下限定理就是采取放松极限荷载的某些约束条件，来寻求极限荷载的上限值或下限值的一种理论。由于岩土类材料一般并非理想塑性材料，没有唯一的极限荷载，这就需要借助于理想塑性材料的上、下限定理，并考虑岩土材料的摩擦屈服特性及非关联流动特性，推求其极限荷载的近似值，以满足工程需要。在提出极限分析的上，下限定理之前，需要定义静力许可的应力场及运动许可的速度场，并介绍塑性最大塑性功原理与虚功率原理塑性应变率分量之间的关系可表示为： 式中F屈服函数。对Tresca材料，屈服函数可表示为null概述对Tresca材料，屈服函数可表示为：将上式代入式12.1.1得：对Coulomb材料屈服函数可表示为:将式12.1.4代入式12.1.1得：对Tresca材料，屈服函数可表示为：将式12.1.4代入式12.1.1得：null极限荷载的上、下限定理静力场在体积V内满足平衡方程，即在体积V内不违反屈服条件，即在边界AT上满足边界条件，即 由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场。 null极限荷载的上、下限定理机动允许的位移速率场子在体积V内满足几何方程，即在边界Av上满足位移边界条件或位移速率边界条件并使外力做正功。 由以上定义可知，在极限状态时的真实位移速率场必定是机动容许的位移速率场。而机动容许的位移速率场并不一定是极限状态时的真实位移速率场。 null极限荷载的上、下限定理虚功和虚功率方程 虚功原理表明:对于一个连续的变形体，静力容许的应力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功等于内〔虚)功。 虚功方程可表示为： 虚功率方程可表示为：null极限荷载的上、下限定理存在应力间断面的虚功率方程设物体中存在若干个应力间断面SK（K＝1，2，3 …），将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化的。设在间断面SK面的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni-; 根据任一间断面上元素的平衡条件得到: 对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程式12.2.9,相应的面积分别按每一部分的表面完成。把各部分的虚功率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率方程的形式。null极限荷载的上、下限定理存在速度间断面的虚功率方程设物体中存在若干个速度间断面Sl（l＝1，2，3 …），将物体分成有限个部分。在每一部分，速度是连续变化的。设在间断面两侧的位移速度分别为vi(1) 和vi(2) ，它们沿间断面切线方向和法线方向的分量分别vil(1) 和vin(1) , vil(2) 和vin(2) 。Tresca材料在塑性变形过程中体积应变等于零，间断面两侧的法线速度分量必须是连续的。间断面两侧的相对速度可表示为:Coulomb材料在塑性变形过程中体积应变不等于零，间断面两侧的法线速度分量和切线速度分量均不连续。它们应满足：null极限荷载的上、下限定理间断面上的塑性能消散Tresca材料 单位体积塑性变形能消散率可用应力和相应的应变率的乘积得出，即速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在层内急剧而连续地变化。两侧相对速度为△v，如图所示，长度为l的间断面内的能量消散率为:Tresca材料沿速度间断面Si的能量消散率null极限荷载的上、下限定理间断面上的塑性能消散Coulomb材料 单位体积塑性变形能消散率D:（12.2.16）根据相关流动法则，有：将上式代入12.2.16，得：长度为l的间断面内的能量消散率为:null极限荷载的上、下限定理间断面上的塑性能消散Coulomb材料 △vcosφ间断面两侧相对速度在切线方向的分量，可记为△vi，所以Coulomb材料沿速度间断面的能量消散率为：当φ=0，式12.2.20蜕化成式12.2.15。式12.2.15是式12.2.20的一种特殊情况，可以用式1.2.20统一表达。null极限荷载的上、下限定理间断面上的塑性能消散Coulomb材料当速度间断面上的应力为屈服应力时，式12.2.15和式12.2.20可分别写成：（12.2.21）计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程式12.2.9可以得到存在速度间断面的虚功率方程表达式: ：null极限荷载的上、下限定理下限定理在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷载最大。根据下限定理可以计算极限荷载下限，通常称为极限荷载的下限解，也称为静力法。上限定理在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载最小。根据上限定理可以计算极限荷载上限，通常称为极限荷载的上限解，也称为机动法。null上、下限定理的推论推论1如果几何形状不改变，初始应力和初始变形不会改变极限荷载的大小。推论2提高物体某些部分材料的屈服极限，不会降低其极限荷载。反之，降低物体某些部分材料的屈服极限，不会提高其极限荷载。推论3在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可忽略不计)而不改变荷载的作用位置，不会降低其极限荷载。推论4由外接真实屈服而的屈服而计算得到的极限荷载将不小于真实的极限荷载;由内切真实屈服面的屈服面计算得到的极限荷载将不大于真实的极限荷载。推论5任何一组使服从相关联流动规则的材料产生破坏的荷载将使服从不相关联流动规则的同样屈服面的材料产生破坏。null上限定理极限分析法的应用薄变形层上的刚体滑动Tresca材料（12.3.1）薄变形层形成一个速度间断面，单位面积速度间断面上的能量消散率等于纯剪时的屈服应力与两块刚体间相对速度的乘积。平移（12.3.2）转动null上限定理极限分析法的应用例题：求不排水条件下饱和粘上地基上条形基础极限承载力饱和粘土地基在不排水条件下，土体内摩擦角φ=0 ，可认为是Tresca材料。建立的机动场如图所示。在机动场中，只发生刚性块体沿圆弧速度间断面AB弧上的滑动。圆心在O ′点，半径为R,转动角速度为α ′ 。 外力功率为外力功率等于内能消散率，得机动场中圆弧位置由半径R和角θ确定。由式12.3.2可得内能消散率为null上限定理极限分析法的应用例题：求不排水条件下饱和粘上地基上条形基础极限承载力饱和粘土地基在不排水条件下，土体内摩擦角φ=0 ，可认为是Tresca材料。建立的机动场如图所示。在机动场中，只发生刚性块体沿圆弧速度间断面AB弧上的滑动。圆心在O ′点，半径为R,转动角速度为α ′ 。相应的极限承载力的上限解为：null上限定理极限分析法的应用薄变形层上的刚体滑动Coulomb材料（12.3.11）平移转动如果半径矢量R0转动一个角度θ1过，那末半径矢量的长度变为R1=R0 exp(θ1 tanφ)如果速度v从螺旋线一端面的v0转动一个角度θ1后，速度变为v1=v0 exp(θ1 tanφ) 元素dl的长度为Rd θ /cos φ（12.3.13）null上限定理极限分析法的应用例题：求竖直陡坡的临界高度取机动场如所示。土的容重为r,滑动面与竖直方向成β角，滑动体的运动速度为v，与滑动面成φ角。 由式12.3.1可得沿滑动面的内能消散率为（12.3.14）塑性流动时，外力（重力）所做功率为：（12.3.15）（12.3.16）（12.3.17）（12.3.18）null上限定理极限分析法的应用刚体滑动与均匀压缩相结合Tresca材料（12.3.19）矩形单元的能量消散率为：单位体积的能量消散率为：（12.3.20）（12.3.21）null上限定理极限分析法的应用刚体滑动与均匀压缩相结合Coulomb材料塑性流动时：单位体积的能量消散率为：由以上三式可得：（12.3.25）或（12.3.26）null上限定理极限分析法的应用刚体滑动与均匀压缩相结合Coulomb材料（12.3.27）矩形单元的能量消散率为：下面分析沿AB界面上的能量消散情况。 对称轴点O点相对速度为0，设A和B点的界面两侧相对速度为 V0cosφ， 沿OB和OA各点速度成线性分布，沿AB界面的能量消散率为：（12.3.28）（12.3.29）null极限平衡法、滑移线场法和极限分析法的讨论极限分析法极限分析法是依据上、下限定理进行求解的。 应用上限定理极限分析法可以得到极限荷载的上限解。对应构造的一个机动场可以得到一个相应的上限解。应用下限定理极限分析法可以得到极限荷载的下限解。对应构造的一个静力场可以得到一个相应的下限解。一般情况下通过极限分析法可以得到极限荷载可能所处的区间。极限平衡法应用极限平衡法求解通常假定一滑动面(或称破坏面)，并给出沿着这一滑动面应力，应用静力平衡的方法并通过比较求出最危险的滑动面，得到极限荷载。 在分析中不考虑滑动面外的应力分布。它不满足极限分析法中建立静力场的要求，因此极限平衡法解不是下限解。它也不满足极限分析法中建立机动场的要求，因此它也不是上限解。 采用上限定理极限分析法得到的一个上限解一定是一个极限平衡法解。null极限平衡法、滑移线场法和极限分析法的讨论滑移线场法滑移线场法是根据由平衡方程和屈服条件得到的基本方程求解的。一般在荷载作用的附近区域中，构造滑移线场。根据边界条件，应用滑移场理论，求得极限荷载。 在滑移线场法中没有考虑土耳其的应力应变关系。它只考虑一部分土体中的应力场。从极限分析理论看由滑移线法求解极限荷载既未证明满足上限定理，也未证明满足下限定理，因此不能说它是上限解，也不能说它是下限解。因此，不能说滑移法解是精确解。 如果在滑移线场区域的应力分布能够扩展到全部区域，而且满足静力场的要求，则滑移线法解就是下限解。若能建立与滑移线场对应的速度场，而且满足机动场的要求，则滑移线法解就是上限解。能满足上述二条，滑移线场解就是极限荷载的精确解。null