严凸函数的一个等价定义

严凸函数的一个等价定义 严凸函数的一个等价定义 ? , 77— 第2l卷第2期 1998年4月 河北农业大学 ]c~nalofAgriculturalUniversityofHebei V01.21No.2 Apr.1998 严凸函数的一个等价定义 到童堑: (华北电力大学基础系,保定071oo3) 程兰芳 (河北农业天孚而保定071001) 摘要本文建立了严凸函数的一十等价定义,井讨论了严凸函教与单调性之间的内在联系. 关键词罡旦旦墼;兰兰;!堕荨 中图分类号O17413 1引言及若干引理 周知,凸函数的有关理论已是分析学中较重要的内容,不仅在数学分析,函数论,泛函分 析中有广泛应用,而且在线性规划,运筹学,经济数学等最优化理论中都要用到凸函数,目前 也已发展成为一个数学分支——凸分析. 区间上凸(严凸)函数的定义见文[1],[2]3],从几何角度来看,凸函数反映了曲线的 弯向,而曲线弯曲的方向与曲线的升降有一定联系;在分析教材中,建立了一系列 凸函数的 等价定义与性质,但未讨论凸函数与其单调性之问的关系,本文将讨论这一问题,进而给出 凸函数的一个等价定义,以下仅限于讨论严格下凸函数.严格上凸函数可类似讨论. 用符号I表示任一区间(a,b),[a'b],(a'b],[a,b),I.表示I的内部即I.=(a,b) 引理l"J?[】f(x)在I上是严格卞凸函数的充要条件为f(x)在I.上连续且对任意 1.x2?I,l5Z~X2,有不等式 ffk(1),,' 引理2I[2],【3nt(x)在I上是严格下凸函数的充要条件为f(x)在I上具有内闭有界性, 且在I上成立(1)式. 引理3【L2"若fix)在I上连续且无极值,则f(x)在I上严格单调. 引理4设fix)在I上连续,若f(x)在I上有唯一的极值点且是极小值点,则存在唯一 cffI.,使得f(x)在In(一OO,c]上严格减少,在In[12,+OO)上严格增加. 证明由所给条件,设12为f(x)在I上的唯一极值点且是极小值点,显然cffI.,于是 fix)在In(一oo,c]及In[12,+OO)上均无极值,由引理3,fix)在In(一oo,c]及In[12, +O0)上分U严格单调,又f(c)为极小值,故必有f(x)在In(一o.,12]上严格减少,在In [12,+oo)上严格增加.证毕 ? 捌立新男,33岁,讲师,硕士,从事敷学教学工作 1997一ll一20收稿 80河北农业大学第21卷 2主要结果 定理1f(x)在开区闯(a,b)上是严格下凸函数的充要条件为:或f(x)在(a,b)上严格单 调且满足(1)式;或存在唯一c?(a,b),使得f(X)在(a,C]上严格减少且满足(1)式,f(x)在 [c.b)上严格增加且满足(1)式. 证明必要性设f(x)在(a,b)上是严格下凸函数,由引理1知,f(x)在(a,b)内连续, 分以下两种情形讨论:(1)若f(x)在(a,b)上无极值,由引理3立得f(x)在(a,b)上严格单 调,再由引理1有(1)式成立.(2)若f(x)在(ab)上有极值,则f(x)在(a,b)内只能有极小 值.事实上,若)(o是f(x)在(a,b)内的极大值点,由极值定义,必存在[a,p][(a,b),使得)(o ?(n,p),且对任意xE[a,p],有f(x)?f()(o),令xo=t?n+(1一t)p,rE(0,1),由f(x)的严凸 性有f()【0)<tf(u)+(1一t)f(B)?f()(o),矛盾.又f(x)在(a,b)上的极小值是唯一的,且极小 值点也是唯一的.事实上,若存在I,吃?(a,b),使得f(1),f(c2)均是极小值,当q<吃时, 则必存在Xl,x2?(cl,C2),有f(1)?f(c1),f(x2)?f(c2)这表明f(x)在[Cl,C2]上的最大值能 在(l,c2)内取得,设为f()(o),)(o?(I,吃),于是f(C1)?f()(o),f(c2)?f()【0),令【)0=t?I+(1 一 t)c2,此处rE(0,1),则由f(x)的严凸性有 f()(o)<ff(cI)+(1一t)f(c2)?f(xo) 矛盾,当I>C2时类似可导致矛盾,故只能有q=吃,至此验证了f(x)满足引理4的条件,设 c是f(x)在(a'b>内唯一的极小值点,由引理4和引理1即知f(x)在(a,c]上严格减少且满足 (1)式,在[c,b)上严格增加且满足(1)式. 充分性(1)设f(x)在(a,b)上严格单调且满足(1)式,显然f(x)在(a'b)上内闭有界, 再由引理2得f(x)在(a,b)上严格下凸. (2)若存在唯一c?(a'b),使得f(x)在(a,c]上严格减少且满足(1)式,在[c,b)上严格 增加且满足(1)式,由单调性不难验证f(x)在(a,b)上内闭有界,故由引理2只需验证在(a, b)上有(1)式成立.又由条件所设,只需验证对任意xl?(a,c),对任意x2E(c,b),(1)式成 立即可.事实上,若 xI<!十一?c<x2时,即x1,x2的中点在点c的左侧, 由f(x)在(a,c]及[c,b)上分别满足(1)式有 f()<,f()<(2) 故有 f()+f()<+f(.)(3) 由于f(x)在(a,c]上严格减少,在[c,b)上严格增加,故又有 f()<f(),f(c)<f(生), 代人(3)式即得(1)式成立; 若xI<e?苎;<x2,即xl,x2的中点在点c的右侧 则由f(x)在(a,c]上严格减少,在[esb)上严格增加有 第2期刘立新等:严凸函数的一个等价定义81 f(c)<f(),f()<f(), 代人(3)式亦得(1)式成立.故由引理2得fix)在(alb)上严格下凸. 定理2fix)是I上的严格下凸函数的充要条件为下面两种情形之一成立: 1)f(x)在I上严格单调且满足(1)式,当I含其左(或右)端点a(或b)时.还有f(a)? f(a十0)(或f(b)?f(b一0)). 2)存在唯一cC-I.,使得f(x)在In(一oo,c]上严格减少,在In[c,+O0)上严格增 加,且f(x)在I.n[c,+00)和I.n(一00,c]上分别满足(1)式. 证明对I=(a'b),定理1已证.现对其它区间I来证明. 必要性设f(x)在I上是严格下凸函数,则f(x)在I上当然亦是严格下凸函数.若I 含其左端点a时,则由定理1知f(x)在a附近严格单调,故f(a+o)存在,由f(x)在I上的凸 性,对任意xC-I,有 f()<丛, ' 令x—a+0,即得f(a)?f(a十0).若I含其右端点b时,类似可证.fib)?f(b一0).由定理 1.所证其它结论成立. 充分性(1)若f(x)满足情形1),则由定理1知t(x)在I上是严格下凸函数,若I 含其左端点a,现在验证对任意xC-I..有 f(牢)<(4) 事实上,由于(x+a)/2?I.,由f(x)在I上的连续性及单调性,有 llmf()=f(),lirnf(y):f(a+0) p…'?… 现对任意yC-I.,由(1)式有 f()<,令+., 由极限保号性得 f(?盟?(5) 当f'a+o)<ffa)时,由'5)式立碍'4)式成立;当f(a+0)=f'a)时,看存在xo?l.,使得'4) 式不成立,注意到(5)式,则只能有: f():IA?' x1=[a+(Xo+~)/2]/2,X2=[(xo+a)/2+xo]/2,则x1,x2EI.,且 — X1~X2 =— xo+a ,由(5)式及(1)式又有: f(x1)?,f(x2)<. 故丛<f(掌):f(譬) 与f(x)在I.上严凸矛盾,故此时(4)式成立.同理可证I含右端点h时,对任意xC-I.及 河北农业大学第21卷 b,(1)式成立,所以不论I是何区间,f(x)是I上的严格下凸函数. (2)若f(x)满足情形2),由于c6I,由上述所给条件,f(x)在I上内闭有界,类似于 定理1充分性的证明,不难验证对任意xl?In(一oo,c],对任意x2?[C,+oo)nI,(1) 式成立,故在整个I上(1)式成立,由引理2,f(x)是I上的严凸函数. 3推论 fix)在I上是严格下凸函数的充要条件为只有下面两种情形之一成立 1)f(x)在I.上严格单酒且在I上满足(1)式. 2)存在唯一c6I.,使得f(x)在In(一o.,c]上严格减少且满足(1)式,在In[C. ..)上严格增加且满足(1)式. 注l定理1,2及推论揭示了任意区间上严格下凸函数与其单调性的内在联系,可以 看出,正是这种联系,使得引理1,2中对整个区间验证(1)式成立,可以减弱为局部严格单调 区间上满足(1)式的验证. 注2不难将上述有关结论推广到严格上凸函数,只要将"严下凸"改为"严上凸",相应 的不等式号反向,"单调增加(减少)"改为"单调减少(增加)"即可. 例:若f(x)为(一a,a)上的下凸偶函数,则fro)为撮小值且f(x)在(一a,0]上递减,在[0, a)上递增.事实上,由所给条件,对任意x6(一a,a),x?0,必有 f(o)?L=f(x),再由定理1,即得上述结论. 参考文献 1史树中.凸分析.上海:上海科学技术出版社,1990.33,72. 2汪林等嫡.数学分析问题研究与评注北京:科学出版社,1995.98.135 3北京大学数学系.数学分析北京:高等教育出版社,1986 4孙本旺等嫡.数学中的典型例题和解题方法.长沙:湖南科学技术出版社,1981.242 (编辑:罗蕴玲) AEquivalenceDefinitionofConvexFunctions LiuLixin (D单呲.ofBcCourses,North0naFJectricPaUniversity,lModing071003) ChengLanfang (DErt.ofBlOcCourses,HdJeiA.Univ.,B茜071001) AbstractTheauthorsofthispapernixieaequivalenoedefinitionofConvexfunctionsandan alyzedtheinternaloonnecdorts~tweertoonvexfunctionandrrlonotone.. ey word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 sConvexfunction;Monotone;Exu~.evalueI,