TCFSH_2014_08
數學第一冊第一章
數與式
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
0.9=1
√a+b−2⋅√a b=∣√a−√b∣, if a ,b∈R+
∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
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1-1 數與數線：
一、數系： ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
1. ℕ 正整數(自然數)： ℕ={1,2,3,,⋯} 。
2. ℤ 整數：包含{正整數、負整數、零}。
3. ℚ 有理數：可以表示成分數的數(分子分母都是整數)， ℚ={qp∣p ,q∈ℤ , p≠0} 。
有理數包含{整數、有限小數、循環小數}。
謎之彬音一： ℚ={qp∣p ,q∈ℤ , p≠0 ,( p ,q)=1} (最簡分數)
謎之彬音二：高中 prefer 假分數，無需化成帶分數。
4. ℝ 實數：數線上的所有點。
ℚ' 無理數：數線上不是有理數的其他點。 (ℚ '=ℝ−ℚ)
謎之彬音一：消極定義法，撿剩，無固定格式。若化成小數為不循環的無限小數 。
謎之彬音二： √2 , 3√5 , log7 ,π , e , ...
5. ℂ 複數：可以帶虛數 √−1 的數， ℂ={a+b i ∣ a ,b∈ℝ , i=√−1} 。
謎之彬音：本章僅強調 ℚ 與 ℝ ，至於 ℂ 留待後續章節。
二、進位制
十進位 1234=1000+200+30+4=1×103+2×102+3×101+4×100=123410
二進位 13=8+4+0+1=1×23+1×22+0×21+1×20=11012
其他進位制 . . .
三、有理數 ℚ
1. ℚ={qp∣p ,q∈ℤ , p≠0 ,( p ,q)=1}
2.一個實數為有理數 ⇔ 該數的十進位表示法是有限小數或循環小數。
謎之彬音一：分母質因數若僅有 2 或 5，則為有限小數。
謎之彬音二：分母若有其他質因數，則為無限小數且必產生循環節。
謎之彬音三：若分母為 n，餘數至多 n 種(0,1,2,. . . ,n-1)，故循環節長度必不大於 n
Ex1.試判斷 √361 是否為有理數。[Y]
3.循環小數化成分數 8.15374=815374−81599900
=814559
99900
謎之彬音一：分母先 9 後 0。9 的數量=循環節長度。0 的數量=小數點後非循環節長度。
謎之彬音二：分子=(全部)減(非循環節)
謎之彬音三：令 A=8.15374 ，則 100000 A−100 A=815374.374−815.374=814559
4.設 a , b , c∈ℚ ， √c∈ℚ ' ，則 a+b c =0 ⇒ a=b=0
證明：若 b≠0 ，則 √c=−ab ∈ℚ →← ，由反證法知 b=0
Ex2.設 m∈ℤ ，且 x2−32x2 m=4 有 ℚ 根，求 m 值。[ 4∨−1 ]
5.手動開根號： √179≈13.38
Ex3. √58.07 化為小數時，小數點後第一位數是？ [6]
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pq
qpa
ba
2 +b2
6.根號有理化：
1
√5+√3
= √5−√3
(√5+√3)(√5−√3)
=√5−√3
2
1
3√5−1
=
3√25+ 3√5+1
( 3√5−1)( 3√25+ 3√5+1)
=
3√25+3√5+1
4
7.雙重根號(數據需剛好才可以)
√a+b+2⋅√a b=√a+√b ,if a , b∈ℝ+
√a+b−2⋅√ab=∣√a−√b∣,if a ,b∈ℝ+
例： √11−√72=√2+9−2√2×9=√(√2−√9)2=∣√2−√9∣=3−√2
Ex4.若 √11+√72 =a+b，其中 aN，0b ， a=b ， ab ， b>c ，則 a>c 。
6.乘法律：
若 a>b ， c>0 ，則 a c>bc 。
若 a>b ， c<0 ，則 a cc>b ]
算幾不等式：若 a1, a2 為非負實數，則
a1a2
2
≥a1⋅a2 ，等號成立於 a1=a2 。
證明：左平方減右平方。
n 個數版本請參見附錄二
Ex7.設 x ,y 皆為正數，且 x+2y=6，(1)求 xy 的最大值。此時數對(x ,y)值。
(2)求 x2y 的最大值。此時數對(x ,y)值。(3)求 xy2 的最大值。此時數對(x ,y)值。
[
2
9
,(3,
2
3
)；16,(4,1)；8,(2,2)]
Ex8.設 0c>b ]
Ex16. a , b∈ℝ ，若 (a+2 b−2)2+∣2 a+3 b−1∣=0 ，求數對 (a ,b) 。[ (−4,3) ]
Ex17. a , b∈ℤ ，若 ∣a−2∣+3∣b−1∣=4 ，求數對 (a ,b) 有幾組解。[6]
Ex18.分母有理化
12
√2+√3+√5 。[ 3√2+2√3−√30 ]
Ex19.設
3
7 化為小數後，小數點以下第 n 位數字為
d (n) ，求 d (2011) 。[4]
Ex20.設 a , b , c 分別為函數 f (x)=x+2
x
, g (x )=x2+ 2
x2
, h (x)=√x2+ 2x2 在 x 為任意正
實數時的最小值。試問下列哪些選項是正確的。(A) b=a2 (B) c=4√8 (C)
f (x)+g ( x) 在 x 為任意正實數時的最小值為 a+b (D) g ( x)+h(x ) 在 x 為任意正
實數時的最小值為 b+c 。[BD]
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附錄一：稠密性機車版(課綱外)
任意二相異的有理數之間，至少有一個有理數存在。
任意二相異的有理數之間，至少有一個無理數存在。
任意二相異的無理數之間，至少有一個有理數存在。
任意二相異的無理數之間，至少有一個無理數存在。
任意有理數與無理數之間，至少有一個有理數存在。
任意有理數與無理數之間，至少有一個無理數存在。
謎之彬音：如果要逐一證明豈不昏倒！
任意二相異的實數之間，有理數與無理數至少各有一個存在。
證明：設 a , b∈ℝ ，且 ab ，
由阿基米得性質，則必可找到一個正整數 n，使得 n>
2
b−a ，(例
n=[ 2b−a ]+1 )
知 nb−na>2 ，取整數 m=[n a ]+1 ，則 n a0 , ab+b c+c a<0 , a+b+c>0 , a>b>c ，則下列選項哪
些正確。(A) a>0 (B) b>0 (C) c>0 (D) ∣a∣>∣b∣ (E) a2>c2 。[ADE]
Ex34. x∈ℝ ，求 √ x2+2 x+1+√ x2+4 x+4+√x2−6 x+9 最小值。[5]
Ex35.作 y=f(x)＝ |x2－4|＋2x－3 的圖形，並找出 y＝k 與 f(x)有三交點時，k 值。
[1,2]
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附錄：
將「若 p 則 q」之形式的敘述稱為命題 ，記作「pq」；
其中 p，q 為兩敘述，且稱 p 為前提(假設)，q 為結論。
原命題若為「 p→q 」
逆命題：即命題「 q→ p 」
否命題：即命題「 ∼ p→∼q 」
否逆命題：即命題「 ∼q→∼p 」
命題的真假判斷：
命題為「對」有二種可能：結論「 真 」或前提「 假 」 。
命題為「錯」有一種可能：前提「 真 」且結論「 假 」 時。
例：「pq」
「p」真=題目出對，「p」假=題目出錯。
「q」真=學生寫對，「q」假=學生寫錯。
「pq」真=得分，「pq」假=未得分。
考試得分有二種可能：學生答對或題目出錯。
考試沒得分只有一種可能：當題目對且學生答錯。
等價命題：「pq」≡「~q~ p」
「若天雨，則地濕」等價於「若地未濕，則天未雨」。
充分條件：
若命題「pq」為真，則用符號「pq」表示，讀作 p蘊涵 q，
(即由敘述 p 可推得敘述 q)。p 稱為 q 的充分條件 。
必要條件：
同上，q亦稱為 p 的必要條件 。
充分必要條件(充要條件)：「 p⇔q 」，若且唯若， if and only if， iff 。
同時為充分條件與必要條件。
謎之彬音：充分 為因，必要 為果，充要 互為因果。
反證法：(叛逆型)(要證東 ，就設西 ，再得西錯 ，故東 對。)
試證：若 n2 為偶數，則 n 為偶數。
證明：假設 n 為奇數，即 n=2 k−1 ，
n2=(2 k−1)2=2(2k 2−2 k )+1 為奇數，此與題意牴觸，矛盾
故假設錯誤，故 n 不能為奇數，
因此 n 為偶數，得證。
試證 √2∈ℚ' ：
證明：假設 √2∈ℚ (反證法)，令 √2=
q
p
, p ,q∈ℤ ,( p ,q)=1
(法一)
q2=2 p2 ， q2 偶 ⇒q 偶，令 q=2 m
4 m2=2 p2⇒ p2=2m2 ， p2 偶 ⇒ p 偶，令 p=2 n
( p , q)≥2 矛盾，故假設錯誤，得 √2∈ℚ ' ，得證。
(法二)
q2=2 p2 ，
左式 q2 的標準分解式中 質因數 2 的次方為偶數，
右式 2 p2 的標準分解式中 質因數 2 的次方為奇數，
矛盾，故假設錯誤，得 √2∈ℚ ' ，得證。
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157
30
=5+ 1
4+ 1
3+1
2
附錄：舊教材
一、整數的性質：
1.封閉性：＋－×
2.離散性： ∀a , b∈Z ,a≠b ，則 |a-b | 1≧
3.除法原理：a、bZ，b0，a=bq+r，其中 0≤r<∣b∣
4.平方奇偶性：
n 為偶數 ⇔ n2 為偶數，
n 為奇數 ⇔ n2 為奇數。
二、因數與倍數：設 a ,b , c∈Z
1.零不為任意非零數之因數。
2.零為任意非零整數之倍數。
3.a |b，b |ca |c (遞移性)
4.a |b，a |ca |mb±nc，其中 m、nZ (倍數 加減乘倍數 仍為倍數)
三、質數 prime
1.質數：正因數恰只有二個(1 與本身)之自然數稱之
2.最小之質數為 2
3.質數檢驗定理：aN，a>1，若 a 沒有小於或等於 a 的質因數，則 a 為質數
4.質數 2、3、5、7、11...的倍數判斷
5.質數無限多個
四、標準分解式 kkpppa
21 21
1.正因數的個數 n= )1()1)(1( 21 k
2.正因數的總和 S= ∑
t=0
α1
p1
t ∑
t=0
α2
p2
t ⋯∑
t=0
α k
pk
t
3.正因數的乘積= 2
n
a
4.正因數的倒數和=
S
a
5.因數的個數=2n
6.因數的總和=0
五、最大公因數(g .c .d.)與最小公倍數( l .c .m.) (註：均正)
1.設 a，bZ，ab0，則(a，b)．[a，b]=|ab |
2.設 a，b，cZ，abc0，則
(1)(a，b，c)．[a，b，c]=|abc |不一定成立
(2)若(a，b)=(b，c)=(c，a)=1，則(a，b，c)．[a，b，c]=|abc |
3.若 a，b，cZ，a |bc 且(a，c)=1a |b
4.設 p 為質數且 p |abp |a 或 p |b
5.若 a、bZ，(a，b)=1(ab，ab)=1，(ab，a-b)=1
六、輾轉相除法
1.直式
2.橫式
157÷30=5⋯7 157=30×5+7
30÷7=4⋯2 30=7×4+2
7÷2=3⋯1 7=2×3+1
2÷1=2⋯0 2=1×2+0
3.連分數表示[5,4,3,2]
4.設 a、bZ，b0，若 a=bq+r，其中 0≤r<∣b∣ ⇒ (a，b)=(b，r)(輾轉相除法原理)
5.設 a、bN，(a，b)=d ∃m ,n∈Z ，使得 d=ma+nb(最大公因數表現定理)
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5 157 30 4
150 28
3 7 2 2
6 2
1 0
七、整數解(不定方程)：例：求 13x+8y=1 之整數解
通解為
Zt
ty
tx
,
135
83
，表示法並不唯一，
x=-3，y=5 為一組解(代入滿足方程式)
x=8 t，y=-13 t 為零解(代入=0)(係數顛倒變號之互質比例)
1.輾轉相除法：(擴充型)
例：91x+56y=(91，56)
如右表，一組解為 x=-3，y=5
2.求一術：例：13x+8y=1
第一列為商數(輾轉相除法)
第二列最左邊固定為 1
第三列最左邊固定為 0 與 1
餘格=上方商數 × 左格+左左格
最右欄的餘格分別為 x，y 之係數(可作為驗算用)(零解)
次右欄的 5，3搭配右方正負號即為一組解(y=5，x=-3)
3.尤拉解法：(1)留小係數(2)假分數換帶分數(3)求一組解(或再一次)
例：13x+8y=7 ⇒ 8y=7-13x ⇒
8
3121
8
137 xxxy
令
8
31 x =1 得一組解 x=3，y=-4
4.中國剩餘定理：
例：今有物，不知其數。三三數之剩一，五五數之剩二，七七數之剩三
。問物幾何﹖答曰：五十二
三人同行七十稀
五樹梅花廿一枝
七子團圓月正半
除百零五便得知。
(70+42+45)÷105…..52
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1 91 a 56 b 1
56 b 35 a-b
1 35 a-b 21 -a+2b 1
21 -a+2b 14 2a-3b
2 14 2a-3b 7 -3a+5b
14 -6a+10b
0 8a-13b
1 1 1 1 2
1 1 2 3 5 13
0 1 1 2 3 8
1 1 1 1 2
+ - + - + -
- + - + - +
÷3⋯1 35 70 105
÷5⋯2 21 42 63 84 105
÷7⋯3 15 30 45 60 75 90 105
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