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备课资料:如何比较幂、指、对数值的大小
一、利用函数的单调性比较大小
涉及到无理数和超越数的大小比较,一般须根据这些数的构成特点,寻求某个函数作为模型,然后将各数统一到这个模型中,利用函数单调性比出大小.如何构造模型函数,其一般方法是:①指数相同、底数不同时构造幂函数;②底数相同、指数不同时构造指数函数;③底数相同、真数不同时构造对数函数.
例1.比较下列各组数的大小: (1);)
(log
)
3(log
5
32
15
32
1-
-π与 (2).)
9.0()
9.0()
2)(1(2
3+++
a a a 与
解:∵5
3-
=x y 是奇函数,且在),0(+∞上为减函数,
∴)0,(5
3-∞=-在x
y 上也是减函数
又由于5
32
15
32
12
12
1)
(log
)
3(log
,03log
log
-
-
∴ππ
(2)由于R x y x ∈=在9.0上是减函数, 又由.210)2)(1(-≤-≥≥++a a a a 或得
)i 当,023,2 +
-≤a a 时
;)
9.0()
9.0(,)2)(1(2
3)
2)(1(2
3+++
+++a a a a a a 此时显然
,1)时当-≥a ii ),2)(1(4
93)
2
3(2
2
+++
+=+a a a a a
此时.)
9.0()
9.0()
2)(1(2
3+++
a a a
二、比值法(包括比商、比差)
1.不同底指数的比较大小通常采用比商法.在)0,0( b a b a n
m
和中,不妨设
n m 与均大于零,
.,;,.)(
n
m
m n
n m
m n m
m
n
n
m b a
b a b a
b a b a
b
a ≤≤≥=时若时若
2.同底对数的比较大小可以使用比差法.
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例2.比较16181816和的大小.
解:∵
1)
29
8(
)
2()
18
16(
16
)
18
16(
18
1616
16
16
2
16
16
18 =?=?=,∴.1816
16
18
例3.已知,2log
2)(,3log
1)(x
x
x g x f =+=比较)()(x g x f 与的大小.
解:易知f(x )、g(x)的定义域均是(0,1)),,1(+∞
.4
3
log 2log
23log
1)()(x x g x f x
x
x =-+=-
(1)当);()(,3
4,14
3,1x g x f x x x 这时则若时
若
).()(,3
41,14
3x g x f x x 这时则 (2)当).()(,043
log
,14
30,10x g x f x x x x
这时时
故由(1)、(2)可知,当);()(,),3
4()1,0(x g x f x 时+∞∈ 当).()(,)34
,1(x g x f x 时∈
三、利用“中介值”比较大小
有些直接不便比较,但找一个“中介值”,分别与“中介值”比较大小,得出结论. 例4.比较)10( b a b a a
b
与的大小.
解:(1)先比较a
b a a 与的大小,考察函数x a y =
∵10 a ,∴函数在R x ∈上是减函数,又a b a a b a ∴,
(2)再比较a
a b a 与的大小,考察函数a
x y =.
∵0 a ,∴函数在(0,+∞)上是增函数,又.,a
a b a b a ∴
故由(1)(2)可知a
b b a 例5.(1997年上海高考
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
) 三个数6log
,7.0,6
7
.06
7
.0的大小顺序是 ( )
107
A .7
.07
.066
6log 7.0 B .6log
67.07
.07.06
C .6
7
.07
.07.06
6log
D .7
.06
7
.067
.06log
解:由于,06log
,17.00,167
.067.0 故选D.
注:中介值常选0,1等,划分成),1(),1,0(),0,(+∞-∞区域内比较大小. 四、用图象法比较大小
例6.a 、b 是不等于1的正数,且b a ,讨论c a
log 与)0(log c c b 的大小.
解:(1)若1 b a ,画出x x y b
a
log
log 与=的图象,
如右图,由图观察得: 当;log log ,1c c c b
a
==时 当;log
log
,1c c c b
a 时
当.log
log
,10c c c b
a
时
(2)若10 a b ,画出x y x y b
a log
log ==与的图象,
如右图,由图观察得: 当;log log ,1c c c b
a
==时 当;log
log
,1c c c b
a 时
当.log
log
,10c c c b
a
时
(3)若,10a b 画出x x y b
a log
log 与=的图象,
如右图,由图观察得: 当;log log ,1c c c b
a
==时 当;log
log
,1c c c b
a 时
当.log
log ,10c c c b
a
时
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